Theorem strsl0 11789

Description: All components of the empty set are empty sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 31-Jan-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
strsl0.e	|- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )

Assertion

Ref	Expression
strsl0	|- (/) = ( E ` (/) )

Proof of Theorem strsl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 3995	. . 3 |- (/) e. _V
2		strsl0.e	. . . 4 |- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
3	2	simpli 110	. . 3 |- E = Slot ( E ` ndx )
4	2	simpri 112	. . 3 |- ( E ` ndx ) e. NN
5	1, 3, 4	strnfvn 11762	. 2 |- ( E ` (/) ) = ( (/) ` ( E ` ndx ) )
6		0fv 5388	. 2 |- ( (/) ` ( E ` ndx ) ) = (/)
7	5, 6	eqtr2i 2121	1 |- (/) = ( E ` (/) )

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1299   e. wcel 1448   (/)c0 3310   ` cfv 5059   NNcn 8578   ndxcnx 11738  Slot cslot 11740

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fv 5067  df-slot 11745

This theorem is referenced by:  base0  11790