ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qfto Unicode version

Theorem qfto 4821
Description: A quantifier-free way of expressing the total order predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
qfto  |-  ( ( A  X.  B ) 
C_  ( R  u.  `' R )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x R y  \/  y R x ) )
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B, y    x, R, y

Proof of Theorem qfto
StepHypRef Expression
1 opelxp 4467 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  <->  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )
2 brun 3891 . . . . 5  |-  ( x ( R  u.  `' R ) y  <->  ( x R y  \/  x `' R y ) )
3 df-br 3846 . . . . 5  |-  ( x ( R  u.  `' R ) y  <->  <. x ,  y >.  e.  ( R  u.  `' R
) )
4 vex 2622 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
5 vex 2622 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
64, 5brcnv 4619 . . . . . 6  |-  ( x `' R y  <->  y R x )
76orbi2i 714 . . . . 5  |-  ( ( x R y  \/  x `' R y )  <->  ( x R y  \/  y R x ) )
82, 3, 73bitr3i 208 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( R  u.  `' R )  <->  ( x R y  \/  y R x ) )
91, 8imbi12i 237 . . 3  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  ->  <. x ,  y >.  e.  ( R  u.  `' R
) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( x R y  \/  y R x ) ) )
1092albii 1405 . 2  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  B
)  ->  <. x ,  y >.  e.  ( R  u.  `' R
) )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  (
x R y  \/  y R x ) ) )
11 relxp 4547 . . 3  |-  Rel  ( A  X.  B )
12 ssrel 4526 . . 3  |-  ( Rel  ( A  X.  B
)  ->  ( ( A  X.  B )  C_  ( R  u.  `' R )  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B )  ->  <. x ,  y
>.  e.  ( R  u.  `' R ) ) ) )
1311, 12ax-mp 7 . 2  |-  ( ( A  X.  B ) 
C_  ( R  u.  `' R )  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  ( A  X.  B )  ->  <. x ,  y
>.  e.  ( R  u.  `' R ) ) )
14 r2al 2397 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x R y  \/  y R x )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  ( x R y  \/  y R x ) ) )
1510, 13, 143bitr4i 210 1  |-  ( ( A  X.  B ) 
C_  ( R  u.  `' R )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x R y  \/  y R x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664   A.wal 1287    e. wcel 1438   A.wral 2359    u. cun 2997    C_ wss 2999   <.cop 3449   class class class wbr 3845    X. cxp 4436   `'ccnv 4437   Rel wrel 4443
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-br 3846  df-opab 3900  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator