Theorem bj-uniex2 15562

Description: uniex2 4471 from bounded separation. (Contributed by BJ, 15-Oct-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-uniex2	|- E. y y = U. x

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem bj-uniex2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdcuni 15522	. . . 4 |- BOUNDED U. x
2	1	bdeli 15492	. . 3 |- BOUNDED z e. U. x
3		zfun 4469	. . . 4 |- E. y A. z ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y )
4		eluni 3842	. . . . . . 7 |- ( z e. U. x <-> E. y ( z e. y /\ y e. x ) )
5	4	imbi1i 238	. . . . . 6 |- ( ( z e. U. x -> z e. y ) <-> ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y ) )
6	5	albii 1484	. . . . 5 |- ( A. z ( z e. U. x -> z e. y ) <-> A. z ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y ) )
7	6	exbii 1619	. . . 4 |- ( E. y A. z ( z e. U. x -> z e. y ) <-> E. y A. z ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y ) )
8	3, 7	mpbir 146	. . 3 |- E. y A. z ( z e. U. x -> z e. y )
9	2, 8	bdbm1.3ii 15537	. 2 |- E. y A. z ( z e. y <-> z e. U. x )
10		dfcleq 2190	. . 3 |- ( y = U. x <-> A. z ( z e. y <-> z e. U. x ) )
11	10	exbii 1619	. 2 |- ( E. y y = U. x <-> E. y A. z ( z e. y <-> z e. U. x ) )
12	9, 11	mpbir 146	1 |- E. y y = U. x

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1362   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   U.cuni 3839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-un 4468  ax-bd0 15459  ax-bdex 15465  ax-bdel 15467  ax-bdsb 15468  ax-bdsep 15530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rex 2481  df-v 2765  df-uni 3840  df-bdc 15487

This theorem is referenced by:  bj-uniex  15563