Theorem bdeqsuc 14929

Description: Boundedness of the formula expressing that a setvar is equal to the successor of another. (Contributed by BJ, 21-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bdeqsuc	|- BOUNDED x = suc y

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem bdeqsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdcsuc 14928	. . . 4 |- BOUNDED suc y
2	1	bdss 14912	. . 3 |- BOUNDED x C_ suc y
3		bdcv 14896	. . . . . . 7 |- BOUNDED x
4	3	bdss 14912	. . . . . 6 |- BOUNDED y C_ x
5	3	bdsnss 14921	. . . . . 6 |- BOUNDED { y } C_ x
6	4, 5	ax-bdan 14863	. . . . 5 |- BOUNDED ( y C_ x /\ { y } C_ x )
7		unss 3321	. . . . 5 |- ( ( y C_ x /\ { y } C_ x ) <-> ( y u. { y } ) C_ x )
8	6, 7	bd0 14872	. . . 4 |- BOUNDED ( y u. { y } ) C_ x
9		df-suc 4383	. . . . 5 |- suc y = ( y u. { y } )
10	9	sseq1i 3193	. . . 4 |- ( suc y C_ x <-> ( y u. { y } ) C_ x )
11	8, 10	bd0r 14873	. . 3 |- BOUNDED suc y C_ x
12	2, 11	ax-bdan 14863	. 2 |- BOUNDED ( x C_ suc y /\ suc y C_ x )
13		eqss 3182	. 2 |- ( x = suc y <-> ( x C_ suc y /\ suc y C_ x ) )
14	12, 13	bd0r 14873	1 |- BOUNDED x = suc y

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1363   u. cun 3139   C_ wss 3141   {csn 3604   suc csuc 4377  BOUNDED wbd 14860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-ext 2169  ax-bd0 14861  ax-bdan 14863  ax-bdor 14864  ax-bdal 14866  ax-bdeq 14868  ax-bdel 14869  ax-bdsb 14870

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-v 2751  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-sn 3610  df-suc 4383  df-bdc 14889

This theorem is referenced by:  bj-bdsucel  14930  bj-nn0suc0  14998