Theorem qfto 4936

Description: A quantifier-free way of expressing the total order predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
qfto	|- ( ( A X. B ) C_ ( R u. `' R ) <-> A. x e. A A. y e. B ( x R y \/ y R x ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, R, y

Proof of Theorem qfto

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 4577	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( A X. B ) <-> ( x e. A /\ y e. B ) )
2		brun 3987	. . . . 5 |- ( x ( R u. `' R ) y <-> ( x R y \/ x `' R y ) )
3		df-br 3938	. . . . 5 |- ( x ( R u. `' R ) y <-> <. x , y >. e. ( R u. `' R ) )
4		vex 2692	. . . . . . 7 |- x e. _V
5		vex 2692	. . . . . . 7 |- y e. _V
6	4, 5	brcnv 4730	. . . . . 6 |- ( x `' R y <-> y R x )
7	6	orbi2i 752	. . . . 5 |- ( ( x R y \/ x `' R y ) <-> ( x R y \/ y R x ) )
8	2, 3, 7	3bitr3i 209	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( R u. `' R ) <-> ( x R y \/ y R x ) )
9	1, 8	imbi12i 238	. . 3 |- ( ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> <. x , y >. e. ( R u. `' R ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x R y \/ y R x ) ) )
10	9	2albii 1448	. 2 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> <. x , y >. e. ( R u. `' R ) ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x R y \/ y R x ) ) )
11		relxp 4656	. . 3 |- Rel ( A X. B )
12		ssrel 4635	. . 3 |- ( Rel ( A X. B ) -> ( ( A X. B ) C_ ( R u. `' R ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> <. x , y >. e. ( R u. `' R ) ) ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. 2 |- ( ( A X. B ) C_ ( R u. `' R ) <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. ( A X. B ) -> <. x , y >. e. ( R u. `' R ) ) )
14		r2al 2457	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B ( x R y \/ y R x ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x R y \/ y R x ) ) )
15	10, 13, 14	3bitr4i 211	1 |- ( ( A X. B ) C_ ( R u. `' R ) <-> A. x e. A A. y e. B ( x R y \/ y R x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   A.wal 1330   e. wcel 1481   A.wral 2417   u. cun 3074   C_ wss 3076   <.cop 3535   class class class wbr 3937   X. cxp 4545   `'ccnv 4546   Rel wrel 4552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555

This theorem is referenced by: (None)