Theorem dff12 5327

Description: Alternate definition of a one-to-one function. (Contributed by NM, 31-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dff12	|- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y E* x x F y ) )

Distinct variable group:   x, y, F

Allowed substitution hints:   A( x, y)   B( x, y)

Proof of Theorem dff12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f1 5128	. 2 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ Fun `' F ) )
2		funcnv2 5183	. . 3 |- ( Fun `' F <-> A. y E* x x F y )
3	2	anbi2i 452	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ Fun `' F ) <-> ( F : A --> B /\ A. y E* x x F y ) )
4	1, 3	bitri 183	1 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y E* x x F y ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1329   E*wmo 2000   class class class wbr 3929   `'ccnv 4538   Fun wfun 5117   -->wf 5119   -1-1->wf1 5120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-fun 5125  df-f1 5128

This theorem is referenced by:  dff13  5669