Theorem 0fv 5594

Description: Function value of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0fv	⊢ (∅‘𝐴) = ∅

Proof of Theorem 0fv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 5266	. 2 ⊢ (∅‘𝐴) = (℩𝑥𝐴∅𝑥)
2		noel 3454	. . . . . 6 ⊢ ¬ ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∈ ∅
3		df-br 4034	. . . . . 6 ⊢ (𝐴∅𝑥 ↔ ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∈ ∅)
4	2, 3	mtbir 672	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴∅𝑥
5	4	nex 1514	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑥 𝐴∅𝑥
6		euex 2075	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥 𝐴∅𝑥 → ∃𝑥 𝐴∅𝑥)
7	5, 6	mto 663	. . 3 ⊢ ¬ ∃!𝑥 𝐴∅𝑥
8		iotanul 5234	. . 3 ⊢ (¬ ∃!𝑥 𝐴∅𝑥 → (℩𝑥𝐴∅𝑥) = ∅)
9	7, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ (℩𝑥𝐴∅𝑥) = ∅
10	1, 9	eqtri 2217	1 ⊢ (∅‘𝐴) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1364  ∃wex 1506  ∃!weu 2045   ∈ wcel 2167  ∅c0 3450  ⟨cop 3625   class class class wbr 4033  ℩cio 5217  ‘cfv 5258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-sn 3628  df-uni 3840  df-br 4034  df-iota 5219  df-fv 5266

This theorem is referenced by:  fv2prc  5595  strsl0  12727