Theorem rpnnen2lem2 14783

Description: Lemma for rpnnen2 14794. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpnnen2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem2	⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹‘𝐴):ℕ⟶ℝ)

Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 9918	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3nn 11063	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		nndivre 10933	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (1 / 3) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
5		nnnn0 11176	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
6		reexpcl 12739	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((1 / 3)↑𝑛) ∈ ℝ)
7	4, 5, 6	sylancr 694	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((1 / 3)↑𝑛) ∈ ℝ)
8		0re 9919	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		ifcl 4080	. . . . 5 ⊢ ((((1 / 3)↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0) ∈ ℝ)
10	7, 8, 9	sylancl 693	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0) ∈ ℝ)
11	10	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0) ∈ ℝ)
12		eqid 2610	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0))
13	11, 12	fmptd 6292	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)):ℕ⟶ℝ)
14		nnex 10903	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
15	14	elpw2 4755	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 ℕ ↔ 𝐴 ⊆ ℕ)
16		eleq2 2677	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑛 ∈ 𝑥 ↔ 𝑛 ∈ 𝐴))
17	16	ifbid 4058	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0) = if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0))
18	17	mpteq2dv 4673	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
19		rpnnen2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
20	14	mptex 6390	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)) ∈ V
21	18, 19, 20	fvmpt 6191	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 ℕ → (𝐹‘𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
22	15, 21	sylbir 224	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹‘𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
23	22	feq1d 5943	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → ((𝐹‘𝐴):ℕ⟶ℝ ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)):ℕ⟶ℝ))
24	13, 23	mpbird 246	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹‘𝐴):ℕ⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ifcif 4036  𝒫 cpw 4108   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   / cdiv 10563  ℕcn 10897  3c3 10948  ℕ₀cn0 11169  ↑cexp 12722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-exp 12723

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem5  14786  rpnnen2lem6  14787  rpnnen2lem7  14788  rpnnen2lem8  14789  rpnnen2lem9  14790  rpnnen2lem10  14791  rpnnen2lem12  14793