ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qfto Unicode version

Theorem qfto 4896
Description: A quantifier-free way of expressing the total order predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
qfto  |-  ( ( A  X.  B ) 
C_  ( R  u.  `' R )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x R y  \/  y R x ) )
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B, y    x, R, y

Proof of Theorem qfto
StepHypRef Expression
1 opelxp 4537 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  <->  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )
2 brun 3947 . . . . 5  |-  ( x ( R  u.  `' R ) y  <->  ( x R y  \/  x `' R y ) )
3 df-br 3898 . . . . 5  |-  ( x ( R  u.  `' R ) y  <->  <. x ,  y >.  e.  ( R  u.  `' R
) )
4 vex 2661 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
5 vex 2661 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
64, 5brcnv 4690 . . . . . 6  |-  ( x `' R y  <->  y R x )
76orbi2i 734 . . . . 5  |-  ( ( x R y  \/  x `' R y )  <->  ( x R y  \/  y R x ) )
82, 3, 73bitr3i 209 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( R  u.  `' R )  <->  ( x R y  \/  y R x ) )
91, 8imbi12i 238 . . 3  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  ->  <. x ,  y >.  e.  ( R  u.  `' R
) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( x R y  \/  y R x ) ) )
1092albii 1430 . 2  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  ->  <. x ,  y >.  e.  ( R  u.  `' R
) )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  (
x R y  \/  y R x ) ) )
11 relxp 4616 . . 3  |-  Rel  ( A  X.  B )
12 ssrel 4595 . . 3  |-  ( Rel  ( A  X.  B
)  ->  ( ( A  X.  B )  C_  ( R  u.  `' R )  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B )  ->  <. x ,  y
>.  e.  ( R  u.  `' R ) ) ) )
1311, 12ax-mp 5 . 2  |-  ( ( A  X.  B ) 
C_  ( R  u.  `' R )  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B )  ->  <. x ,  y
>.  e.  ( R  u.  `' R ) ) )
14 r2al 2429 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x R y  \/  y R x )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  ( x R y  \/  y R x ) ) )
1510, 13, 143bitr4i 211 1  |-  ( ( A  X.  B ) 
C_  ( R  u.  `' R )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x R y  \/  y R x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680   A.wal 1312    e. wcel 1463   A.wral 2391    u. cun 3037    C_ wss 3039   <.cop 3498   class class class wbr 3897    X. cxp 4505   `'ccnv 4506   Rel wrel 4512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-br 3898  df-opab 3958  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator