ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qfto Unicode version

Theorem qfto 5036
Description: A quantifier-free way of expressing the total order predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
qfto  |-  ( ( A  X.  B ) 
C_  ( R  u.  `' R )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x R y  \/  y R x ) )
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B, y    x, R, y

Proof of Theorem qfto
StepHypRef Expression
1 opelxp 4674 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  <->  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )
2 brun 4069 . . . . 5  |-  ( x ( R  u.  `' R ) y  <->  ( x R y  \/  x `' R y ) )
3 df-br 4019 . . . . 5  |-  ( x ( R  u.  `' R ) y  <->  <. x ,  y >.  e.  ( R  u.  `' R
) )
4 vex 2755 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
5 vex 2755 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
64, 5brcnv 4828 . . . . . 6  |-  ( x `' R y  <->  y R x )
76orbi2i 763 . . . . 5  |-  ( ( x R y  \/  x `' R y )  <->  ( x R y  \/  y R x ) )
82, 3, 73bitr3i 210 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( R  u.  `' R )  <->  ( x R y  \/  y R x ) )
91, 8imbi12i 239 . . 3  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  ->  <. x ,  y >.  e.  ( R  u.  `' R
) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( x R y  \/  y R x ) ) )
1092albii 1482 . 2  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  ->  <. x ,  y >.  e.  ( R  u.  `' R
) )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  (
x R y  \/  y R x ) ) )
11 relxp 4753 . . 3  |-  Rel  ( A  X.  B )
12 ssrel 4732 . . 3  |-  ( Rel  ( A  X.  B
)  ->  ( ( A  X.  B )  C_  ( R  u.  `' R )  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B )  ->  <. x ,  y
>.  e.  ( R  u.  `' R ) ) ) )
1311, 12ax-mp 5 . 2  |-  ( ( A  X.  B ) 
C_  ( R  u.  `' R )  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B )  ->  <. x ,  y
>.  e.  ( R  u.  `' R ) ) )
14 r2al 2509 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x R y  \/  y R x )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  ( x R y  \/  y R x ) ) )
1510, 13, 143bitr4i 212 1  |-  ( ( A  X.  B ) 
C_  ( R  u.  `' R )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x R y  \/  y R x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709   A.wal 1362    e. wcel 2160   A.wral 2468    u. cun 3142    C_ wss 3144   <.cop 3610   class class class wbr 4018    X. cxp 4642   `'ccnv 4643   Rel wrel 4649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator