Theorem 0fv 5449

Description: Function value of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0fv	⊢ (∅‘𝐴) = ∅

Proof of Theorem 0fv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 5126	. 2 ⊢ (∅‘𝐴) = (℩𝑥𝐴∅𝑥)
2		noel 3362	. . . . . 6 ⊢ ¬ ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∈ ∅
3		df-br 3925	. . . . . 6 ⊢ (𝐴∅𝑥 ↔ ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∈ ∅)
4	2, 3	mtbir 660	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴∅𝑥
5	4	nex 1476	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑥 𝐴∅𝑥
6		euex 2027	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥 𝐴∅𝑥 → ∃𝑥 𝐴∅𝑥)
7	5, 6	mto 651	. . 3 ⊢ ¬ ∃!𝑥 𝐴∅𝑥
8		iotanul 5098	. . 3 ⊢ (¬ ∃!𝑥 𝐴∅𝑥 → (℩𝑥𝐴∅𝑥) = ∅)
9	7, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ (℩𝑥𝐴∅𝑥) = ∅
10	1, 9	eqtri 2158	1 ⊢ (∅‘𝐴) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1331  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480  ∃!weu 1997  ∅c0 3358  ⟨cop 3525   class class class wbr 3924  ℩cio 5081  ‘cfv 5118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-dif 3068  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-sn 3528  df-uni 3732  df-br 3925  df-iota 5083  df-fv 5126

This theorem is referenced by:  strsl0  11996