Theorem qfto 5126

Description: A quantifier-free way of expressing the total order predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
qfto	|- ( ( A X. B ) C_ ( R u. `' R ) <-> A. x e. A A. y e. B ( x R y \/ y R x ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, R, y

Proof of Theorem qfto

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 4755	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( A X. B ) <-> ( x e. A /\ y e. B ) )
2		brun 4140	. . . . 5 |- ( x ( R u. `' R ) y <-> ( x R y \/ x `' R y ) )
3		df-br 4089	. . . . 5 |- ( x ( R u. `' R ) y <-> <. x , y >. e. ( R u. `' R ) )
4		vex 2805	. . . . . . 7 |- x e. _V
5		vex 2805	. . . . . . 7 |- y e. _V
6	4, 5	brcnv 4913	. . . . . 6 |- ( x `' R y <-> y R x )
7	6	orbi2i 769	. . . . 5 |- ( ( x R y \/ x `' R y ) <-> ( x R y \/ y R x ) )
8	2, 3, 7	3bitr3i 210	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( R u. `' R ) <-> ( x R y \/ y R x ) )
9	1, 8	imbi12i 239	. . 3 |- ( ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> <. x , y >. e. ( R u. `' R ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x R y \/ y R x ) ) )
10	9	2albii 1519	. 2 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> <. x , y >. e. ( R u. `' R ) ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x R y \/ y R x ) ) )
11		relxp 4835	. . 3 |- Rel ( A X. B )
12		ssrel 4814	. . 3 |- ( Rel ( A X. B ) -> ( ( A X. B ) C_ ( R u. `' R ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> <. x , y >. e. ( R u. `' R ) ) ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. 2 |- ( ( A X. B ) C_ ( R u. `' R ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> <. x , y >. e. ( R u. `' R ) ) )
14		r2al 2551	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B ( x R y \/ y R x ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x R y \/ y R x ) ) )
15	10, 13, 14	3bitr4i 212	1 |- ( ( A X. B ) C_ ( R u. `' R ) <-> A. x e. A A. y e. B ( x R y \/ y R x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715   A.wal 1395   e. wcel 2202   A.wral 2510   u. cun 3198   C_ wss 3200   <.cop 3672   class class class wbr 4088   X. cxp 4723   `'ccnv 4724   Rel wrel 4730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733

This theorem is referenced by: (None)