Theorem qfto 5118

Description: A quantifier-free way of expressing the total order predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
qfto	|- ( ( A X. B ) C_ ( R u. `' R ) <-> A. x e. A A. y e. B ( x R y \/ y R x ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, R, y

Proof of Theorem qfto

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 4749	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( A X. B ) <-> ( x e. A /\ y e. B ) )
2		brun 4135	. . . . 5 |- ( x ( R u. `' R ) y <-> ( x R y \/ x `' R y ) )
3		df-br 4084	. . . . 5 |- ( x ( R u. `' R ) y <-> <. x , y >. e. ( R u. `' R ) )
4		vex 2802	. . . . . . 7 |- x e. _V
5		vex 2802	. . . . . . 7 |- y e. _V
6	4, 5	brcnv 4905	. . . . . 6 |- ( x `' R y <-> y R x )
7	6	orbi2i 767	. . . . 5 |- ( ( x R y \/ x `' R y ) <-> ( x R y \/ y R x ) )
8	2, 3, 7	3bitr3i 210	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( R u. `' R ) <-> ( x R y \/ y R x ) )
9	1, 8	imbi12i 239	. . 3 |- ( ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> <. x , y >. e. ( R u. `' R ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x R y \/ y R x ) ) )
10	9	2albii 1517	. 2 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> <. x , y >. e. ( R u. `' R ) ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x R y \/ y R x ) ) )
11		relxp 4828	. . 3 |- Rel ( A X. B )
12		ssrel 4807	. . 3 |- ( Rel ( A X. B ) -> ( ( A X. B ) C_ ( R u. `' R ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> <. x , y >. e. ( R u. `' R ) ) ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. 2 |- ( ( A X. B ) C_ ( R u. `' R ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> <. x , y >. e. ( R u. `' R ) ) )
14		r2al 2549	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B ( x R y \/ y R x ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x R y \/ y R x ) ) )
15	10, 13, 14	3bitr4i 212	1 |- ( ( A X. B ) C_ ( R u. `' R ) <-> A. x e. A A. y e. B ( x R y \/ y R x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   A.wal 1393   e. wcel 2200   A.wral 2508   u. cun 3195   C_ wss 3197   <.cop 3669   class class class wbr 4083   X. cxp 4717   `'ccnv 4718   Rel wrel 4724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727

This theorem is referenced by: (None)