Theorem bnd2 4233

Description: A variant of the Boundedness Axiom bnd 4232 that picks a subset z out of a possibly proper class B in which a property is true. (Contributed by NM, 4-Feb-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
bnd2.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
bnd2	|- ( A. x e. A E. y e. B ph -> E. z ( z C_ B /\ A. x e. A E. y e. z ph ) )

Distinct variable groups:   ph, z   x, z, A   x, y, B, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( y)

Proof of Theorem bnd2

Dummy variables w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2492	. . . 4 |- ( E. y e. B ph <-> E. y ( y e. B /\ ph ) )
2	1	ralbii 2514	. . 3 |- ( A. x e. A E. y e. B ph <-> A. x e. A E. y ( y e. B /\ ph ) )
3		bnd2.1	. . . 4 |- A e. _V
4		raleq 2705	. . . . 5 |- ( v = A -> ( A. x e. v E. y ( y e. B /\ ph ) <-> A. x e. A E. y ( y e. B /\ ph ) ) )
5		raleq 2705	. . . . . 6 |- ( v = A -> ( A. x e. v E. y e. w ( y e. B /\ ph ) <-> A. x e. A E. y e. w ( y e. B /\ ph ) ) )
6	5	exbidv 1849	. . . . 5 |- ( v = A -> ( E. w A. x e. v E. y e. w ( y e. B /\ ph ) <-> E. w A. x e. A E. y e. w ( y e. B /\ ph ) ) )
7	4, 6	imbi12d 234	. . . 4 |- ( v = A -> ( ( A. x e. v E. y ( y e. B /\ ph ) -> E. w A. x e. v E. y e. w ( y e. B /\ ph ) ) <-> ( A. x e. A E. y ( y e. B /\ ph ) -> E. w A. x e. A E. y e. w ( y e. B /\ ph ) ) ) )
8		bnd 4232	. . . 4 |- ( A. x e. v E. y ( y e. B /\ ph ) -> E. w A. x e. v E. y e. w ( y e. B /\ ph ) )
9	3, 7, 8	vtocl 2832	. . 3 |- ( A. x e. A E. y ( y e. B /\ ph ) -> E. w A. x e. A E. y e. w ( y e. B /\ ph ) )
10	2, 9	sylbi 121	. 2 |- ( A. x e. A E. y e. B ph -> E. w A. x e. A E. y e. w ( y e. B /\ ph ) )
11		vex 2779	. . . . 5 |- w e. _V
12	11	inex1 4194	. . . 4 |- ( w i^i B ) e. _V
13		inss2 3402	. . . . . . 7 |- ( w i^i B ) C_ B
14		sseq1 3224	. . . . . . 7 |- ( z = ( w i^i B ) -> ( z C_ B <-> ( w i^i B ) C_ B ) )
15	13, 14	mpbiri 168	. . . . . 6 |- ( z = ( w i^i B ) -> z C_ B )
16	15	biantrurd 305	. . . . 5 |- ( z = ( w i^i B ) -> ( A. x e. A E. y e. z ph <-> ( z C_ B /\ A. x e. A E. y e. z ph ) ) )
17		rexeq 2706	. . . . . . 7 |- ( z = ( w i^i B ) -> ( E. y e. z ph <-> E. y e. ( w i^i B ) ph ) )
18		elin 3364	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( w i^i B ) <-> ( y e. w /\ y e. B ) )
19	18	anbi1i 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ( w i^i B ) /\ ph ) <-> ( ( y e. w /\ y e. B ) /\ ph ) )
20		anass 401	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. w /\ y e. B ) /\ ph ) <-> ( y e. w /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
21	19, 20	bitri 184	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ( w i^i B ) /\ ph ) <-> ( y e. w /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
22	21	rexbii2 2519	. . . . . . 7 |- ( E. y e. ( w i^i B ) ph <-> E. y e. w ( y e. B /\ ph ) )
23	17, 22	bitrdi 196	. . . . . 6 |- ( z = ( w i^i B ) -> ( E. y e. z ph <-> E. y e. w ( y e. B /\ ph ) ) )
24	23	ralbidv 2508	. . . . 5 |- ( z = ( w i^i B ) -> ( A. x e. A E. y e. z ph <-> A. x e. A E. y e. w ( y e. B /\ ph ) ) )
25	16, 24	bitr3d 190	. . . 4 |- ( z = ( w i^i B ) -> ( ( z C_ B /\ A. x e. A E. y e. z ph ) <-> A. x e. A E. y e. w ( y e. B /\ ph ) ) )
26	12, 25	spcev 2875	. . 3 |- ( A. x e. A E. y e. w ( y e. B /\ ph ) -> E. z ( z C_ B /\ A. x e. A E. y e. z ph ) )
27	26	exlimiv 1622	. 2 |- ( E. w A. x e. A E. y e. w ( y e. B /\ ph ) -> E. z ( z C_ B /\ A. x e. A E. y e. z ph ) )
28	10, 27	syl 14	1 |- ( A. x e. A E. y e. B ph -> E. z ( z C_ B /\ A. x e. A E. y e. z ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   A.wral 2486   E.wrex 2487   _Vcvv 2776   i^i cin 3173   C_ wss 3174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-in 3180  df-ss 3187

This theorem is referenced by: (None)