Theorem 0fv 5552

Description: Function value of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0fv	|- ( (/) ` A ) = (/)

Proof of Theorem 0fv

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 5226	. 2 |- ( (/) ` A ) = ( iota x A (/) x )
2		noel 3428	. . . . . 6 |- -. <. A , x >. e. (/)
3		df-br 4006	. . . . . 6 |- ( A (/) x <-> <. A , x >. e. (/) )
4	2, 3	mtbir 671	. . . . 5 |- -. A (/) x
5	4	nex 1500	. . . 4 |- -. E. x A (/) x
6		euex 2056	. . . 4 |- ( E! x A (/) x -> E. x A (/) x )
7	5, 6	mto 662	. . 3 |- -. E! x A (/) x
8		iotanul 5195	. . 3 |- ( -. E! x A (/) x -> ( iota x A (/) x ) = (/) )
9	7, 8	ax-mp 5	. 2 |- ( iota x A (/) x ) = (/)
10	1, 9	eqtri 2198	1 |- ( (/) ` A ) = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1353   E.wex 1492   E!weu 2026   e. wcel 2148   (/)c0 3424   <.cop 3597   class class class wbr 4005   iotacio 5178   ` cfv 5218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-dif 3133  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-sn 3600  df-uni 3812  df-br 4006  df-iota 5180  df-fv 5226

This theorem is referenced by:  strsl0  12513