Theorem 0fv 5531

Description: Function value of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0fv	|- ( (/) ` A ) = (/)

Proof of Theorem 0fv

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 5206	. 2 |- ( (/) ` A ) = ( iota x A (/) x )
2		noel 3418	. . . . . 6 |- -. <. A , x >. e. (/)
3		df-br 3990	. . . . . 6 |- ( A (/) x <-> <. A , x >. e. (/) )
4	2, 3	mtbir 666	. . . . 5 |- -. A (/) x
5	4	nex 1493	. . . 4 |- -. E. x A (/) x
6		euex 2049	. . . 4 |- ( E! x A (/) x -> E. x A (/) x )
7	5, 6	mto 657	. . 3 |- -. E! x A (/) x
8		iotanul 5175	. . 3 |- ( -. E! x A (/) x -> ( iota x A (/) x ) = (/) )
9	7, 8	ax-mp 5	. 2 |- ( iota x A (/) x ) = (/)
10	1, 9	eqtri 2191	1 |- ( (/) ` A ) = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1348   E.wex 1485   E!weu 2019   e. wcel 2141   (/)c0 3414   <.cop 3586   class class class wbr 3989   iotacio 5158   ` cfv 5198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-sn 3589  df-uni 3797  df-br 3990  df-iota 5160  df-fv 5206

This theorem is referenced by:  strsl0  12464