Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bdeqsuc Unicode version

Theorem bdeqsuc 11418
Description: Boundedness of the formula expressing that a setvar is equal to the successor of another. (Contributed by BJ, 21-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
bdeqsuc  |- BOUNDED  x  =  suc  y
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem bdeqsuc
StepHypRef Expression
1 bdcsuc 11417 . . . 4  |- BOUNDED  suc  y
21bdss 11401 . . 3  |- BOUNDED  x  C_  suc  y
3 bdcv 11385 . . . . . . 7  |- BOUNDED  x
43bdss 11401 . . . . . 6  |- BOUNDED  y  C_  x
53bdsnss 11410 . . . . . 6  |- BOUNDED  { y }  C_  x
64, 5ax-bdan 11352 . . . . 5  |- BOUNDED  ( y  C_  x  /\  { y }  C_  x )
7 unss 3172 . . . . 5  |-  ( ( y  C_  x  /\  { y }  C_  x
)  <->  ( y  u. 
{ y } ) 
C_  x )
86, 7bd0 11361 . . . 4  |- BOUNDED  ( y  u.  {
y } )  C_  x
9 df-suc 4189 . . . . 5  |-  suc  y  =  ( y  u. 
{ y } )
109sseq1i 3048 . . . 4  |-  ( suc  y  C_  x  <->  ( y  u.  { y } ) 
C_  x )
118, 10bd0r 11362 . . 3  |- BOUNDED  suc  y  C_  x
122, 11ax-bdan 11352 . 2  |- BOUNDED  ( x  C_  suc  y  /\  suc  y  C_  x )
13 eqss 3038 . 2  |-  ( x  =  suc  y  <->  ( x  C_ 
suc  y  /\  suc  y  C_  x ) )
1412, 13bd0r 11362 1  |- BOUNDED  x  =  suc  y
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    = wceq 1289    u. cun 2995    C_ wss 2997   {csn 3441   suc csuc 4183  BOUNDED wbd 11349
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-bd0 11350  ax-bdan 11352  ax-bdor 11353  ax-bdal 11355  ax-bdeq 11357  ax-bdel 11358  ax-bdsb 11359
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-sn 3447  df-suc 4189  df-bdc 11378
This theorem is referenced by:  bj-bdsucel  11419  bj-nn0suc0  11491
  Copyright terms: Public domain W3C validator