Theorem bnd2 4159

Description: A variant of the Boundedness Axiom bnd 4158 that picks a subset z out of a possibly proper class B in which a property is true. (Contributed by NM, 4-Feb-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
bnd2.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
bnd2	|- ( A. x e. A E. y e. B ph -> E. z ( z C_ B /\ A. x e. A E. y e. z ph ) )

Distinct variable groups:   ph, z   x, z, A   x, y, B, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( y)

Proof of Theorem bnd2

Dummy variables w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2454	. . . 4 |- ( E. y e. B ph <-> E. y ( y e. B /\ ph ) )
2	1	ralbii 2476	. . 3 |- ( A. x e. A E. y e. B ph <-> A. x e. A E. y ( y e. B /\ ph ) )
3		bnd2.1	. . . 4 |- A e. _V
4		raleq 2665	. . . . 5 |- ( v = A -> ( A. x e. v E. y ( y e. B /\ ph ) <-> A. x e. A E. y ( y e. B /\ ph ) ) )
5		raleq 2665	. . . . . 6 |- ( v = A -> ( A. x e. v E. y e. w ( y e. B /\ ph ) <-> A. x e. A E. y e. w ( y e. B /\ ph ) ) )
6	5	exbidv 1818	. . . . 5 |- ( v = A -> ( E. w A. x e. v E. y e. w ( y e. B /\ ph ) <-> E. w A. x e. A E. y e. w ( y e. B /\ ph ) ) )
7	4, 6	imbi12d 233	. . . 4 |- ( v = A -> ( ( A. x e. v E. y ( y e. B /\ ph ) -> E. w A. x e. v E. y e. w ( y e. B /\ ph ) ) <-> ( A. x e. A E. y ( y e. B /\ ph ) -> E. w A. x e. A E. y e. w ( y e. B /\ ph ) ) ) )
8		bnd 4158	. . . 4 |- ( A. x e. v E. y ( y e. B /\ ph ) -> E. w A. x e. v E. y e. w ( y e. B /\ ph ) )
9	3, 7, 8	vtocl 2784	. . 3 |- ( A. x e. A E. y ( y e. B /\ ph ) -> E. w A. x e. A E. y e. w ( y e. B /\ ph ) )
10	2, 9	sylbi 120	. 2 |- ( A. x e. A E. y e. B ph -> E. w A. x e. A E. y e. w ( y e. B /\ ph ) )
11		vex 2733	. . . . 5 |- w e. _V
12	11	inex1 4123	. . . 4 |- ( w i^i B ) e. _V
13		inss2 3348	. . . . . . 7 |- ( w i^i B ) C_ B
14		sseq1 3170	. . . . . . 7 |- ( z = ( w i^i B ) -> ( z C_ B <-> ( w i^i B ) C_ B ) )
15	13, 14	mpbiri 167	. . . . . 6 |- ( z = ( w i^i B ) -> z C_ B )
16	15	biantrurd 303	. . . . 5 |- ( z = ( w i^i B ) -> ( A. x e. A E. y e. z ph <-> ( z C_ B /\ A. x e. A E. y e. z ph ) ) )
17		rexeq 2666	. . . . . . 7 |- ( z = ( w i^i B ) -> ( E. y e. z ph <-> E. y e. ( w i^i B ) ph ) )
18		elin 3310	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( w i^i B ) <-> ( y e. w /\ y e. B ) )
19	18	anbi1i 455	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ( w i^i B ) /\ ph ) <-> ( ( y e. w /\ y e. B ) /\ ph ) )
20		anass 399	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. w /\ y e. B ) /\ ph ) <-> ( y e. w /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
21	19, 20	bitri 183	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ( w i^i B ) /\ ph ) <-> ( y e. w /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
22	21	rexbii2 2481	. . . . . . 7 |- ( E. y e. ( w i^i B ) ph <-> E. y e. w ( y e. B /\ ph ) )
23	17, 22	bitrdi 195	. . . . . 6 |- ( z = ( w i^i B ) -> ( E. y e. z ph <-> E. y e. w ( y e. B /\ ph ) ) )
24	23	ralbidv 2470	. . . . 5 |- ( z = ( w i^i B ) -> ( A. x e. A E. y e. z ph <-> A. x e. A E. y e. w ( y e. B /\ ph ) ) )
25	16, 24	bitr3d 189	. . . 4 |- ( z = ( w i^i B ) -> ( ( z C_ B /\ A. x e. A E. y e. z ph ) <-> A. x e. A E. y e. w ( y e. B /\ ph ) ) )
26	12, 25	spcev 2825	. . 3 |- ( A. x e. A E. y e. w ( y e. B /\ ph ) -> E. z ( z C_ B /\ A. x e. A E. y e. z ph ) )
27	26	exlimiv 1591	. 2 |- ( E. w A. x e. A E. y e. w ( y e. B /\ ph ) -> E. z ( z C_ B /\ A. x e. A E. y e. z ph ) )
28	10, 27	syl 14	1 |- ( A. x e. A E. y e. B ph -> E. z ( z C_ B /\ A. x e. A E. y e. z ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   i^i cin 3120   C_ wss 3121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-in 3127  df-ss 3134

This theorem is referenced by: (None)