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Theorem bnd2 4170
Description: A variant of the Boundedness Axiom bnd 4169 that picks a subset  z out of a possibly proper class 
B in which a property is true. (Contributed by NM, 4-Feb-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
bnd2.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
bnd2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. z ( z  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph ) )
Distinct variable groups:    ph, z    x, z, A    x, y, B, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( y)

Proof of Theorem bnd2
Dummy variables  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rex 2461 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  ph  <->  E. y ( y  e.  B  /\  ph )
)
21ralbii 2483 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  A. x  e.  A  E. y
( y  e.  B  /\  ph ) )
3 bnd2.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
4 raleq 2672 . . . . 5  |-  ( v  =  A  ->  ( A. x  e.  v  E. y ( y  e.  B  /\  ph )  <->  A. x  e.  A  E. y ( y  e.  B  /\  ph )
) )
5 raleq 2672 . . . . . 6  |-  ( v  =  A  ->  ( A. x  e.  v  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )
) )
65exbidv 1825 . . . . 5  |-  ( v  =  A  ->  ( E. w A. x  e.  v  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )  <->  E. w A. x  e.  A  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )
) )
74, 6imbi12d 234 . . . 4  |-  ( v  =  A  ->  (
( A. x  e.  v  E. y ( y  e.  B  /\  ph )  ->  E. w A. x  e.  v  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph ) )  <->  ( A. x  e.  A  E. y ( y  e.  B  /\  ph )  ->  E. w A. x  e.  A  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )
) ) )
8 bnd 4169 . . . 4  |-  ( A. x  e.  v  E. y ( y  e.  B  /\  ph )  ->  E. w A. x  e.  v  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )
)
93, 7, 8vtocl 2791 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E. y ( y  e.  B  /\  ph )  ->  E. w A. x  e.  A  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )
)
102, 9sylbi 121 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. w A. x  e.  A  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )
)
11 vex 2740 . . . . 5  |-  w  e. 
_V
1211inex1 4134 . . . 4  |-  ( w  i^i  B )  e. 
_V
13 inss2 3356 . . . . . . 7  |-  ( w  i^i  B )  C_  B
14 sseq1 3178 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( w  i^i 
B )  ->  (
z  C_  B  <->  ( w  i^i  B )  C_  B
) )
1513, 14mpbiri 168 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( w  i^i 
B )  ->  z  C_  B )
1615biantrurd 305 . . . . 5  |-  ( z  =  ( w  i^i 
B )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph 
<->  ( z  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph ) ) )
17 rexeq 2673 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( w  i^i 
B )  ->  ( E. y  e.  z  ph 
<->  E. y  e.  ( w  i^i  B )
ph ) )
18 elin 3318 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( w  i^i 
B )  <->  ( y  e.  w  /\  y  e.  B ) )
1918anbi1i 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( w  i^i  B )  /\  ph )  <->  ( ( y  e.  w  /\  y  e.  B )  /\  ph ) )
20 anass 401 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  w  /\  y  e.  B
)  /\  ph )  <->  ( y  e.  w  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) ) )
2119, 20bitri 184 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( w  i^i  B )  /\  ph )  <->  ( y  e.  w  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
2221rexbii2 2488 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  ( w  i^i  B ) ph  <->  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph ) )
2317, 22bitrdi 196 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( w  i^i 
B )  ->  ( E. y  e.  z  ph 
<->  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
2423ralbidv 2477 . . . . 5  |-  ( z  =  ( w  i^i 
B )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph 
<-> 
A. x  e.  A  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
2516, 24bitr3d 190 . . . 4  |-  ( z  =  ( w  i^i 
B )  ->  (
( z  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph )  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
2612, 25spcev 2832 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  w  (
y  e.  B  /\  ph )  ->  E. z
( z  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph ) )
2726exlimiv 1598 . 2  |-  ( E. w A. x  e.  A  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )  ->  E. z ( z 
C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph ) )
2810, 27syl 14 1  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. z ( z  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   _Vcvv 2737    i^i cin 3128    C_ wss 3129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-in 3135  df-ss 3142
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