Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-uniex2 Unicode version

Theorem bj-uniex2 13916
Description: uniex2 4419 from bounded separation. (Contributed by BJ, 15-Oct-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-uniex2  |-  E. y 
y  =  U. x
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem bj-uniex2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bdcuni 13876 . . . 4  |- BOUNDED 
U. x
21bdeli 13846 . . 3  |- BOUNDED  z  e.  U. x
3 zfun 4417 . . . 4  |-  E. y A. z ( E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  z  e.  y )
4 eluni 3797 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  U. x  <->  E. y
( z  e.  y  /\  y  e.  x
) )
54imbi1i 237 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  U. x  ->  z  e.  y )  <-> 
( E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
65albii 1463 . . . . 5  |-  ( A. z ( z  e. 
U. x  ->  z  e.  y )  <->  A. z
( E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
76exbii 1598 . . . 4  |-  ( E. y A. z ( z  e.  U. x  ->  z  e.  y )  <->  E. y A. z ( E. y ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  y ) )
83, 7mpbir 145 . . 3  |-  E. y A. z ( z  e. 
U. x  ->  z  e.  y )
92, 8bdbm1.3ii 13891 . 2  |-  E. y A. z ( z  e.  y  <->  z  e.  U. x )
10 dfcleq 2164 . . 3  |-  ( y  =  U. x  <->  A. z
( z  e.  y  <-> 
z  e.  U. x
) )
1110exbii 1598 . 2  |-  ( E. y  y  =  U. x 
<->  E. y A. z
( z  e.  y  <-> 
z  e.  U. x
) )
129, 11mpbir 145 1  |-  E. y 
y  =  U. x
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wal 1346    = wceq 1348   E.wex 1485    e. wcel 2141   U.cuni 3794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-un 4416  ax-bd0 13813  ax-bdex 13819  ax-bdel 13821  ax-bdsb 13822  ax-bdsep 13884
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-rex 2454  df-v 2732  df-uni 3795  df-bdc 13841
This theorem is referenced by:  bj-uniex  13917
  Copyright terms: Public domain W3C validator