Theorem qfto 4923

Description: A quantifier-free way of expressing the total order predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
qfto	|- ( ( A X. B ) C_ ( R u. `' R ) <-> A. x e. A A. y e. B ( x R y \/ y R x ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, R, y

Proof of Theorem qfto

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 4564	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( A X. B ) <-> ( x e. A /\ y e. B ) )
2		brun 3974	. . . . 5 |- ( x ( R u. `' R ) y <-> ( x R y \/ x `' R y ) )
3		df-br 3925	. . . . 5 |- ( x ( R u. `' R ) y <-> <. x , y >. e. ( R u. `' R ) )
4		vex 2684	. . . . . . 7 |- x e. _V
5		vex 2684	. . . . . . 7 |- y e. _V
6	4, 5	brcnv 4717	. . . . . 6 |- ( x `' R y <-> y R x )
7	6	orbi2i 751	. . . . 5 |- ( ( x R y \/ x `' R y ) <-> ( x R y \/ y R x ) )
8	2, 3, 7	3bitr3i 209	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( R u. `' R ) <-> ( x R y \/ y R x ) )
9	1, 8	imbi12i 238	. . 3 |- ( ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> <. x , y >. e. ( R u. `' R ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x R y \/ y R x ) ) )
10	9	2albii 1447	. 2 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> <. x , y >. e. ( R u. `' R ) ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x R y \/ y R x ) ) )
11		relxp 4643	. . 3 |- Rel ( A X. B )
12		ssrel 4622	. . 3 |- ( Rel ( A X. B ) -> ( ( A X. B ) C_ ( R u. `' R ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> <. x , y >. e. ( R u. `' R ) ) ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. 2 |- ( ( A X. B ) C_ ( R u. `' R ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> <. x , y >. e. ( R u. `' R ) ) )
14		r2al 2452	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B ( x R y \/ y R x ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x R y \/ y R x ) ) )
15	10, 13, 14	3bitr4i 211	1 |- ( ( A X. B ) C_ ( R u. `' R ) <-> A. x e. A A. y e. B ( x R y \/ y R x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   A.wal 1329   e. wcel 1480   A.wral 2414   u. cun 3064   C_ wss 3066   <.cop 3525   class class class wbr 3924   X. cxp 4532   `'ccnv 4533   Rel wrel 4539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542

This theorem is referenced by: (None)