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Theorem dff13 5529
Description: A one-to-one function in terms of function values. Compare Theorem 4.8(iv) of [Monk1] p. 43. (Contributed by NM, 29-Oct-1996.)
Assertion
Ref Expression
dff13  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, F, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem dff13
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dff12 5199 . 2  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. z E* x  x F z ) )
2 ffn 5147 . . . 4  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
3 vex 2622 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
4 vex 2622 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  z  e. 
_V
53, 4breldm 4628 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x F z  ->  x  e.  dom  F )
6 fndm 5099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  Fn  A  ->  dom  F  =  A )
76eleq2d 2157 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  Fn  A  ->  (
x  e.  dom  F  <->  x  e.  A ) )
85, 7syl5ib 152 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  A  ->  (
x F z  ->  x  e.  A )
)
9 vex 2622 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
109, 4breldm 4628 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y F z  ->  y  e.  dom  F )
116eleq2d 2157 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  Fn  A  ->  (
y  e.  dom  F  <->  y  e.  A ) )
1210, 11syl5ib 152 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  A  ->  (
y F z  -> 
y  e.  A ) )
138, 12anim12d 328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  Fn  A  ->  (
( x F z  /\  y F z )  ->  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) ) )
1413pm4.71rd 386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  A  ->  (
( x F z  /\  y F z )  <->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
x F z  /\  y F z ) ) ) )
15 eqcom 2090 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( F `  x )  <->  ( F `  x )  =  z )
16 fnbrfvb 5329 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F `  x )  =  z  <-> 
x F z ) )
1715, 16syl5bb 190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( z  =  ( F `  x )  <-> 
x F z ) )
18 eqcom 2090 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( F `  y )  <->  ( F `  y )  =  z )
19 fnbrfvb 5329 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  Fn  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( F `  y )  =  z  <-> 
y F z ) )
2018, 19syl5bb 190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Fn  A  /\  y  e.  A )  ->  ( z  =  ( F `  y )  <-> 
y F z ) )
2117, 20bi2anan9 573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  x  e.  A
)  /\  ( F  Fn  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( z  =  ( F `  x
)  /\  z  =  ( F `  y ) )  <->  ( x F z  /\  y F z ) ) )
2221anandis 559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  Fn  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  <->  ( x F z  /\  y F z ) ) )
2322pm5.32da 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  A  ->  (
( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
z  =  ( F `
 x )  /\  z  =  ( F `  y ) ) )  <-> 
( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
x F z  /\  y F z ) ) ) )
2414, 23bitr4d 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  A  ->  (
( x F z  /\  y F z )  <->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
z  =  ( F `
 x )  /\  z  =  ( F `  y ) ) ) ) )
2524imbi1d 229 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  A  ->  (
( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y )  <->  ( (
( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) ) )  ->  x  =  y ) ) )
26 impexp 259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
z  =  ( F `
 x )  /\  z  =  ( F `  y ) ) )  ->  x  =  y )  <->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y ) ) )
2725, 26syl6bb 194 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  A  ->  (
( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( z  =  ( F `  x
)  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y ) ) ) )
2827albidv 1752 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  A  ->  ( A. z ( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y )  <->  A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y ) ) ) )
29 19.21v 1801 . . . . . . . 8  |-  ( A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  A. z ( ( z  =  ( F `
 x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y )
) )
30 funfvex 5306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F )  -> 
( F `  x
)  e.  _V )
3130funfni 5100 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x
)  e.  _V )
32 eqvincg 2739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x )  e.  _V  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  E. z
( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) ) ) )
3331, 32syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <->  E. z ( z  =  ( F `  x
)  /\  z  =  ( F `  y ) ) ) )
3433imbi1d 229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  ->  x  =  y )  <->  ( E. z ( z  =  ( F `  x
)  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y ) ) )
35 19.23v 1811 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z ( ( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y )  <->  ( E. z ( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y )
)
3634, 35syl6rbbr 197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( A. z ( ( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y )  <->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
3736adantrr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  Fn  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  ( A. z ( ( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y )  <->  ( ( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
3837pm5.74da 432 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  A  ->  (
( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  A. z
( ( z  =  ( F `  x
)  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) )
3929, 38syl5bb 190 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  A  ->  ( A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) )
4028, 39bitrd 186 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  A  ->  ( A. z ( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y )  <->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) )
41402albidv 1795 . . . . 5  |-  ( F  Fn  A  ->  ( A. x A. y A. z ( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) )
42 breq1 3840 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x F z  <->  y F
z ) )
4342mo4 2009 . . . . . . 7  |-  ( E* x  x F z  <->  A. x A. y ( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y ) )
4443albii 1404 . . . . . 6  |-  ( A. z E* x  x F z  <->  A. z A. x A. y ( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y )
)
45 alrot3 1419 . . . . . 6  |-  ( A. z A. x A. y
( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y )  <->  A. x A. y A. z ( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y ) )
4644, 45bitri 182 . . . . 5  |-  ( A. z E* x  x F z  <->  A. x A. y A. z ( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y )
)
47 r2al 2397 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
4841, 46, 473bitr4g 221 . . . 4  |-  ( F  Fn  A  ->  ( A. z E* x  x F z  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
492, 48syl 14 . . 3  |-  ( F : A --> B  -> 
( A. z E* x  x F z  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
5049pm5.32i 442 . 2  |-  ( ( F : A --> B  /\  A. z E* x  x F z )  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
511, 50bitri 182 1  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103   A.wal 1287    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   E*wmo 1949   A.wral 2359   _Vcvv 2619   class class class wbr 3837   dom cdm 4428    Fn wfn 4997   -->wf 4998   -1-1->wf1 4999   ` cfv 5002
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-sbc 2839  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fv 5010
This theorem is referenced by:  f1veqaeq  5530  dff13f  5531  dff1o6  5537  fcof1  5544  f1o2ndf1  5975  cnref1o  9102  frec2uzf1od  9778  iseqf1olemqf1o  9887  crth  11282  peano4nninf  11542  exmidsbthrlem  11558
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