Higher-Order Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HOLE Home  >  Th. List  >  leqf GIF version

Theorem leqf 181
 Description: Equality theorem for lambda abstraction, using bound variable instead of distinct variables. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
leqf.1 A:β
leqf.2 R⊧[A = B]
leqf.3 ⊤⊧[(λx:α Ry:α) = R]
Assertion
Ref Expression
leqf R⊧[λx:α A = λx:α B]
Distinct variable groups:   y,A   y,B   y,R   x,y,α

Proof of Theorem leqf
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 leqf.1 . . . . 5 A:β
21wl 66 . . . 4 λx:α A:(αβ)
3 wv 64 . . . 4 z:α:α
42, 3wc 50 . . 3 (λx:α Az:α):β
54wl 66 . 2 λz:α (λx:α Az:α):(αβ)
6 leqf.2 . . . . 5 R⊧[A = B]
76ax-cb1 29 . . . . . 6 R:∗
81beta 92 . . . . . 6 ⊤⊧[(λx:α Ax:α) = A]
97, 8a1i 28 . . . . 5 R⊧[(λx:α Ax:α) = A]
101, 6eqtypi 78 . . . . . . 7 B:β
1110beta 92 . . . . . 6 ⊤⊧[(λx:α Bx:α) = B]
127, 11a1i 28 . . . . 5 R⊧[(λx:α Bx:α) = B]
131, 6, 9, 123eqtr4i 96 . . . 4 R⊧[(λx:α Ax:α) = (λx:α Bx:α)]
14 weq 41 . . . . 5 = :(β → (β → ∗))
15 wv 64 . . . . 5 y:α:α
1610wl 66 . . . . . 6 λx:α B:(αβ)
1716, 3wc 50 . . . . 5 (λx:α Bz:α):β
1814, 15ax-17 105 . . . . 5 ⊤⊧[(λx:α = y:α) = = ]
191, 15ax-hbl1 103 . . . . . 6 ⊤⊧[(λx:α λx:α Ay:α) = λx:α A]
203, 15ax-17 105 . . . . . 6 ⊤⊧[(λx:α z:αy:α) = z:α]
212, 3, 15, 19, 20hbc 110 . . . . 5 ⊤⊧[(λx:α (λx:α Az:α)y:α) = (λx:α Az:α)]
2210, 15ax-hbl1 103 . . . . . 6 ⊤⊧[(λx:α λx:α By:α) = λx:α B]
2316, 3, 15, 22, 20hbc 110 . . . . 5 ⊤⊧[(λx:α (λx:α Bz:α)y:α) = (λx:α Bz:α)]
2414, 4, 15, 17, 18, 21, 23hbov 111 . . . 4 ⊤⊧[(λx:α [(λx:α Az:α) = (λx:α Bz:α)]y:α) = [(λx:α Az:α) = (λx:α Bz:α)]]
25 leqf.3 . . . 4 ⊤⊧[(λx:α Ry:α) = R]
26 wv 64 . . . . . 6 x:α:α
272, 26wc 50 . . . . 5 (λx:α Ax:α):β
2816, 26wc 50 . . . . 5 (λx:α Bx:α):β
2926, 3weqi 76 . . . . . . 7 [x:α = z:α]:∗
3029id 25 . . . . . 6 [x:α = z:α]⊧[x:α = z:α]
312, 26, 30ceq2 90 . . . . 5 [x:α = z:α]⊧[(λx:α Ax:α) = (λx:α Az:α)]
3216, 26, 30ceq2 90 . . . . 5 [x:α = z:α]⊧[(λx:α Bx:α) = (λx:α Bz:α)]
3314, 27, 28, 31, 32oveq12 100 . . . 4 [x:α = z:α]⊧[[(λx:α Ax:α) = (λx:α Bx:α)] = [(λx:α Az:α) = (λx:α Bz:α)]]
3429, 7eqid 83 . . . 4 [x:α = z:α]⊧[R = R]
3513, 24, 25, 33, 34ax-inst 113 . . 3 R⊧[(λx:α Az:α) = (λx:α Bz:α)]
364, 35leq 91 . 2 R⊧[λz:α (λx:α Az:α) = λz:α (λx:α Bz:α)]
372eta 178 . . 3 ⊤⊧[λz:α (λx:α Az:α) = λx:α A]
387, 37a1i 28 . 2 R⊧[λz:α (λx:α Az:α) = λx:α A]
3916eta 178 . . 3 ⊤⊧[λz:α (λx:α Bz:α) = λx:α B]
407, 39a1i 28 . 2 R⊧[λz:α (λx:α Bz:α) = λx:α B]
415, 36, 38, 403eqtr3i 97 1 R⊧[λx:α A = λx:α B]
 Colors of variables: type var term Syntax hints:  tv 1   → ht 2  ∗hb 3  kc 5  λkl 6   = ke 7  ⊤kt 8  [kbr 9  ⊧wffMMJ2 11  wffMMJ2t 12 This theorem was proved from axioms:  ax-syl 15  ax-jca 17  ax-simpl 20  ax-simpr 21  ax-id 24  ax-trud 26  ax-cb1 29  ax-cb2 30  ax-wctl 31  ax-wctr 32  ax-weq 40  ax-refl 42  ax-eqmp 45  ax-ded 46  ax-wct 47  ax-wc 49  ax-ceq 51  ax-wv 63  ax-wl 65  ax-beta 67  ax-distrc 68  ax-leq 69  ax-wov 71  ax-eqtypi 77  ax-eqtypri 80  ax-hbl1 103  ax-17 105  ax-inst 113  ax-eta 177 This theorem depends on definitions:  df-ov 73  df-al 126 This theorem is referenced by:  alrimi  182  axext  219  axrep  220
 Copyright terms: Public domain W3C validator