Theorem 0fv 5612

Description: Function value of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0fv	|- ( (/) ` A ) = (/)

Proof of Theorem 0fv

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 5279	. 2 |- ( (/) ` A ) = ( iota x A (/) x )
2		noel 3464	. . . . . 6 |- -. <. A , x >. e. (/)
3		df-br 4045	. . . . . 6 |- ( A (/) x <-> <. A , x >. e. (/) )
4	2, 3	mtbir 673	. . . . 5 |- -. A (/) x
5	4	nex 1523	. . . 4 |- -. E. x A (/) x
6		euex 2084	. . . 4 |- ( E! x A (/) x -> E. x A (/) x )
7	5, 6	mto 664	. . 3 |- -. E! x A (/) x
8		iotanul 5247	. . 3 |- ( -. E! x A (/) x -> ( iota x A (/) x ) = (/) )
9	7, 8	ax-mp 5	. 2 |- ( iota x A (/) x ) = (/)
10	1, 9	eqtri 2226	1 |- ( (/) ` A ) = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1373   E.wex 1515   E!weu 2054   e. wcel 2176   (/)c0 3460   <.cop 3636   class class class wbr 4044   iotacio 5230   ` cfv 5271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-dif 3168  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-sn 3639  df-uni 3851  df-br 4045  df-iota 5232  df-fv 5279

This theorem is referenced by:  fv2prc  5613  ccat1st1st  11093  strsl0  12881