Theorem dff12 5541

Description: Alternate definition of a one-to-one function. (Contributed by NM, 31-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dff12	|- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y E* x x F y ) )

Distinct variable group:   x, y, F

Allowed substitution hints:   A( x, y)   B( x, y)

Proof of Theorem dff12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f1 5331	. 2 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ Fun `' F ) )
2		funcnv2 5390	. . 3 |- ( Fun `' F <-> A. y E* x x F y )
3	2	anbi2i 457	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ Fun `' F ) <-> ( F : A --> B /\ A. y E* x x F y ) )
4	1, 3	bitri 184	1 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y E* x x F y ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1395   E*wmo 2080   class class class wbr 4088   `'ccnv 4724   Fun wfun 5320   -->wf 5322   -1-1->wf1 5323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-fun 5328  df-f1 5331

This theorem is referenced by:  dff13  5908