Theorem bdeqsuc 14773

Description: Boundedness of the formula expressing that a setvar is equal to the successor of another. (Contributed by BJ, 21-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bdeqsuc	|- BOUNDED x = suc y

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem bdeqsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdcsuc 14772	. . . 4 |- BOUNDED suc y
2	1	bdss 14756	. . 3 |- BOUNDED x C_ suc y
3		bdcv 14740	. . . . . . 7 |- BOUNDED x
4	3	bdss 14756	. . . . . 6 |- BOUNDED y C_ x
5	3	bdsnss 14765	. . . . . 6 |- BOUNDED { y } C_ x
6	4, 5	ax-bdan 14707	. . . . 5 |- BOUNDED ( y C_ x /\ { y } C_ x )
7		unss 3311	. . . . 5 |- ( ( y C_ x /\ { y } C_ x ) <-> ( y u. { y } ) C_ x )
8	6, 7	bd0 14716	. . . 4 |- BOUNDED ( y u. { y } ) C_ x
9		df-suc 4373	. . . . 5 |- suc y = ( y u. { y } )
10	9	sseq1i 3183	. . . 4 |- ( suc y C_ x <-> ( y u. { y } ) C_ x )
11	8, 10	bd0r 14717	. . 3 |- BOUNDED suc y C_ x
12	2, 11	ax-bdan 14707	. 2 |- BOUNDED ( x C_ suc y /\ suc y C_ x )
13		eqss 3172	. 2 |- ( x = suc y <-> ( x C_ suc y /\ suc y C_ x ) )
14	12, 13	bd0r 14717	1 |- BOUNDED x = suc y

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1353   u. cun 3129   C_ wss 3131   {csn 3594   suc csuc 4367  BOUNDED wbd 14704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-bd0 14705  ax-bdan 14707  ax-bdor 14708  ax-bdal 14710  ax-bdeq 14712  ax-bdel 14713  ax-bdsb 14714

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-sn 3600  df-suc 4373  df-bdc 14733

This theorem is referenced by:  bj-bdsucel  14774  bj-nn0suc0  14842