Theorem bdeqsuc 16919

Description: Boundedness of the formula expressing that a setvar is equal to the successor of another. (Contributed by BJ, 21-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bdeqsuc	|- BOUNDED x = suc y

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem bdeqsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdcsuc 16918	. . . 4 |- BOUNDED suc y
2	1	bdss 16902	. . 3 |- BOUNDED x C_ suc y
3		bdcv 16886	. . . . . . 7 |- BOUNDED x
4	3	bdss 16902	. . . . . 6 |- BOUNDED y C_ x
5	3	bdsnss 16911	. . . . . 6 |- BOUNDED { y } C_ x
6	4, 5	ax-bdan 16853	. . . . 5 |- BOUNDED ( y C_ x /\ { y } C_ x )
7		unss 3403	. . . . 5 |- ( ( y C_ x /\ { y } C_ x ) <-> ( y u. { y } ) C_ x )
8	6, 7	bd0 16862	. . . 4 |- BOUNDED ( y u. { y } ) C_ x
9		df-suc 4516	. . . . 5 |- suc y = ( y u. { y } )
10	9	sseq1i 3274	. . . 4 |- ( suc y C_ x <-> ( y u. { y } ) C_ x )
11	8, 10	bd0r 16863	. . 3 |- BOUNDED suc y C_ x
12	2, 11	ax-bdan 16853	. 2 |- BOUNDED ( x C_ suc y /\ suc y C_ x )
13		eqss 3263	. 2 |- ( x = suc y <-> ( x C_ suc y /\ suc y C_ x ) )
14	12, 13	bd0r 16863	1 |- BOUNDED x = suc y

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   = wceq 1402   u. cun 3218   C_ wss 3220   {csn 3709   suc csuc 4510  BOUNDED wbd 16850

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-bd0 16851  ax-bdan 16853  ax-bdor 16854  ax-bdal 16856  ax-bdeq 16858  ax-bdel 16859  ax-bdsb 16860

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-suc 4516  df-bdc 16879

This theorem is used by:  bj-bdsucel  16920  bj-nn0suc0  16988