Theorem nfunsn 5520

Description: If the restriction of a class to a singleton is not a function, its value is the empty set. (Contributed by NM, 8-Aug-2010.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nfunsn	|- ( -. Fun ( F |` { A } ) -> ( F ` A ) = (/) )

Proof of Theorem nfunsn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eumo 2046	. . . . . . 7 |- ( E! y A F y -> E* y A F y )
2		vex 2729	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
3	2	brres 4890	. . . . . . . . 9 |- ( x ( F |` { A } ) y <-> ( x F y /\ x e. { A } ) )
4		velsn 3593	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { A } <-> x = A )
5		breq1 3985	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = A -> ( x F y <-> A F y ) )
6	4, 5	sylbi 120	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { A } -> ( x F y <-> A F y ) )
7	6	biimpac 296	. . . . . . . . 9 |- ( ( x F y /\ x e. { A } ) -> A F y )
8	3, 7	sylbi 120	. . . . . . . 8 |- ( x ( F |` { A } ) y -> A F y )
9	8	moimi 2079	. . . . . . 7 |- ( E* y A F y -> E* y x ( F |` { A } ) y )
10	1, 9	syl 14	. . . . . 6 |- ( E! y A F y -> E* y x ( F |` { A } ) y )
11	10	alrimiv 1862	. . . . 5 |- ( E! y A F y -> A. x E* y x ( F |` { A } ) y )
12		relres 4912	. . . . 5 |- Rel ( F |` { A } )
13	11, 12	jctil 310	. . . 4 |- ( E! y A F y -> ( Rel ( F |` { A } ) /\ A. x E* y x ( F |` { A } ) y ) )
14		dffun6 5202	. . . 4 |- ( Fun ( F |` { A } ) <-> ( Rel ( F |` { A } ) /\ A. x E* y x ( F |` { A } ) y ) )
15	13, 14	sylibr 133	. . 3 |- ( E! y A F y -> Fun ( F |` { A } ) )
16	15	con3i 622	. 2 |- ( -. Fun ( F |` { A } ) -> -. E! y A F y )
17		tz6.12-2 5477	. 2 |- ( -. E! y A F y -> ( F ` A ) = (/) )
18	16, 17	syl 14	1 |- ( -. Fun ( F |` { A } ) -> ( F ` A ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1341   = wceq 1343   E!weu 2014   E*wmo 2015   e. wcel 2136   (/)c0 3409   {csn 3576   class class class wbr 3982   |` cres 4606   Rel wrel 4609   Fun wfun 5182   ` cfv 5188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-res 4616  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196

This theorem is referenced by: (None)