Theorem nfunsn 5530

Description: If the restriction of a class to a singleton is not a function, its value is the empty set. (Contributed by NM, 8-Aug-2010.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nfunsn	|- ( -. Fun ( F |` { A } ) -> ( F ` A ) = (/) )

Proof of Theorem nfunsn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eumo 2051	. . . . . . 7 |- ( E! y A F y -> E* y A F y )
2		vex 2733	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
3	2	brres 4897	. . . . . . . . 9 |- ( x ( F |` { A } ) y <-> ( x F y /\ x e. { A } ) )
4		velsn 3600	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { A } <-> x = A )
5		breq1 3992	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = A -> ( x F y <-> A F y ) )
6	4, 5	sylbi 120	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { A } -> ( x F y <-> A F y ) )
7	6	biimpac 296	. . . . . . . . 9 |- ( ( x F y /\ x e. { A } ) -> A F y )
8	3, 7	sylbi 120	. . . . . . . 8 |- ( x ( F |` { A } ) y -> A F y )
9	8	moimi 2084	. . . . . . 7 |- ( E* y A F y -> E* y x ( F |` { A } ) y )
10	1, 9	syl 14	. . . . . 6 |- ( E! y A F y -> E* y x ( F |` { A } ) y )
11	10	alrimiv 1867	. . . . 5 |- ( E! y A F y -> A. x E* y x ( F |` { A } ) y )
12		relres 4919	. . . . 5 |- Rel ( F |` { A } )
13	11, 12	jctil 310	. . . 4 |- ( E! y A F y -> ( Rel ( F |` { A } ) /\ A. x E* y x ( F |` { A } ) y ) )
14		dffun6 5212	. . . 4 |- ( Fun ( F |` { A } ) <-> ( Rel ( F |` { A } ) /\ A. x E* y x ( F |` { A } ) y ) )
15	13, 14	sylibr 133	. . 3 |- ( E! y A F y -> Fun ( F |` { A } ) )
16	15	con3i 627	. 2 |- ( -. Fun ( F |` { A } ) -> -. E! y A F y )
17		tz6.12-2 5487	. 2 |- ( -. E! y A F y -> ( F ` A ) = (/) )
18	16, 17	syl 14	1 |- ( -. Fun ( F |` { A } ) -> ( F ` A ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1346   = wceq 1348   E!weu 2019   E*wmo 2020   e. wcel 2141   (/)c0 3414   {csn 3583   class class class wbr 3989   |` cres 4613   Rel wrel 4616   Fun wfun 5192   ` cfv 5198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-res 4623  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206

This theorem is referenced by: (None)