Theorem bj-uniex2 16632

Description: uniex2 4539 from bounded separation. (Contributed by BJ, 15-Oct-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-uniex2	|- E. y y = U. x

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem bj-uniex2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdcuni 16592	. . . 4 |- BOUNDED U. x
2	1	bdeli 16562	. . 3 |- BOUNDED z e. U. x
3		zfun 4537	. . . 4 |- E. y A. z ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y )
4		eluni 3901	. . . . . . 7 |- ( z e. U. x <-> E. y ( z e. y /\ y e. x ) )
5	4	imbi1i 238	. . . . . 6 |- ( ( z e. U. x -> z e. y ) <-> ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y ) )
6	5	albii 1519	. . . . 5 |- ( A. z ( z e. U. x -> z e. y ) <-> A. z ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y ) )
7	6	exbii 1654	. . . 4 |- ( E. y A. z ( z e. U. x -> z e. y ) <-> E. y A. z ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y ) )
8	3, 7	mpbir 146	. . 3 |- E. y A. z ( z e. U. x -> z e. y )
9	2, 8	bdbm1.3ii 16607	. 2 |- E. y A. z ( z e. y <-> z e. U. x )
10		dfcleq 2225	. . 3 |- ( y = U. x <-> A. z ( z e. y <-> z e. U. x ) )
11	10	exbii 1654	. 2 |- ( E. y y = U. x <-> E. y A. z ( z e. y <-> z e. U. x ) )
12	9, 11	mpbir 146	1 |- E. y y = U. x

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1396   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   U.cuni 3898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-un 4536  ax-bd0 16529  ax-bdex 16535  ax-bdel 16537  ax-bdsb 16538  ax-bdsep 16600

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-rex 2517  df-v 2805  df-uni 3899  df-bdc 16557

This theorem is referenced by:  bj-uniex  16633