Theorem qfto 5000

Description: A quantifier-free way of expressing the total order predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
qfto	|- ( ( A X. B ) C_ ( R u. `' R ) <-> A. x e. A A. y e. B ( x R y \/ y R x ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, R, y

Proof of Theorem qfto

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 4641	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( A X. B ) <-> ( x e. A /\ y e. B ) )
2		brun 4040	. . . . 5 |- ( x ( R u. `' R ) y <-> ( x R y \/ x `' R y ) )
3		df-br 3990	. . . . 5 |- ( x ( R u. `' R ) y <-> <. x , y >. e. ( R u. `' R ) )
4		vex 2733	. . . . . . 7 |- x e. _V
5		vex 2733	. . . . . . 7 |- y e. _V
6	4, 5	brcnv 4794	. . . . . 6 |- ( x `' R y <-> y R x )
7	6	orbi2i 757	. . . . 5 |- ( ( x R y \/ x `' R y ) <-> ( x R y \/ y R x ) )
8	2, 3, 7	3bitr3i 209	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( R u. `' R ) <-> ( x R y \/ y R x ) )
9	1, 8	imbi12i 238	. . 3 |- ( ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> <. x , y >. e. ( R u. `' R ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x R y \/ y R x ) ) )
10	9	2albii 1464	. 2 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> <. x , y >. e. ( R u. `' R ) ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x R y \/ y R x ) ) )
11		relxp 4720	. . 3 |- Rel ( A X. B )
12		ssrel 4699	. . 3 |- ( Rel ( A X. B ) -> ( ( A X. B ) C_ ( R u. `' R ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> <. x , y >. e. ( R u. `' R ) ) ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. 2 |- ( ( A X. B ) C_ ( R u. `' R ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> <. x , y >. e. ( R u. `' R ) ) )
14		r2al 2489	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B ( x R y \/ y R x ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x R y \/ y R x ) ) )
15	10, 13, 14	3bitr4i 211	1 |- ( ( A X. B ) C_ ( R u. `' R ) <-> A. x e. A A. y e. B ( x R y \/ y R x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703   A.wal 1346   e. wcel 2141   A.wral 2448   u. cun 3119   C_ wss 3121   <.cop 3586   class class class wbr 3989   X. cxp 4609   `'ccnv 4610   Rel wrel 4616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619

This theorem is referenced by: (None)