MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tanhbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tanhbnd 14676
Description: The hyperbolic tangent of a real number is bounded by 1. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
tanhbnd (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ (-1(,)1))

Proof of Theorem tanhbnd
StepHypRef Expression
1 retanhcl 14674 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ ℝ)
2 ax-icn 9851 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
3 recn 9882 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
4 mulcl 9876 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
52, 3, 4sylancr 693 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
6 rpcoshcl 14672 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ∈ ℝ+)
76rpne0d 11709 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘(i · 𝐴)) ≠ 0)
85, 7tancld 14647 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (tan‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
92a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → i ∈ ℂ)
10 ine0 10316 . . . . . . 7 i ≠ 0
1110a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → i ≠ 0)
128, 9, 11divnegd 10663 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -((tan‘(i · 𝐴)) / i) = (-(tan‘(i · 𝐴)) / i))
13 mulneg2 10318 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
142, 3, 13sylancr 693 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
1514fveq2d 6092 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (tan‘(i · -𝐴)) = (tan‘-(i · 𝐴)))
16 tanneg 14663 . . . . . . . 8 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘(i · 𝐴)) ≠ 0) → (tan‘-(i · 𝐴)) = -(tan‘(i · 𝐴)))
175, 7, 16syl2anc 690 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (tan‘-(i · 𝐴)) = -(tan‘(i · 𝐴)))
1815, 17eqtrd 2643 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (tan‘(i · -𝐴)) = -(tan‘(i · 𝐴)))
1918oveq1d 6542 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · -𝐴)) / i) = (-(tan‘(i · 𝐴)) / i))
2012, 19eqtr4d 2646 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → -((tan‘(i · 𝐴)) / i) = ((tan‘(i · -𝐴)) / i))
21 renegcl 10195 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
22 tanhlt1 14675 . . . . 5 (-𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · -𝐴)) / i) < 1)
2321, 22syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · -𝐴)) / i) < 1)
2420, 23eqbrtrd 4599 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → -((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1)
25 1re 9895 . . . 4 1 ∈ ℝ
26 ltnegcon1 10378 . . . 4 ((((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (-((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1 ↔ -1 < ((tan‘(i · 𝐴)) / i)))
271, 25, 26sylancl 692 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (-((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1 ↔ -1 < ((tan‘(i · 𝐴)) / i)))
2824, 27mpbid 220 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → -1 < ((tan‘(i · 𝐴)) / i))
29 tanhlt1 14675 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1)
30 neg1rr 10972 . . . 4 -1 ∈ ℝ
3130rexri 9948 . . 3 -1 ∈ ℝ*
3225rexri 9948 . . 3 1 ∈ ℝ*
33 elioo2 12043 . . 3 ((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ (-1(,)1) ↔ (((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ ℝ ∧ -1 < ((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∧ ((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1)))
3431, 32, 33mp2an 703 . 2 (((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ (-1(,)1) ↔ (((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ ℝ ∧ -1 < ((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∧ ((tan‘(i · 𝐴)) / i) < 1))
351, 28, 29, 34syl3anbrc 1238 1 (𝐴 ∈ ℝ → ((tan‘(i · 𝐴)) / i) ∈ (-1(,)1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793  ici 9794   · cmul 9797  *cxr 9929   < clt 9930  -cneg 10118   / cdiv 10533  (,)cioo 12002  cosccos 14580  tanctan 14581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-ioo 12006  df-ico 12008  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-seq 12619  df-exp 12678  df-fac 12878  df-bc 12907  df-hash 12935  df-shft 13601  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-limsup 13996  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-ef 14583  df-sin 14585  df-cos 14586  df-tan 14587
This theorem is referenced by:  tanregt0  24006  atantan  24367
  Copyright terms: Public domain W3C validator