Theorem 0fv 5708

Description: Function value of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0fv	|- ( (/) ` A ) = (/)

Proof of Theorem 0fv

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 5360	. 2 |- ( (/) ` A ) = ( iota x A (/) x )
2		noel 3512	. . . . . 6 |- -. <. A , x >. e. (/)
3		df-br 4110	. . . . . 6 |- ( A (/) x <-> <. A , x >. e. (/) )
4	2, 3	mtbir 678	. . . . 5 |- -. A (/) x
5	4	nex 1549	. . . 4 |- -. E. x A (/) x
6		euex 2110	. . . 4 |- ( E! x A (/) x -> E. x A (/) x )
7	5, 6	mto 668	. . 3 |- -. E! x A (/) x
8		iotanul 5328	. . 3 |- ( -. E! x A (/) x -> ( iota x A (/) x ) = (/) )
9	7, 8	ax-mp 5	. 2 |- ( iota x A (/) x ) = (/)
10	1, 9	eqtri 2253	1 |- ( (/) ` A ) = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1398   E.wex 1541   E!weu 2080   e. wcel 2203   (/)c0 3508   <.cop 3692   class class class wbr 4109   iotacio 5310   ` cfv 5352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-dif 3213  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-sn 3695  df-uni 3915  df-br 4110  df-iota 5312  df-fv 5360

This theorem is referenced by:  fv2prc  5709  ccat1st1st  11329  strsl0  13261