Theorem bj-uniex2 16511

Description: uniex2 4533 from bounded separation. (Contributed by BJ, 15-Oct-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-uniex2	|- E. y y = U. x

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem bj-uniex2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdcuni 16471	. . . 4 |- BOUNDED U. x
2	1	bdeli 16441	. . 3 |- BOUNDED z e. U. x
3		zfun 4531	. . . 4 |- E. y A. z ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y )
4		eluni 3896	. . . . . . 7 |- ( z e. U. x <-> E. y ( z e. y /\ y e. x ) )
5	4	imbi1i 238	. . . . . 6 |- ( ( z e. U. x -> z e. y ) <-> ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y ) )
6	5	albii 1518	. . . . 5 |- ( A. z ( z e. U. x -> z e. y ) <-> A. z ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y ) )
7	6	exbii 1653	. . . 4 |- ( E. y A. z ( z e. U. x -> z e. y ) <-> E. y A. z ( E. y ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. y ) )
8	3, 7	mpbir 146	. . 3 |- E. y A. z ( z e. U. x -> z e. y )
9	2, 8	bdbm1.3ii 16486	. 2 |- E. y A. z ( z e. y <-> z e. U. x )
10		dfcleq 2225	. . 3 |- ( y = U. x <-> A. z ( z e. y <-> z e. U. x ) )
11	10	exbii 1653	. 2 |- ( E. y y = U. x <-> E. y A. z ( z e. y <-> z e. U. x ) )
12	9, 11	mpbir 146	1 |- E. y y = U. x

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1395   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   U.cuni 3893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-un 4530  ax-bd0 16408  ax-bdex 16414  ax-bdel 16416  ax-bdsb 16417  ax-bdsep 16479

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-rex 2516  df-v 2804  df-uni 3894  df-bdc 16436

This theorem is referenced by:  bj-uniex  16512