Theorem bnd2 4305

Description: A variant of the Boundedness Axiom bnd 4304 that picks a subset z out of a possibly proper class B in which a property is true. (Contributed by NM, 4-Feb-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
bnd2.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
bnd2	|- ( A. x e. A E. y e. B ph -> E. z ( z C_ B /\ A. x e. A E. y e. z ph ) )

Distinct variable groups:   ph, z   x, z, A   x, y, B, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( y)

Proof of Theorem bnd2

Dummy variables w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2534	. . . 4 |- ( E. y e. B ph <-> E. y ( y e. B /\ ph ) )
2	1	ralbii 2556	. . 3 |- ( A. x e. A E. y e. B ph <-> A. x e. A E. y ( y e. B /\ ph ) )
3		bnd2.1	. . . 4 |- A e. _V
4		raleq 2749	. . . . 5 |- ( v = A -> ( A. x e. v E. y ( y e. B /\ ph ) <-> A. x e. A E. y ( y e. B /\ ph ) ) )
5		raleq 2749	. . . . . 6 |- ( v = A -> ( A. x e. v E. y e. w ( y e. B /\ ph ) <-> A. x e. A E. y e. w ( y e. B /\ ph ) ) )
6	5	exbidv 1878	. . . . 5 |- ( v = A -> ( E. w A. x e. v E. y e. w ( y e. B /\ ph ) <-> E. w A. x e. A E. y e. w ( y e. B /\ ph ) ) )
7	4, 6	imbi12d 234	. . . 4 |- ( v = A -> ( ( A. x e. v E. y ( y e. B /\ ph ) -> E. w A. x e. v E. y e. w ( y e. B /\ ph ) ) <-> ( A. x e. A E. y ( y e. B /\ ph ) -> E. w A. x e. A E. y e. w ( y e. B /\ ph ) ) ) )
8		bnd 4304	. . . 4 |- ( A. x e. v E. y ( y e. B /\ ph ) -> E. w A. x e. v E. y e. w ( y e. B /\ ph ) )
9	3, 7, 8	vtocl 2877	. . 3 |- ( A. x e. A E. y ( y e. B /\ ph ) -> E. w A. x e. A E. y e. w ( y e. B /\ ph ) )
10	2, 9	sylbi 121	. 2 |- ( A. x e. A E. y e. B ph -> E. w A. x e. A E. y e. w ( y e. B /\ ph ) )
11		vex 2824	. . . . 5 |- w e. _V
12	11	inex1 4262	. . . 4 |- ( w i^i B ) e. _V
13		inss2 3452	. . . . . . 7 |- ( w i^i B ) C_ B
14		sseq1 3271	. . . . . . 7 |- ( z = ( w i^i B ) -> ( z C_ B <-> ( w i^i B ) C_ B ) )
15	13, 14	mpbiri 168	. . . . . 6 |- ( z = ( w i^i B ) -> z C_ B )
16	15	biantrurd 305	. . . . 5 |- ( z = ( w i^i B ) -> ( A. x e. A E. y e. z ph <-> ( z C_ B /\ A. x e. A E. y e. z ph ) ) )
17		rexeq 2750	. . . . . . 7 |- ( z = ( w i^i B ) -> ( E. y e. z ph <-> E. y e. ( w i^i B ) ph ) )
18		elin 3412	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( w i^i B ) <-> ( y e. w /\ y e. B ) )
19	18	anbi1i 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ( w i^i B ) /\ ph ) <-> ( ( y e. w /\ y e. B ) /\ ph ) )
20		anass 405	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. w /\ y e. B ) /\ ph ) <-> ( y e. w /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
21	19, 20	bitri 184	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ( w i^i B ) /\ ph ) <-> ( y e. w /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
22	21	rexbii2 2561	. . . . . . 7 |- ( E. y e. ( w i^i B ) ph <-> E. y e. w ( y e. B /\ ph ) )
23	17, 22	bitrdi 196	. . . . . 6 |- ( z = ( w i^i B ) -> ( E. y e. z ph <-> E. y e. w ( y e. B /\ ph ) ) )
24	23	ralbidv 2550	. . . . 5 |- ( z = ( w i^i B ) -> ( A. x e. A E. y e. z ph <-> A. x e. A E. y e. w ( y e. B /\ ph ) ) )
25	16, 24	bitr3d 190	. . . 4 |- ( z = ( w i^i B ) -> ( ( z C_ B /\ A. x e. A E. y e. z ph ) <-> A. x e. A E. y e. w ( y e. B /\ ph ) ) )
26	12, 25	spcev 2920	. . 3 |- ( A. x e. A E. y e. w ( y e. B /\ ph ) -> E. z ( z C_ B /\ A. x e. A E. y e. z ph ) )
27	26	exlimiv 1651	. 2 |- ( E. w A. x e. A E. y e. w ( y e. B /\ ph ) -> E. z ( z C_ B /\ A. x e. A E. y e. z ph ) )
28	10, 27	syl 14	1 |- ( A. x e. A E. y e. B ph -> E. z ( z C_ B /\ A. x e. A E. y e. z ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   i^i cin 3219   C_ wss 3220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is referenced by: (None)