Theorem bj-nn0suc0 13832

Description: Constructive proof of a variant of nn0suc 4581. For a constructive proof of nn0suc 4581, see bj-nn0suc 13846. (Contributed by BJ, 19-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nn0suc0	|- ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. x e. A A = suc x ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem bj-nn0suc0

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2172	. . 3 |- ( y = A -> ( y = (/) <-> A = (/) ) )
2		eqeq1 2172	. . . 4 |- ( y = A -> ( y = suc x <-> A = suc x ) )
3	2	rexeqbi1dv 2670	. . 3 |- ( y = A -> ( E. x e. y y = suc x <-> E. x e. A A = suc x ) )
4	1, 3	orbi12d 783	. 2 |- ( y = A -> ( ( y = (/) \/ E. x e. y y = suc x ) <-> ( A = (/) \/ E. x e. A A = suc x ) ) )
5		tru 1347	. . 3 |- T.
6		a1tru 1359	. . . 4 |- ( T. -> T. )
7	6	rgenw 2521	. . 3 |- A. z e. om ( T. -> T. )
8		bdeq0 13749	. . . . 5 |- BOUNDED y = (/)
9		bdeqsuc 13763	. . . . . 6 |- BOUNDED y = suc x
10	9	ax-bdex 13701	. . . . 5 |- BOUNDED E. x e. y y = suc x
11	8, 10	ax-bdor 13698	. . . 4 |- BOUNDED ( y = (/) \/ E. x e. y y = suc x )
12		nfv 1516	. . . 4 |- F/ y T.
13		orc 702	. . . . 5 |- ( y = (/) -> ( y = (/) \/ E. x e. y y = suc x ) )
14	13	a1d 22	. . . 4 |- ( y = (/) -> ( T. -> ( y = (/) \/ E. x e. y y = suc x ) ) )
15		a1tru 1359	. . . . 5 |- ( -. ( y = z -> -. ( y = (/) \/ E. x e. y y = suc x ) ) -> T. )
16	15	expi 628	. . . 4 |- ( y = z -> ( ( y = (/) \/ E. x e. y y = suc x ) -> T. ) )
17		vex 2729	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
18	17	sucid 4395	. . . . . . . 8 |- z e. suc z
19		eleq2 2230	. . . . . . . 8 |- ( y = suc z -> ( z e. y <-> z e. suc z ) )
20	18, 19	mpbiri 167	. . . . . . 7 |- ( y = suc z -> z e. y )
21		suceq 4380	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> suc x = suc z )
22	21	eqeq2d 2177	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( y = suc x <-> y = suc z ) )
23	22	rspcev 2830	. . . . . . 7 |- ( ( z e. y /\ y = suc z ) -> E. x e. y y = suc x )
24	20, 23	mpancom 419	. . . . . 6 |- ( y = suc z -> E. x e. y y = suc x )
25	24	olcd 724	. . . . 5 |- ( y = suc z -> ( y = (/) \/ E. x e. y y = suc x ) )
26	25	a1d 22	. . . 4 |- ( y = suc z -> ( T. -> ( y = (/) \/ E. x e. y y = suc x ) ) )
27	11, 12, 12, 12, 14, 16, 26	bj-bdfindis 13829	. . 3 |- ( ( T. /\ A. z e. om ( T. -> T. ) ) -> A. y e. om ( y = (/) \/ E. x e. y y = suc x ) )
28	5, 7, 27	mp2an 423	. 2 |- A. y e. om ( y = (/) \/ E. x e. y y = suc x )
29	4, 28	vtoclri 2801	1 |- ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. x e. A A = suc x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 698   = wceq 1343   T. wtru 1344   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   (/)c0 3409   suc csuc 4343   omcom 4567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-nul 4108  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-bd0 13695  ax-bdim 13696  ax-bdan 13697  ax-bdor 13698  ax-bdn 13699  ax-bdal 13700  ax-bdex 13701  ax-bdeq 13702  ax-bdel 13703  ax-bdsb 13704  ax-bdsep 13766  ax-infvn 13823

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790  df-int 3825  df-suc 4349  df-iom 4568  df-bdc 13723  df-bj-ind 13809

This theorem is referenced by:  bj-nn0suc  13846