Theorem 0fv 5635

Description: Function value of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0fv	|- ( (/) ` A ) = (/)

Proof of Theorem 0fv

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 5298	. 2 |- ( (/) ` A ) = ( iota x A (/) x )
2		noel 3472	. . . . . 6 |- -. <. A , x >. e. (/)
3		df-br 4060	. . . . . 6 |- ( A (/) x <-> <. A , x >. e. (/) )
4	2, 3	mtbir 673	. . . . 5 |- -. A (/) x
5	4	nex 1524	. . . 4 |- -. E. x A (/) x
6		euex 2085	. . . 4 |- ( E! x A (/) x -> E. x A (/) x )
7	5, 6	mto 664	. . 3 |- -. E! x A (/) x
8		iotanul 5266	. . 3 |- ( -. E! x A (/) x -> ( iota x A (/) x ) = (/) )
9	7, 8	ax-mp 5	. 2 |- ( iota x A (/) x ) = (/)
10	1, 9	eqtri 2228	1 |- ( (/) ` A ) = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1373   E.wex 1516   E!weu 2055   e. wcel 2178   (/)c0 3468   <.cop 3646   class class class wbr 4059   iotacio 5249   ` cfv 5290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-dif 3176  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-sn 3649  df-uni 3865  df-br 4060  df-iota 5251  df-fv 5298

This theorem is referenced by:  fv2prc  5636  ccat1st1st  11131  strsl0  12996