Theorem strsl0 12513

Description: All components of the empty set are empty sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 31-Jan-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
strsl0.e	|- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )

Assertion

Ref	Expression
strsl0	|- (/) = ( E ` (/) )

Proof of Theorem strsl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4132	. . 3 |- (/) e. _V
2		strsl0.e	. . . 4 |- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
3	2	simpli 111	. . 3 |- E = Slot ( E ` ndx )
4	2	simpri 113	. . 3 |- ( E ` ndx ) e. NN
5	1, 3, 4	strnfvn 12485	. 2 |- ( E ` (/) ) = ( (/) ` ( E ` ndx ) )
6		0fv 5552	. 2 |- ( (/) ` ( E ` ndx ) ) = (/)
7	5, 6	eqtr2i 2199	1 |- (/) = ( E ` (/) )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   (/)c0 3424   ` cfv 5218   NNcn 8921   ndxcnx 12461  Slot cslot 12463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-slot 12468

This theorem is referenced by:  base0  12514