Theorem dff13 5977

Description: A one-to-one function in terms of function values. Compare Theorem 4.8(iv) of [Monk1] p. 43. (Contributed by NM, 29-Oct-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dff13	|- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, F, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)

Proof of Theorem dff13

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dff12 5600	. 2 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ A. z E* x x F z ) )
2		ffn 5536	. . . 4 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
3		vex 2824	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- x e. _V
4		vex 2824	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- z e. _V
5	3, 4	breldm 4987	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x F z -> x e. dom F )
6		fndm 5483	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F Fn A -> dom F = A )
7	6	eleq2d 2308	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F Fn A -> ( x e. dom F <-> x e. A ) )
8	5, 7	imbitrid 154	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F Fn A -> ( x F z -> x e. A ) )
9		vex 2824	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- y e. _V
10	9, 4	breldm 4987	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y F z -> y e. dom F )
11	6	eleq2d 2308	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F Fn A -> ( y e. dom F <-> y e. A ) )
12	10, 11	imbitrid 154	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F Fn A -> ( y F z -> y e. A ) )
13	8, 12	anim12d 335	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F Fn A -> ( ( x F z /\ y F z ) -> ( x e. A /\ y e. A ) ) )
14	13	pm4.71rd 398	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn A -> ( ( x F z /\ y F z ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( x F z /\ y F z ) ) ) )
15		eqcom 2240	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( F ` x ) <-> ( F ` x ) = z )
16		fnbrfvb 5744	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( ( F ` x ) = z <-> x F z ) )
17	15, 16	bitrid 192	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( z = ( F ` x ) <-> x F z ) )
18		eqcom 2240	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( F ` y ) <-> ( F ` y ) = z )
19		fnbrfvb 5744	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F Fn A /\ y e. A ) -> ( ( F ` y ) = z <-> y F z ) )
20	18, 19	bitrid 192	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F Fn A /\ y e. A ) -> ( z = ( F ` y ) <-> y F z ) )
21	17, 20	bi2anan9 614	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F Fn A /\ x e. A ) /\ ( F Fn A /\ y e. A ) ) -> ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) <-> ( x F z /\ y F z ) ) )
22	21	anandis 600	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F Fn A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) <-> ( x F z /\ y F z ) ) )
23	22	pm5.32da 456	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn A -> ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( x F z /\ y F z ) ) ) )
24	14, 23	bitr4d 191	. . . . . . . . . 10 |- ( F Fn A -> ( ( x F z /\ y F z ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) ) ) )
25	24	imbi1d 231	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn A -> ( ( ( x F z /\ y F z ) -> x = y ) <-> ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) ) -> x = y ) ) )
26		impexp 263	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) ) -> x = y ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) ) )
27	25, 26	bitrdi 196	. . . . . . . 8 |- ( F Fn A -> ( ( ( x F z /\ y F z ) -> x = y ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) ) ) )
28	27	albidv 1877	. . . . . . 7 |- ( F Fn A -> ( A. z ( ( x F z /\ y F z ) -> x = y ) <-> A. z ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) ) ) )
29		19.21v 1926	. . . . . . . 8 |- ( A. z ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> A. z ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) ) )
30		19.23v 1936	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) <-> ( E. z ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) )
31		funfvex 5715	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) e. _V )
32	31	funfni 5486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. _V )
33		eqvincg 2950	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` x ) e. _V -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> E. z ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) ) )
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> E. z ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) ) )
35	34	imbi1d 231	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> ( E. z ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) ) )
36	30, 35	bitr4id 199	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( A. z ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) <-> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
37	36	adantrr 483	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Fn A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( A. z ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) <-> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
38	37	pm5.74da 447	. . . . . . . 8 |- ( F Fn A -> ( ( ( x e. A /\ y e. A ) -> A. z ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) ) )
39	29, 38	bitrid 192	. . . . . . 7 |- ( F Fn A -> ( A. z ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) ) )
40	28, 39	bitrd 188	. . . . . 6 |- ( F Fn A -> ( A. z ( ( x F z /\ y F z ) -> x = y ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) ) )
41	40	2albidv 1920	. . . . 5 |- ( F Fn A -> ( A. x A. y A. z ( ( x F z /\ y F z ) -> x = y ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) ) )
42		breq1 4134	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x F z <-> y F z ) )
43	42	mo4 2148	. . . . . . 7 |- ( E* x x F z <-> A. x A. y ( ( x F z /\ y F z ) -> x = y ) )
44	43	albii 1523	. . . . . 6 |- ( A. z E* x x F z <-> A. z A. x A. y ( ( x F z /\ y F z ) -> x = y ) )
45		alrot3 1538	. . . . . 6 |- ( A. z A. x A. y ( ( x F z /\ y F z ) -> x = y ) <-> A. x A. y A. z ( ( x F z /\ y F z ) -> x = y ) )
46	44, 45	bitri 184	. . . . 5 |- ( A. z E* x x F z <-> A. x A. y A. z ( ( x F z /\ y F z ) -> x = y ) )
47		r2al 2569	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
48	41, 46, 47	3bitr4g 223	. . . 4 |- ( F Fn A -> ( A. z E* x x F z <-> A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
49	2, 48	syl 14	. . 3 |- ( F : A --> B -> ( A. z E* x x F z <-> A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
50	49	pm5.32i 458	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ A. z E* x x F z ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
51	1, 50	bitri 184	1 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1400   = wceq 1402   E.wex 1545   E*wmo 2087   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   class class class wbr 4131   dom cdm 4776   Fn wfn 5375   -->wf 5376   -1-1->wf1 5377   ` cfv 5380

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fv 5388

This theorem is used by:  f1veqaeq  5978  dff13f  5979  dff1o6  5985  fcof1  5992  f1o2ndf1  6468  fdcf1  7321  cc2lem  7638  cnref1o  10068  frec2uzf1od  10864  iseqf1olemqf1o  10964  reeff1  12492  crth  13031  eulerthlemh  13038  1arith  13175  nninfdclemf1  13401  xpsff1o  13729  ghmf1  14135  kerf1ghm  14136  znf1o  15095  ioocosf1o  16082  mpodvdsmulf1o  16284  gausslemma2dlem1f1o  16384  lgseisenlem2  16395  2lgslem1b  16413  peano4nninf  17255  exmidsbthrlem  17273