Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqh0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qqh0 29834
Description: The image of 0 by the ℚHom homomorphism is the ring's zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhval2.0 𝐵 = (Base‘𝑅)
qqhval2.1 / = (/r𝑅)
qqhval2.2 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
qqh0 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = (0g𝑅))

Proof of Theorem qqh0
StepHypRef Expression
1 zssq 11747 . . . 4 ℤ ⊆ ℚ
2 0z 11340 . . . 4 0 ∈ ℤ
31, 2sselii 3584 . . 3 0 ∈ ℚ
4 qqhval2.0 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 qqhval2.1 . . . 4 / = (/r𝑅)
6 qqhval2.2 . . . 4 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
74, 5, 6qqhvval 29833 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 0 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))))
83, 7mpan2 706 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))))
9 1z 11359 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℤ
10 gcd0id 15175 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℤ → (0 gcd 1) = (abs‘1))
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (0 gcd 1) = (abs‘1)
12 abs1 13979 . . . . . . . . . 10 (abs‘1) = 1
1311, 12eqtri 2643 . . . . . . . . 9 (0 gcd 1) = 1
14 0cn 9984 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℂ
1514div1i 10705 . . . . . . . . . 10 (0 / 1) = 0
1615eqcomi 2630 . . . . . . . . 9 0 = (0 / 1)
1713, 16pm3.2i 471 . . . . . . . 8 ((0 gcd 1) = 1 ∧ 0 = (0 / 1))
18 1nn 10983 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
19 qnumdenbi 15387 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → (((0 gcd 1) = 1 ∧ 0 = (0 / 1)) ↔ ((numer‘0) = 0 ∧ (denom‘0) = 1)))
203, 2, 18, 19mp3an 1421 . . . . . . . 8 (((0 gcd 1) = 1 ∧ 0 = (0 / 1)) ↔ ((numer‘0) = 0 ∧ (denom‘0) = 1))
2117, 20mpbi 220 . . . . . . 7 ((numer‘0) = 0 ∧ (denom‘0) = 1)
2221simpli 474 . . . . . 6 (numer‘0) = 0
2322fveq2i 6156 . . . . 5 (𝐿‘(numer‘0)) = (𝐿‘0)
2421simpri 478 . . . . . 6 (denom‘0) = 1
2524fveq2i 6156 . . . . 5 (𝐿‘(denom‘0)) = (𝐿‘1)
2623, 25oveq12i 6622 . . . 4 ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))) = ((𝐿‘0) / (𝐿‘1))
27 drngring 18686 . . . . . 6 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
28 eqid 2621 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
296, 28zrh0 19794 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘0) = (0g𝑅))
30 eqid 2621 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑅)
316, 30zrh1 19793 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r𝑅))
3229, 31oveq12d 6628 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → ((𝐿‘0) / (𝐿‘1)) = ((0g𝑅) / (1r𝑅)))
3327, 32syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘0) / (𝐿‘1)) = ((0g𝑅) / (1r𝑅)))
34 drnggrp 18687 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Grp)
354, 28grpidcl 17382 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Grp → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
3634, 35syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ DivRing → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
374, 5, 30dvr1 18621 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0g𝑅) ∈ 𝐵) → ((0g𝑅) / (1r𝑅)) = (0g𝑅))
3827, 36, 37syl2anc 692 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → ((0g𝑅) / (1r𝑅)) = (0g𝑅))
3933, 38eqtrd 2655 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘0) / (𝐿‘1)) = (0g𝑅))
4026, 39syl5eq 2667 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))) = (0g𝑅))
4140adantr 481 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((𝐿‘(numer‘0)) / (𝐿‘(denom‘0))) = (0g𝑅))
428, 41eqtrd 2655 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = (0g𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5852  (class class class)co 6610  0cc0 9888  1c1 9889   / cdiv 10636  cn 10972  cz 11329  cq 11740  abscabs 13916   gcd cgcd 15151  numercnumer 15376  denomcdenom 15377  Basecbs 15792  0gc0g 16032  Grpcgrp 17354  1rcur 18433  Ringcrg 18479  /rcdvr 18614  DivRingcdr 18679  ℤRHomczrh 19780  chrcchr 19782  ℚHomcqqh 29822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967  ax-mulf 9968
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-tpos 7304  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-inf 8301  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-fz 12277  df-fl 12541  df-mod 12617  df-seq 12750  df-exp 12809  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-dvds 14919  df-gcd 15152  df-numer 15378  df-denom 15379  df-gz 15569  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-0g 16034  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-mhm 17267  df-grp 17357  df-minusg 17358  df-sbg 17359  df-mulg 17473  df-subg 17523  df-ghm 17590  df-od 17880  df-cmn 18127  df-mgp 18422  df-ur 18434  df-ring 18481  df-cring 18482  df-oppr 18555  df-dvdsr 18573  df-unit 18574  df-invr 18604  df-dvr 18615  df-rnghom 18647  df-drng 18681  df-subrg 18710  df-cnfld 19679  df-zring 19751  df-zrh 19784  df-chr 19786  df-qqh 29823
This theorem is referenced by:  qqhcn  29841  rrh0  29865
  Copyright terms: Public domain W3C validator