Theorem dff13 5718

Description: A one-to-one function in terms of function values. Compare Theorem 4.8(iv) of [Monk1] p. 43. (Contributed by NM, 29-Oct-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dff13	|- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, F, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)

Proof of Theorem dff13

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dff12 5374	. 2 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ A. z E* x x F z ) )
2		ffn 5319	. . . 4 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
3		vex 2715	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- x e. _V
4		vex 2715	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- z e. _V
5	3, 4	breldm 4790	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x F z -> x e. dom F )
6		fndm 5269	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F Fn A -> dom F = A )
7	6	eleq2d 2227	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F Fn A -> ( x e. dom F <-> x e. A ) )
8	5, 7	syl5ib 153	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F Fn A -> ( x F z -> x e. A ) )
9		vex 2715	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- y e. _V
10	9, 4	breldm 4790	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y F z -> y e. dom F )
11	6	eleq2d 2227	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F Fn A -> ( y e. dom F <-> y e. A ) )
12	10, 11	syl5ib 153	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F Fn A -> ( y F z -> y e. A ) )
13	8, 12	anim12d 333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F Fn A -> ( ( x F z /\ y F z ) -> ( x e. A /\ y e. A ) ) )
14	13	pm4.71rd 392	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn A -> ( ( x F z /\ y F z ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( x F z /\ y F z ) ) ) )
15		eqcom 2159	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( F ` x ) <-> ( F ` x ) = z )
16		fnbrfvb 5509	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( ( F ` x ) = z <-> x F z ) )
17	15, 16	syl5bb 191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( z = ( F ` x ) <-> x F z ) )
18		eqcom 2159	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( F ` y ) <-> ( F ` y ) = z )
19		fnbrfvb 5509	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F Fn A /\ y e. A ) -> ( ( F ` y ) = z <-> y F z ) )
20	18, 19	syl5bb 191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F Fn A /\ y e. A ) -> ( z = ( F ` y ) <-> y F z ) )
21	17, 20	bi2anan9 596	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F Fn A /\ x e. A ) /\ ( F Fn A /\ y e. A ) ) -> ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) <-> ( x F z /\ y F z ) ) )
22	21	anandis 582	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F Fn A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) <-> ( x F z /\ y F z ) ) )
23	22	pm5.32da 448	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn A -> ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( x F z /\ y F z ) ) ) )
24	14, 23	bitr4d 190	. . . . . . . . . 10 |- ( F Fn A -> ( ( x F z /\ y F z ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) ) ) )
25	24	imbi1d 230	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn A -> ( ( ( x F z /\ y F z ) -> x = y ) <-> ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) ) -> x = y ) ) )
26		impexp 261	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) ) -> x = y ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) ) )
27	25, 26	bitrdi 195	. . . . . . . 8 |- ( F Fn A -> ( ( ( x F z /\ y F z ) -> x = y ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) ) ) )
28	27	albidv 1804	. . . . . . 7 |- ( F Fn A -> ( A. z ( ( x F z /\ y F z ) -> x = y ) <-> A. z ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) ) ) )
29		19.21v 1853	. . . . . . . 8 |- ( A. z ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> A. z ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) ) )
30		19.23v 1863	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) <-> ( E. z ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) )
31		funfvex 5485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) e. _V )
32	31	funfni 5270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. _V )
33		eqvincg 2836	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` x ) e. _V -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> E. z ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) ) )
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> E. z ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) ) )
35	34	imbi1d 230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> ( E. z ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) ) )
36	30, 35	bitr4id 198	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( A. z ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) <-> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
37	36	adantrr 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Fn A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( A. z ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) <-> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
38	37	pm5.74da 440	. . . . . . . 8 |- ( F Fn A -> ( ( ( x e. A /\ y e. A ) -> A. z ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) ) )
39	29, 38	syl5bb 191	. . . . . . 7 |- ( F Fn A -> ( A. z ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) ) )
40	28, 39	bitrd 187	. . . . . 6 |- ( F Fn A -> ( A. z ( ( x F z /\ y F z ) -> x = y ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) ) )
41	40	2albidv 1847	. . . . 5 |- ( F Fn A -> ( A. x A. y A. z ( ( x F z /\ y F z ) -> x = y ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) ) )
42		breq1 3968	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x F z <-> y F z ) )
43	42	mo4 2067	. . . . . . 7 |- ( E* x x F z <-> A. x A. y ( ( x F z /\ y F z ) -> x = y ) )
44	43	albii 1450	. . . . . 6 |- ( A. z E* x x F z <-> A. z A. x A. y ( ( x F z /\ y F z ) -> x = y ) )
45		alrot3 1465	. . . . . 6 |- ( A. z A. x A. y ( ( x F z /\ y F z ) -> x = y ) <-> A. x A. y A. z ( ( x F z /\ y F z ) -> x = y ) )
46	44, 45	bitri 183	. . . . 5 |- ( A. z E* x x F z <-> A. x A. y A. z ( ( x F z /\ y F z ) -> x = y ) )
47		r2al 2476	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
48	41, 46, 47	3bitr4g 222	. . . 4 |- ( F Fn A -> ( A. z E* x x F z <-> A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
49	2, 48	syl 14	. . 3 |- ( F : A --> B -> ( A. z E* x x F z <-> A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
50	49	pm5.32i 450	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ A. z E* x x F z ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
51	1, 50	bitri 183	1 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1333   = wceq 1335   E.wex 1472   E*wmo 2007   e. wcel 2128   A.wral 2435   _Vcvv 2712   class class class wbr 3965   dom cdm 4586   Fn wfn 5165   -->wf 5166   -1-1->wf1 5167   ` cfv 5170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fv 5178

This theorem is referenced by:  f1veqaeq  5719  dff13f  5720  dff1o6  5726  fcof1  5733  f1o2ndf1  6175  cc2lem  7186  cnref1o  9559  frec2uzf1od  10305  iseqf1olemqf1o  10392  reeff1  11597  crth  12099  eulerthlemh  12106  nninfdclemf1  12194  ioocosf1o  13186  peano4nninf  13589  exmidsbthrlem  13604