Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zrhunitpreima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zrhunitpreima 29804
Description: The preimage by ℤRHom of the unit of a division ring is (ℤ ∖ {0}). (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zrhker.0 𝐵 = (Base‘𝑅)
zrhker.1 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
zrhker.2 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
zrhunitpreima ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (𝐿 “ (Unit‘𝑅)) = (ℤ ∖ {0}))

Proof of Theorem zrhunitpreima
StepHypRef Expression
1 zrhker.0 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2621 . . . . . 6 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3 eqid 2621 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
41, 2, 3isdrng 18672 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))
54simprbi 480 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))
65imaeq2d 5425 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → (𝐿 “ (Unit‘𝑅)) = (𝐿 “ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))
76adantr 481 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (𝐿 “ (Unit‘𝑅)) = (𝐿 “ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))
8 drngring 18675 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
9 zrhker.1 . . . . . 6 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
109zrhrhm 19779 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
11 zringbas 19743 . . . . . 6 ℤ = (Base‘ℤring)
1211, 1rhmf 18647 . . . . 5 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
13 ffun 6005 . . . . 5 (𝐿:ℤ⟶𝐵 → Fun 𝐿)
1410, 12, 133syl 18 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → Fun 𝐿)
15 difpreima 6299 . . . 4 (Fun 𝐿 → (𝐿 “ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})) = ((𝐿𝐵) ∖ (𝐿 “ {(0g𝑅)})))
168, 14, 153syl 18 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → (𝐿 “ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})) = ((𝐿𝐵) ∖ (𝐿 “ {(0g𝑅)})))
1716adantr 481 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (𝐿 “ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})) = ((𝐿𝐵) ∖ (𝐿 “ {(0g𝑅)})))
18 fimacnv 6303 . . . . 5 (𝐿:ℤ⟶𝐵 → (𝐿𝐵) = ℤ)
198, 10, 12, 184syl 19 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → (𝐿𝐵) = ℤ)
2019adantr 481 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (𝐿𝐵) = ℤ)
211, 9, 3zrhker 29803 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) = 0 ↔ (𝐿 “ {(0g𝑅)}) = {0}))
2221biimpa 501 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (𝐿 “ {(0g𝑅)}) = {0})
238, 22sylan 488 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (𝐿 “ {(0g𝑅)}) = {0})
2420, 23difeq12d 3707 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((𝐿𝐵) ∖ (𝐿 “ {(0g𝑅)})) = (ℤ ∖ {0}))
257, 17, 243eqtrd 2659 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (𝐿 “ (Unit‘𝑅)) = (ℤ ∖ {0}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cdif 3552  {csn 4148  ccnv 5073  cima 5077  Fun wfun 5841  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  cz 11321  Basecbs 15781  0gc0g 16021  Ringcrg 18468  Unitcui 18560   RingHom crh 18633  DivRingcdr 18668  ringzring 19737  ℤRHomczrh 19767  chrcchr 19769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-ghm 17579  df-od 17869  df-cmn 18116  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-cring 18471  df-rnghom 18636  df-drng 18670  df-subrg 18699  df-cnfld 19666  df-zring 19738  df-zrh 19771  df-chr 19773
This theorem is referenced by:  elzrhunit  29805  qqhval2  29808
  Copyright terms: Public domain W3C validator