Theorem 0fv 5594

Description: Function value of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0fv	|- ( (/) ` A ) = (/)

Proof of Theorem 0fv

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 5266	. 2 |- ( (/) ` A ) = ( iota x A (/) x )
2		noel 3454	. . . . . 6 |- -. <. A , x >. e. (/)
3		df-br 4034	. . . . . 6 |- ( A (/) x <-> <. A , x >. e. (/) )
4	2, 3	mtbir 672	. . . . 5 |- -. A (/) x
5	4	nex 1514	. . . 4 |- -. E. x A (/) x
6		euex 2075	. . . 4 |- ( E! x A (/) x -> E. x A (/) x )
7	5, 6	mto 663	. . 3 |- -. E! x A (/) x
8		iotanul 5234	. . 3 |- ( -. E! x A (/) x -> ( iota x A (/) x ) = (/) )
9	7, 8	ax-mp 5	. 2 |- ( iota x A (/) x ) = (/)
10	1, 9	eqtri 2217	1 |- ( (/) ` A ) = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1364   E.wex 1506   E!weu 2045   e. wcel 2167   (/)c0 3450   <.cop 3625   class class class wbr 4033   iotacio 5217   ` cfv 5258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-sn 3628  df-uni 3840  df-br 4034  df-iota 5219  df-fv 5266

This theorem is referenced by:  fv2prc  5595  strsl0  12727