Theorem bdeqsuc 16668

Description: Boundedness of the formula expressing that a setvar is equal to the successor of another. (Contributed by BJ, 21-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bdeqsuc	|- BOUNDED x = suc y

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem bdeqsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdcsuc 16667	. . . 4 |- BOUNDED suc y
2	1	bdss 16651	. . 3 |- BOUNDED x C_ suc y
3		bdcv 16635	. . . . . . 7 |- BOUNDED x
4	3	bdss 16651	. . . . . 6 |- BOUNDED y C_ x
5	3	bdsnss 16660	. . . . . 6 |- BOUNDED { y } C_ x
6	4, 5	ax-bdan 16602	. . . . 5 |- BOUNDED ( y C_ x /\ { y } C_ x )
7		unss 3395	. . . . 5 |- ( ( y C_ x /\ { y } C_ x ) <-> ( y u. { y } ) C_ x )
8	6, 7	bd0 16611	. . . 4 |- BOUNDED ( y u. { y } ) C_ x
9		df-suc 4494	. . . . 5 |- suc y = ( y u. { y } )
10	9	sseq1i 3266	. . . 4 |- ( suc y C_ x <-> ( y u. { y } ) C_ x )
11	8, 10	bd0r 16612	. . 3 |- BOUNDED suc y C_ x
12	2, 11	ax-bdan 16602	. 2 |- BOUNDED ( x C_ suc y /\ suc y C_ x )
13		eqss 3255	. 2 |- ( x = suc y <-> ( x C_ suc y /\ suc y C_ x ) )
14	12, 13	bd0r 16612	1 |- BOUNDED x = suc y

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1398   u. cun 3211   C_ wss 3213   {csn 3691   suc csuc 4488  BOUNDED wbd 16599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216  ax-bd0 16600  ax-bdan 16602  ax-bdor 16603  ax-bdal 16605  ax-bdeq 16607  ax-bdel 16608  ax-bdsb 16609

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-v 2817  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-sn 3697  df-suc 4494  df-bdc 16628

This theorem is referenced by:  bj-bdsucel  16669  bj-nn0suc0  16737