Theorem strsl0 12670

Description: All components of the empty set are empty sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 31-Jan-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
strsl0.e	|- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )

Assertion

Ref	Expression
strsl0	|- (/) = ( E ` (/) )

Proof of Theorem strsl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4157	. . 3 |- (/) e. _V
2		strsl0.e	. . . 4 |- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
3	2	simpli 111	. . 3 |- E = Slot ( E ` ndx )
4	2	simpri 113	. . 3 |- ( E ` ndx ) e. NN
5	1, 3, 4	strnfvn 12642	. 2 |- ( E ` (/) ) = ( (/) ` ( E ` ndx ) )
6		0fv 5591	. 2 |- ( (/) ` ( E ` ndx ) ) = (/)
7	5, 6	eqtr2i 2215	1 |- (/) = ( E ` (/) )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   (/)c0 3447   ` cfv 5255   NNcn 8984   ndxcnx 12618  Slot cslot 12620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-slot 12625

This theorem is referenced by:  base0  12671