Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-nn0suc0 Unicode version

Theorem bj-nn0suc0 13725
Description: Constructive proof of a variant of nn0suc 4578. For a constructive proof of nn0suc 4578, see bj-nn0suc 13739. (Contributed by BJ, 19-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-nn0suc0  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  =  (/)  \/  E. x  e.  A  A  =  suc  x ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem bj-nn0suc0
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2171 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  (
y  =  (/)  <->  A  =  (/) ) )
2 eqeq1 2171 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  (
y  =  suc  x  <->  A  =  suc  x ) )
32rexeqbi1dv 2668 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  ( E. x  e.  y 
y  =  suc  x  <->  E. x  e.  A  A  =  suc  x ) )
41, 3orbi12d 783 . 2  |-  ( y  =  A  ->  (
( y  =  (/)  \/ 
E. x  e.  y  y  =  suc  x
)  <->  ( A  =  (/)  \/  E. x  e.  A  A  =  suc  x ) ) )
5 tru 1346 . . 3  |- T.
6 a1tru 1358 . . . 4  |-  ( T. 
-> T.  )
76rgenw 2519 . . 3  |-  A. z  e.  om  ( T.  -> T.  )
8 bdeq0 13642 . . . . 5  |- BOUNDED  y  =  (/)
9 bdeqsuc 13656 . . . . . 6  |- BOUNDED  y  =  suc  x
109ax-bdex 13594 . . . . 5  |- BOUNDED  E. x  e.  y  y  =  suc  x
118, 10ax-bdor 13591 . . . 4  |- BOUNDED  ( y  =  (/)  \/ 
E. x  e.  y  y  =  suc  x
)
12 nfv 1515 . . . 4  |-  F/ y T.
13 orc 702 . . . . 5  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  =  (/)  \/  E. x  e.  y  y  =  suc  x ) )
1413a1d 22 . . . 4  |-  ( y  =  (/)  ->  ( T. 
->  ( y  =  (/)  \/ 
E. x  e.  y  y  =  suc  x
) ) )
15 a1tru 1358 . . . . 5  |-  ( -.  ( y  =  z  ->  -.  ( y  =  (/)  \/  E. x  e.  y  y  =  suc  x ) )  -> T.  )
1615expi 628 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  =  (/)  \/ 
E. x  e.  y  y  =  suc  x
)  -> T.  )
)
17 vex 2727 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
_V
1817sucid 4392 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
suc  z
19 eleq2 2228 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( z  e.  y  <-> 
z  e.  suc  z
) )
2018, 19mpbiri 167 . . . . . . 7  |-  ( y  =  suc  z  -> 
z  e.  y )
21 suceq 4377 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  suc  x  =  suc  z )
2221eqeq2d 2176 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
y  =  suc  x  <->  y  =  suc  z ) )
2322rspcev 2828 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  y  /\  y  =  suc  z )  ->  E. x  e.  y  y  =  suc  x
)
2420, 23mpancom 419 . . . . . 6  |-  ( y  =  suc  z  ->  E. x  e.  y 
y  =  suc  x
)
2524olcd 724 . . . . 5  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( y  =  (/)  \/ 
E. x  e.  y  y  =  suc  x
) )
2625a1d 22 . . . 4  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( T.  ->  (
y  =  (/)  \/  E. x  e.  y  y  =  suc  x ) ) )
2711, 12, 12, 12, 14, 16, 26bj-bdfindis 13722 . . 3  |-  ( ( T.  /\  A. z  e.  om  ( T.  -> T.  ) )  ->  A. y  e.  om  ( y  =  (/)  \/  E. x  e.  y  y  =  suc  x ) )
285, 7, 27mp2an 423 . 2  |-  A. y  e.  om  ( y  =  (/)  \/  E. x  e.  y  y  =  suc  x )
294, 28vtoclri 2799 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  =  (/)  \/  E. x  e.  A  A  =  suc  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 698    = wceq 1342   T. wtru 1343    e. wcel 2135   A.wral 2442   E.wrex 2443   (/)c0 3407   suc csuc 4340   omcom 4564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-nul 4105  ax-pr 4184  ax-un 4408  ax-bd0 13588  ax-bdim 13589  ax-bdan 13590  ax-bdor 13591  ax-bdn 13592  ax-bdal 13593  ax-bdex 13594  ax-bdeq 13595  ax-bdel 13596  ax-bdsb 13597  ax-bdsep 13659  ax-infvn 13716
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2726  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3408  df-sn 3579  df-pr 3580  df-uni 3787  df-int 3822  df-suc 4346  df-iom 4565  df-bdc 13616  df-bj-ind 13702
This theorem is referenced by:  bj-nn0suc  13739
  Copyright terms: Public domain W3C validator