MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symg2bas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symg2bas 17589
Description: The symmetric group on a pair is the symmetric group S2 consisting of the identity and the transposition. This theorem is also valid if the elements are identical: then it collapses to theorem symg1bas 17587. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
symg1bas.1 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symg1bas.2 𝐵 = (Base‘𝐺)
symg2bas.0 𝐴 = {𝐼, 𝐽}
Assertion
Ref Expression
symg2bas ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}})

Proof of Theorem symg2bas
StepHypRef Expression
1 eqid 2609 . . . . 5 (SymGrp‘{𝐽}) = (SymGrp‘{𝐽})
2 eqid 2609 . . . . 5 (Base‘(SymGrp‘{𝐽})) = (Base‘(SymGrp‘{𝐽}))
3 eqid 2609 . . . . 5 {𝐽} = {𝐽}
41, 2, 3symg1bas 17587 . . . 4 (𝐽𝑊 → (Base‘(SymGrp‘{𝐽})) = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}})
54ad2antll 760 . . 3 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → (Base‘(SymGrp‘{𝐽})) = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}})
6 symg1bas.2 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 symg1bas.1 . . . . . 6 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
8 symg2bas.0 . . . . . . . 8 𝐴 = {𝐼, 𝐽}
9 df-pr 4127 . . . . . . . . 9 {𝐼, 𝐽} = ({𝐼} ∪ {𝐽})
10 sneq 4134 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 = 𝐽 → {𝐼} = {𝐽})
1110uneq1d 3727 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 = 𝐽 → ({𝐼} ∪ {𝐽}) = ({𝐽} ∪ {𝐽}))
1211adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → ({𝐼} ∪ {𝐽}) = ({𝐽} ∪ {𝐽}))
13 unidm 3717 . . . . . . . . . 10 ({𝐽} ∪ {𝐽}) = {𝐽}
1412, 13syl6eq 2659 . . . . . . . . 9 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → ({𝐼} ∪ {𝐽}) = {𝐽})
159, 14syl5eq 2655 . . . . . . . 8 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {𝐼, 𝐽} = {𝐽})
168, 15syl5eq 2655 . . . . . . 7 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → 𝐴 = {𝐽})
1716fveq2d 6091 . . . . . 6 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → (SymGrp‘𝐴) = (SymGrp‘{𝐽}))
187, 17syl5eq 2655 . . . . 5 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → 𝐺 = (SymGrp‘{𝐽}))
1918fveq2d 6091 . . . 4 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → (Base‘𝐺) = (Base‘(SymGrp‘{𝐽})))
206, 19syl5eq 2655 . . 3 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → 𝐵 = (Base‘(SymGrp‘{𝐽})))
21 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐼 = 𝐽𝐼 = 𝐽)
2221, 21opeq12d 4342 . . . . . . . 8 (𝐼 = 𝐽 → ⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩)
2322adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩)
2423preq1d 4217 . . . . . 6 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩})
25 eqid 2609 . . . . . . 7 𝐽, 𝐽⟩ = ⟨𝐽, 𝐽
26 opex 4852 . . . . . . . 8 𝐽, 𝐽⟩ ∈ V
2726, 26, 26preqsn 4326 . . . . . . 7 ({⟨𝐽, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩} ↔ (⟨𝐽, 𝐽⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩))
2825, 25, 27mpbir2an 956 . . . . . 6 {⟨𝐽, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩}
2924, 28syl6eq 2659 . . . . 5 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩})
30 opeq1 4334 . . . . . . . 8 (𝐼 = 𝐽 → ⟨𝐼, 𝐽⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩)
31 opeq2 4335 . . . . . . . 8 (𝐼 = 𝐽 → ⟨𝐽, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩)
3230, 31preq12d 4219 . . . . . . 7 (𝐼 = 𝐽 → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩})
3332, 28syl6eq 2659 . . . . . 6 (𝐼 = 𝐽 → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩})
3433adantr 479 . . . . 5 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩})
3529, 34preq12d 4219 . . . 4 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}} = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐽, 𝐽⟩}})
36 eqid 2609 . . . . 5 {⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩}
37 snex 4829 . . . . . 6 {⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ V
3837, 37, 37preqsn 4326 . . . . 5 ({{⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐽, 𝐽⟩}} = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}} ↔ ({⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩} ∧ {⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩}))
3936, 36, 38mpbir2an 956 . . . 4 {{⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐽, 𝐽⟩}} = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}}
4035, 39syl6eq 2659 . . 3 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}} = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}})
415, 20, 403eqtr4d 2653 . 2 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}})
42 fvex 6097 . . . . 5 (Base‘𝐺) ∈ V
436, 42eqeltri 2683 . . . 4 𝐵 ∈ V
4443a1i 11 . . 3 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → 𝐵 ∈ V)
45 df-ne 2781 . . . . . . . 8 (𝐼𝐽 ↔ ¬ 𝐼 = 𝐽)
4645biimpri 216 . . . . . . 7 𝐼 = 𝐽𝐼𝐽)
4746anim2i 590 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐽𝑊) ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → ((𝐼𝑉𝐽𝑊) ∧ 𝐼𝐽))
48 df-3an 1032 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽) ↔ ((𝐼𝑉𝐽𝑊) ∧ 𝐼𝐽))
4947, 48sylibr 222 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐽𝑊) ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → (𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽))
5049ancoms 467 . . . 4 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → (𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽))
517, 6, 8symg2hash 17588 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽) → (#‘𝐵) = 2)
5250, 51syl 17 . . 3 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → (#‘𝐵) = 2)
53 id 22 . . . . . . . 8 (𝐼𝑉𝐼𝑉)
5453ancri 572 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → (𝐼𝑉𝐼𝑉))
55 id 22 . . . . . . . 8 (𝐽𝑊𝐽𝑊)
5655ancri 572 . . . . . . 7 (𝐽𝑊 → (𝐽𝑊𝐽𝑊))
5754, 56anim12i 587 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → ((𝐼𝑉𝐼𝑉) ∧ (𝐽𝑊𝐽𝑊)))
58 id 22 . . . . . . . 8 (𝐼𝐽𝐼𝐽)
5958ancri 572 . . . . . . 7 (𝐼𝐽 → (𝐼𝐽𝐼𝐽))
6045, 59sylbir 223 . . . . . 6 𝐼 = 𝐽 → (𝐼𝐽𝐼𝐽))
61 f1oprg 6077 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐼𝑉) ∧ (𝐽𝑊𝐽𝑊)) → ((𝐼𝐽𝐼𝐽) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽}))
6261imp 443 . . . . . 6 ((((𝐼𝑉𝐼𝑉) ∧ (𝐽𝑊𝐽𝑊)) ∧ (𝐼𝐽𝐼𝐽)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
6357, 60, 62syl2anr 493 . . . . 5 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
64 eqidd 2610 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝐼, 𝐽} → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩})
65 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝐼, 𝐽} → 𝐴 = {𝐼, 𝐽})
6664, 65, 65f1oeq123d 6030 . . . . . 6 (𝐴 = {𝐼, 𝐽} → ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:𝐴1-1-onto𝐴 ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽}))
678, 66ax-mp 5 . . . . 5 ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:𝐴1-1-onto𝐴 ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
6863, 67sylibr 222 . . . 4 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:𝐴1-1-onto𝐴)
69 prex 4830 . . . . 5 {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ V
707, 6elsymgbas2 17572 . . . . 5 ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ V → ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ 𝐵 ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:𝐴1-1-onto𝐴))
7169, 70ax-mp 5 . . . 4 ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ 𝐵 ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:𝐴1-1-onto𝐴)
7268, 71sylibr 222 . . 3 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ 𝐵)
73 f1oprswap 6076 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
74 eqidd 2610 . . . . . . . 8 (𝐴 = {𝐼, 𝐽} → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})
7574, 65, 65f1oeq123d 6030 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝐼, 𝐽} → ({⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴1-1-onto𝐴 ↔ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽}))
768, 75ax-mp 5 . . . . . 6 ({⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴1-1-onto𝐴 ↔ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
7773, 76sylibr 222 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴1-1-onto𝐴)
7877adantl 480 . . . 4 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴1-1-onto𝐴)
79 prex 4830 . . . . 5 {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ V
807, 6elsymgbas2 17572 . . . . 5 ({⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ V → ({⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ 𝐵 ↔ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴1-1-onto𝐴))
8179, 80ax-mp 5 . . . 4 ({⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ 𝐵 ↔ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴1-1-onto𝐴)
8278, 81sylibr 222 . . 3 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ 𝐵)
83 opex 4852 . . . . . 6 𝐼, 𝐼⟩ ∈ V
8483, 26pm3.2i 469 . . . . 5 (⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ∈ V)
85 opex 4852 . . . . . 6 𝐼, 𝐽⟩ ∈ V
86 opex 4852 . . . . . 6 𝐽, 𝐼⟩ ∈ V
8785, 86pm3.2i 469 . . . . 5 (⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐼⟩ ∈ V)
8884, 87pm3.2i 469 . . . 4 ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ∈ V) ∧ (⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐼⟩ ∈ V))
89 opthg2 4867 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐼, 𝐽⟩ ↔ (𝐼 = 𝐼𝐼 = 𝐽)))
90 eqtr 2628 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 = 𝐼𝐼 = 𝐽) → 𝐼 = 𝐽)
9189, 90syl6bi 241 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐼, 𝐽⟩ → 𝐼 = 𝐽))
9291necon3d 2802 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → (𝐼𝐽 → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩))
9392com12 32 . . . . . . . 8 (𝐼𝐽 → ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩))
9445, 93sylbir 223 . . . . . . 7 𝐼 = 𝐽 → ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩))
9594imp 443 . . . . . 6 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩)
9654adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → (𝐼𝑉𝐼𝑉))
97 opthg 4865 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝐼𝑉) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐼⟩ ↔ (𝐼 = 𝐽𝐼 = 𝐼)))
9896, 97syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐼⟩ ↔ (𝐼 = 𝐽𝐼 = 𝐼)))
99 simpl 471 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 = 𝐽𝐼 = 𝐼) → 𝐼 = 𝐽)
10098, 99syl6bi 241 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐼⟩ → 𝐼 = 𝐽))
101100necon3d 2802 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → (𝐼𝐽 → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩))
102101com12 32 . . . . . . . 8 (𝐼𝐽 → ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩))
10345, 102sylbir 223 . . . . . . 7 𝐼 = 𝐽 → ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩))
104103imp 443 . . . . . 6 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩)
10595, 104jca 552 . . . . 5 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩))
106105orcd 405 . . . 4 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩) ∨ (⟨𝐽, 𝐽⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩)))
107 prneimg 4323 . . . 4 (((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ∈ V) ∧ (⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐼⟩ ∈ V)) → (((⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩) ∨ (⟨𝐽, 𝐽⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ≠ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}))
10888, 106, 107mpsyl 65 . . 3 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ≠ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})
109 hash2prd 13066 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ (#‘𝐵) = 2) → (({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ 𝐵 ∧ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ 𝐵 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ≠ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}}))
110109imp 443 . . 3 (((𝐵 ∈ V ∧ (#‘𝐵) = 2) ∧ ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ 𝐵 ∧ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ 𝐵 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ≠ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}})
11144, 52, 72, 82, 108, 110syl23anc 1324 . 2 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}})
11241, 111pm2.61ian 826 1 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  Vcvv 3172  cun 3537  {csn 4124  {cpr 4126  cop 4130  1-1-ontowf1o 5788  cfv 5789  2c2 10919  #chash 12936  Basecbs 15643  SymGrpcsymg 17568
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10536  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932  df-7 10933  df-8 10934  df-9 10935  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-fz 12155  df-seq 12621  df-fac 12880  df-bc 12909  df-hash 12937  df-struct 15645  df-ndx 15646  df-slot 15647  df-base 15648  df-plusg 15729  df-tset 15735  df-symg 17569
This theorem is referenced by:  psgnprfval  17712  m2detleiblem1  20196  m2detleiblem5  20197  m2detleiblem6  20198  m2detleiblem3  20201  m2detleiblem4  20202  m2detleib  20203
  Copyright terms: Public domain W3C validator