Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tanval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tanval 14802
 Description: Value of the tangent function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
tanval ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))

Proof of Theorem tanval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 coscl 14801 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
32anim1i 591 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0))
4 eldifsn 4294 . . . 4 ((cos‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0))
53, 4sylibr 224 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (cos‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}))
6 cosf 14799 . . . 4 cos:ℂ⟶ℂ
7 ffn 6012 . . . 4 (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
8 elpreima 6303 . . . 4 (cos Fn ℂ → (𝐴 ∈ (cos “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0}))))
96, 7, 8mp2b 10 . . 3 (𝐴 ∈ (cos “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ (ℂ ∖ {0})))
101, 5, 9sylanbrc 697 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → 𝐴 ∈ (cos “ (ℂ ∖ {0})))
11 fveq2 6158 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (sin‘𝑥) = (sin‘𝐴))
12 fveq2 6158 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (cos‘𝑥) = (cos‘𝐴))
1311, 12oveq12d 6633 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
14 df-tan 14746 . . 3 tan = (𝑥 ∈ (cos “ (ℂ ∖ {0})) ↦ ((sin‘𝑥) / (cos‘𝑥)))
15 ovex 6643 . . 3 ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)) ∈ V
1613, 14, 15fvmpt 6249 . 2 (𝐴 ∈ (cos “ (ℂ ∖ {0})) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
1710, 16syl 17 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790   ∖ cdif 3557  {csn 4155  ◡ccnv 5083   “ cima 5087   Fn wfn 5852  ⟶wf 5853  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  ℂcc 9894  0cc0 9896   / cdiv 10644  sincsin 14738  cosccos 14739  tanctan 14740 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-ico 12139  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-seq 12758  df-exp 12817  df-fac 13017  df-hash 13074  df-shft 13757  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-limsup 14152  df-clim 14169  df-rlim 14170  df-sum 14367  df-ef 14742  df-cos 14745  df-tan 14746 This theorem is referenced by:  tancl  14803  tanval2  14807  retancl  14816  tanneg  14822  tan0  14825  retanhcl  14833  tanhlt1  14834  tanaddlem  14840  tanadd  14841  tanrpcl  24194  tangtx  24195  tan4thpi  24204  tanord1  24221  atandmtan  24581  atantan  24584  basellem3  24743  basellem8  24748  tan2h  33072  reccot  41822  rectan  41823  onetansqsecsq  41825
 Copyright terms: Public domain W3C validator