Theorem 0fv 5542

Description: Function value of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0fv	|- ( (/) ` A ) = (/)

Proof of Theorem 0fv

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 5216	. 2 |- ( (/) ` A ) = ( iota x A (/) x )
2		noel 3424	. . . . . 6 |- -. <. A , x >. e. (/)
3		df-br 3999	. . . . . 6 |- ( A (/) x <-> <. A , x >. e. (/) )
4	2, 3	mtbir 671	. . . . 5 |- -. A (/) x
5	4	nex 1498	. . . 4 |- -. E. x A (/) x
6		euex 2054	. . . 4 |- ( E! x A (/) x -> E. x A (/) x )
7	5, 6	mto 662	. . 3 |- -. E! x A (/) x
8		iotanul 5185	. . 3 |- ( -. E! x A (/) x -> ( iota x A (/) x ) = (/) )
9	7, 8	ax-mp 5	. 2 |- ( iota x A (/) x ) = (/)
10	1, 9	eqtri 2196	1 |- ( (/) ` A ) = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1353   E.wex 1490   E!weu 2024   e. wcel 2146   (/)c0 3420   <.cop 3592   class class class wbr 3998   iotacio 5168   ` cfv 5208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-ext 2157

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-v 2737  df-dif 3129  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-sn 3595  df-uni 3806  df-br 3999  df-iota 5170  df-fv 5216

This theorem is referenced by:  strsl0  12477