Theorem 0fv 5590

Description: Function value of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0fv	⊢ (∅‘𝐴) = ∅

Proof of Theorem 0fv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 5262	. 2 ⊢ (∅‘𝐴) = (℩𝑥𝐴∅𝑥)
2		noel 3450	. . . . . 6 ⊢ ¬ ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∈ ∅
3		df-br 4030	. . . . . 6 ⊢ (𝐴∅𝑥 ↔ ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∈ ∅)
4	2, 3	mtbir 672	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴∅𝑥
5	4	nex 1511	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑥 𝐴∅𝑥
6		euex 2072	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥 𝐴∅𝑥 → ∃𝑥 𝐴∅𝑥)
7	5, 6	mto 663	. . 3 ⊢ ¬ ∃!𝑥 𝐴∅𝑥
8		iotanul 5230	. . 3 ⊢ (¬ ∃!𝑥 𝐴∅𝑥 → (℩𝑥𝐴∅𝑥) = ∅)
9	7, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ (℩𝑥𝐴∅𝑥) = ∅
10	1, 9	eqtri 2214	1 ⊢ (∅‘𝐴) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1364  ∃wex 1503  ∃!weu 2042   ∈ wcel 2164  ∅c0 3446  ⟨cop 3621   class class class wbr 4029  ℩cio 5213  ‘cfv 5254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3155  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-sn 3624  df-uni 3836  df-br 4030  df-iota 5215  df-fv 5262

This theorem is referenced by:  fv2prc  5591  strsl0  12667