Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tanneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tanneg 14803
 Description: The tangent of a negative is the negative of the tangent. (Contributed by David A. Wheeler, 23-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
tanneg ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘-𝐴) = -(tan‘𝐴))

Proof of Theorem tanneg
StepHypRef Expression
1 coscl 14782 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
2 sincl 14781 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
3 divneg 10663 . . . . 5 (((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → -((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)) = (-(sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
42, 3syl3an1 1356 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → -((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)) = (-(sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
51, 4syl3an2 1357 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → -((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)) = (-(sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
653anidm12 1380 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → -((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)) = (-(sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
7 tanval 14783 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
87negeqd 10219 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → -(tan‘𝐴) = -((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
9 cosneg 14802 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
109adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
11 simpr 477 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
1210, 11eqnetrd 2857 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (cos‘-𝐴) ≠ 0)
13 negcl 10225 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
14 tanval 14783 . . . . 5 ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘-𝐴) ≠ 0) → (tan‘-𝐴) = ((sin‘-𝐴) / (cos‘-𝐴)))
1513, 14sylan 488 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘-𝐴) ≠ 0) → (tan‘-𝐴) = ((sin‘-𝐴) / (cos‘-𝐴)))
1612, 15syldan 487 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘-𝐴) = ((sin‘-𝐴) / (cos‘-𝐴)))
17 sinneg 14801 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) = -(sin‘𝐴))
1817, 9oveq12d 6622 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘-𝐴) / (cos‘-𝐴)) = (-(sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
1918adantr 481 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((sin‘-𝐴) / (cos‘-𝐴)) = (-(sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
2016, 19eqtrd 2655 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘-𝐴) = (-(sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
216, 8, 203eqtr4rd 2666 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘-𝐴) = -(tan‘𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℂcc 9878  0cc0 9880  -cneg 10211   / cdiv 10628  sincsin 14719  cosccos 14720  tanctan 14721 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-ico 12123  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-hash 13058  df-shft 13741  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-ef 14723  df-sin 14725  df-cos 14726  df-tan 14727 This theorem is referenced by:  tanhbnd  14816  tanabsge  24162  tanord  24188  atantan  24550
 Copyright terms: Public domain W3C validator