Theorem dff13 5677

Description: A one-to-one function in terms of function values. Compare Theorem 4.8(iv) of [Monk1] p. 43. (Contributed by NM, 29-Oct-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dff13	|- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, F, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)

Proof of Theorem dff13

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dff12 5335	. 2 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ A. z E* x x F z ) )
2		ffn 5280	. . . 4 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
3		vex 2692	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- x e. _V
4		vex 2692	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- z e. _V
5	3, 4	breldm 4751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x F z -> x e. dom F )
6		fndm 5230	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F Fn A -> dom F = A )
7	6	eleq2d 2210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F Fn A -> ( x e. dom F <-> x e. A ) )
8	5, 7	syl5ib 153	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F Fn A -> ( x F z -> x e. A ) )
9		vex 2692	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- y e. _V
10	9, 4	breldm 4751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y F z -> y e. dom F )
11	6	eleq2d 2210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F Fn A -> ( y e. dom F <-> y e. A ) )
12	10, 11	syl5ib 153	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F Fn A -> ( y F z -> y e. A ) )
13	8, 12	anim12d 333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F Fn A -> ( ( x F z /\ y F z ) -> ( x e. A /\ y e. A ) ) )
14	13	pm4.71rd 392	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn A -> ( ( x F z /\ y F z ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( x F z /\ y F z ) ) ) )
15		eqcom 2142	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( F ` x ) <-> ( F ` x ) = z )
16		fnbrfvb 5470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( ( F ` x ) = z <-> x F z ) )
17	15, 16	syl5bb 191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( z = ( F ` x ) <-> x F z ) )
18		eqcom 2142	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( F ` y ) <-> ( F ` y ) = z )
19		fnbrfvb 5470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F Fn A /\ y e. A ) -> ( ( F ` y ) = z <-> y F z ) )
20	18, 19	syl5bb 191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F Fn A /\ y e. A ) -> ( z = ( F ` y ) <-> y F z ) )
21	17, 20	bi2anan9 596	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F Fn A /\ x e. A ) /\ ( F Fn A /\ y e. A ) ) -> ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) <-> ( x F z /\ y F z ) ) )
22	21	anandis 582	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F Fn A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) <-> ( x F z /\ y F z ) ) )
23	22	pm5.32da 448	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn A -> ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( x F z /\ y F z ) ) ) )
24	14, 23	bitr4d 190	. . . . . . . . . 10 |- ( F Fn A -> ( ( x F z /\ y F z ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) ) ) )
25	24	imbi1d 230	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn A -> ( ( ( x F z /\ y F z ) -> x = y ) <-> ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) ) -> x = y ) ) )
26		impexp 261	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) ) -> x = y ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) ) )
27	25, 26	syl6bb 195	. . . . . . . 8 |- ( F Fn A -> ( ( ( x F z /\ y F z ) -> x = y ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) ) ) )
28	27	albidv 1797	. . . . . . 7 |- ( F Fn A -> ( A. z ( ( x F z /\ y F z ) -> x = y ) <-> A. z ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) ) ) )
29		19.21v 1846	. . . . . . . 8 |- ( A. z ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> A. z ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) ) )
30		19.23v 1856	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) <-> ( E. z ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) )
31		funfvex 5446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) e. _V )
32	31	funfni 5231	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. _V )
33		eqvincg 2813	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` x ) e. _V -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> E. z ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) ) )
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> E. z ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) ) )
35	34	imbi1d 230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> ( E. z ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) ) )
36	30, 35	bitr4id 198	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( A. z ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) <-> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
37	36	adantrr 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Fn A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( A. z ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) <-> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
38	37	pm5.74da 440	. . . . . . . 8 |- ( F Fn A -> ( ( ( x e. A /\ y e. A ) -> A. z ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) ) )
39	29, 38	syl5bb 191	. . . . . . 7 |- ( F Fn A -> ( A. z ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) ) )
40	28, 39	bitrd 187	. . . . . 6 |- ( F Fn A -> ( A. z ( ( x F z /\ y F z ) -> x = y ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) ) )
41	40	2albidv 1840	. . . . 5 |- ( F Fn A -> ( A. x A. y A. z ( ( x F z /\ y F z ) -> x = y ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) ) )
42		breq1 3940	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x F z <-> y F z ) )
43	42	mo4 2061	. . . . . . 7 |- ( E* x x F z <-> A. x A. y ( ( x F z /\ y F z ) -> x = y ) )
44	43	albii 1447	. . . . . 6 |- ( A. z E* x x F z <-> A. z A. x A. y ( ( x F z /\ y F z ) -> x = y ) )
45		alrot3 1462	. . . . . 6 |- ( A. z A. x A. y ( ( x F z /\ y F z ) -> x = y ) <-> A. x A. y A. z ( ( x F z /\ y F z ) -> x = y ) )
46	44, 45	bitri 183	. . . . 5 |- ( A. z E* x x F z <-> A. x A. y A. z ( ( x F z /\ y F z ) -> x = y ) )
47		r2al 2457	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
48	41, 46, 47	3bitr4g 222	. . . 4 |- ( F Fn A -> ( A. z E* x x F z <-> A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
49	2, 48	syl 14	. . 3 |- ( F : A --> B -> ( A. z E* x x F z <-> A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
50	49	pm5.32i 450	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ A. z E* x x F z ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
51	1, 50	bitri 183	1 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1330   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 1481   E*wmo 2001   A.wral 2417   _Vcvv 2689   class class class wbr 3937   dom cdm 4547   Fn wfn 5126   -->wf 5127   -1-1->wf1 5128   ` cfv 5131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fv 5139

This theorem is referenced by:  f1veqaeq  5678  dff13f  5679  dff1o6  5685  fcof1  5692  f1o2ndf1  6133  cc2lem  7098  cnref1o  9469  frec2uzf1od  10210  iseqf1olemqf1o  10297  reeff1  11443  crth  11936  ioocosf1o  12983  peano4nninf  13375  exmidsbthrlem  13392