Theorem 0fv 5464

Description: Function value of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0fv	|- ( (/) ` A ) = (/)

Proof of Theorem 0fv

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 5139	. 2 |- ( (/) ` A ) = ( iota x A (/) x )
2		noel 3372	. . . . . 6 |- -. <. A , x >. e. (/)
3		df-br 3938	. . . . . 6 |- ( A (/) x <-> <. A , x >. e. (/) )
4	2, 3	mtbir 661	. . . . 5 |- -. A (/) x
5	4	nex 1477	. . . 4 |- -. E. x A (/) x
6		euex 2030	. . . 4 |- ( E! x A (/) x -> E. x A (/) x )
7	5, 6	mto 652	. . 3 |- -. E! x A (/) x
8		iotanul 5111	. . 3 |- ( -. E! x A (/) x -> ( iota x A (/) x ) = (/) )
9	7, 8	ax-mp 5	. 2 |- ( iota x A (/) x ) = (/)
10	1, 9	eqtri 2161	1 |- ( (/) ` A ) = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 1481   E!weu 2000   (/)c0 3368   <.cop 3535   class class class wbr 3937   iotacio 5094   ` cfv 5131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-dif 3078  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-sn 3538  df-uni 3745  df-br 3938  df-iota 5096  df-fv 5139

This theorem is referenced by:  strsl0  12046