Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrralrecnnge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrralrecnnge 39074
Description: Show that 𝐴 is less than 𝐵 by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
xrralrecnnge.n 𝑛𝜑
xrralrecnnge.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
xrralrecnnge.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
xrralrecnnge (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem xrralrecnnge
StepHypRef Expression
1 xrralrecnnge.n . . . . 5 𝑛𝜑
2 nfv 1840 . . . . 5 𝑛 𝐴𝐵
31, 2nfan 1825 . . . 4 𝑛(𝜑𝐴𝐵)
4 xrralrecnnge.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
54adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 nnrecre 11001 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
76adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
85, 7resubcld 10402 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
98rexrd 10033 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
109adantlr 750 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
11 xrralrecnnge.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
1211ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
134rexrd 10033 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
1413ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
15 nnrp 11786 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
1615rpreccld 11826 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1716adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
185, 17ltsubrpd 11848 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝐴)
1918adantlr 750 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝐴)
20 simplr 791 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴𝐵)
2110, 14, 12, 19, 20xrltletrd 11936 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) < 𝐵)
2210, 12, 21xrltled 38947 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵)
2322ex 450 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
243, 23ralrimi 2951 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵)
2524ex 450 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
26 pnfxr 10036 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
2726a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
284ltpnfd 11899 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 < +∞)
2913, 27, 28xrltled 38947 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≤ +∞)
3029ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ≤ +∞)
31 id 22 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → 𝐵 = +∞)
3231eqcomd 2627 . . . . . 6 (𝐵 = +∞ → +∞ = 𝐵)
3332adantl 482 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ = 𝐵)
3430, 33breqtrd 4639 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴𝐵)
3511ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
36 1nn 10975 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 → 1 ∈ ℕ)
38 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵)
39 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 1 → (1 / 𝑛) = (1 / 1))
4039oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 1 → (𝐴 − (1 / 𝑛)) = (𝐴 − (1 / 1)))
4140breq1d 4623 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 → ((𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 − (1 / 1)) ≤ 𝐵))
4241rspcva 3293 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) → (𝐴 − (1 / 1)) ≤ 𝐵)
4337, 38, 42syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵 → (𝐴 − (1 / 1)) ≤ 𝐵)
4443adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵𝐵 = -∞) → (𝐴 − (1 / 1)) ≤ 𝐵)
45 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
4644, 45breqtrd 4639 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵𝐵 = -∞) → (𝐴 − (1 / 1)) ≤ -∞)
4746adantll 749 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 − (1 / 1)) ≤ -∞)
48 1red 9999 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
49 ax-1ne0 9949 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ≠ 0
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ≠ 0)
5148, 48, 50redivcld 10797 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / 1) ∈ ℝ)
524, 51resubcld 10402 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 − (1 / 1)) ∈ ℝ)
5352mnfltd 11902 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -∞ < (𝐴 − (1 / 1)))
54 mnfxr 10040 . . . . . . . . . . . . 13 -∞ ∈ ℝ*
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
5652rexrd 10033 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 − (1 / 1)) ∈ ℝ*)
5755, 56xrltnled 39040 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-∞ < (𝐴 − (1 / 1)) ↔ ¬ (𝐴 − (1 / 1)) ≤ -∞))
5853, 57mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ (𝐴 − (1 / 1)) ≤ -∞)
5958ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ (𝐴 − (1 / 1)) ≤ -∞)
6047, 59pm2.65da 599 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) → ¬ 𝐵 = -∞)
6160neqned 2797 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) → 𝐵 ≠ -∞)
6261adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ≠ -∞)
63 neqne 2798 . . . . . . 7 𝐵 = +∞ → 𝐵 ≠ +∞)
6463adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ≠ +∞)
6535, 62, 64xrred 39042 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
66 nfv 1840 . . . . . . . . . . 11 𝑛 𝐵 ∈ ℝ
671, 66nfan 1825 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝜑𝐵 ∈ ℝ)
6813adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
69 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
7067, 68, 69xrralrecnnle 39063 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
715adantlr 750 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
726adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
7369adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
7471, 72, 73lesubaddd 10568 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
7574bicomd 213 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
7667, 75ralbida 2976 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
7770, 76bitr2d 269 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵𝐴𝐵))
7877biimpd 219 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵𝐴𝐵))
7978imp 445 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) → 𝐴𝐵)
8079an32s 845 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴𝐵)
8165, 80syldan 487 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐵 = +∞) → 𝐴𝐵)
8234, 81pm2.61dan 831 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵) → 𝐴𝐵)
8382ex 450 . 2 (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵𝐴𝐵))
8425, 83impbid 202 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1987  wne 2790  wral 2907   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883  +∞cpnf 10015  -∞cmnf 10016  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210   / cdiv 10628  cn 10964  +crp 11776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-fl 12533
This theorem is referenced by:  preimageiingt  40234
  Copyright terms: Public domain W3C validator