Theorem dff13 5529

Description: A one-to-one function in terms of function values. Compare Theorem 4.8(iv) of [Monk1] p. 43. (Contributed by NM, 29-Oct-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dff13	|- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, F, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)

Proof of Theorem dff13

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dff12 5199	. 2 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ A. z E* x x F z ) )
2		ffn 5147	. . . 4 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
3		vex 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- x e. _V
4		vex 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- z e. _V
5	3, 4	breldm 4628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x F z -> x e. dom F )
6		fndm 5099	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F Fn A -> dom F = A )
7	6	eleq2d 2157	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F Fn A -> ( x e. dom F <-> x e. A ) )
8	5, 7	syl5ib 152	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F Fn A -> ( x F z -> x e. A ) )
9		vex 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- y e. _V
10	9, 4	breldm 4628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y F z -> y e. dom F )
11	6	eleq2d 2157	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F Fn A -> ( y e. dom F <-> y e. A ) )
12	10, 11	syl5ib 152	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F Fn A -> ( y F z -> y e. A ) )
13	8, 12	anim12d 328	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F Fn A -> ( ( x F z /\ y F z ) -> ( x e. A /\ y e. A ) ) )
14	13	pm4.71rd 386	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn A -> ( ( x F z /\ y F z ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( x F z /\ y F z ) ) ) )
15		eqcom 2090	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( F ` x ) <-> ( F ` x ) = z )
16		fnbrfvb 5329	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( ( F ` x ) = z <-> x F z ) )
17	15, 16	syl5bb 190	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( z = ( F ` x ) <-> x F z ) )
18		eqcom 2090	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( F ` y ) <-> ( F ` y ) = z )
19		fnbrfvb 5329	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F Fn A /\ y e. A ) -> ( ( F ` y ) = z <-> y F z ) )
20	18, 19	syl5bb 190	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F Fn A /\ y e. A ) -> ( z = ( F ` y ) <-> y F z ) )
21	17, 20	bi2anan9 573	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F Fn A /\ x e. A ) /\ ( F Fn A /\ y e. A ) ) -> ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) <-> ( x F z /\ y F z ) ) )
22	21	anandis 559	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F Fn A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) <-> ( x F z /\ y F z ) ) )
23	22	pm5.32da 440	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn A -> ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( x F z /\ y F z ) ) ) )
24	14, 23	bitr4d 189	. . . . . . . . . 10 |- ( F Fn A -> ( ( x F z /\ y F z ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) ) ) )
25	24	imbi1d 229	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn A -> ( ( ( x F z /\ y F z ) -> x = y ) <-> ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) ) -> x = y ) ) )
26		impexp 259	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) ) -> x = y ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) ) )
27	25, 26	syl6bb 194	. . . . . . . 8 |- ( F Fn A -> ( ( ( x F z /\ y F z ) -> x = y ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) ) ) )
28	27	albidv 1752	. . . . . . 7 |- ( F Fn A -> ( A. z ( ( x F z /\ y F z ) -> x = y ) <-> A. z ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) ) ) )
29		19.21v 1801	. . . . . . . 8 |- ( A. z ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> A. z ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) ) )
30		funfvex 5306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) e. _V )
31	30	funfni 5100	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. _V )
32		eqvincg 2739	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` x ) e. _V -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> E. z ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) ) )
33	31, 32	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> E. z ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) ) )
34	33	imbi1d 229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> ( E. z ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) ) )
35		19.23v 1811	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) <-> ( E. z ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) )
36	34, 35	syl6rbbr 197	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( A. z ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) <-> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
37	36	adantrr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Fn A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( A. z ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) <-> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
38	37	pm5.74da 432	. . . . . . . 8 |- ( F Fn A -> ( ( ( x e. A /\ y e. A ) -> A. z ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) ) )
39	29, 38	syl5bb 190	. . . . . . 7 |- ( F Fn A -> ( A. z ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( z = ( F ` x ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = y ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) ) )
40	28, 39	bitrd 186	. . . . . 6 |- ( F Fn A -> ( A. z ( ( x F z /\ y F z ) -> x = y ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) ) )
41	40	2albidv 1795	. . . . 5 |- ( F Fn A -> ( A. x A. y A. z ( ( x F z /\ y F z ) -> x = y ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) ) )
42		breq1 3840	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x F z <-> y F z ) )
43	42	mo4 2009	. . . . . . 7 |- ( E* x x F z <-> A. x A. y ( ( x F z /\ y F z ) -> x = y ) )
44	43	albii 1404	. . . . . 6 |- ( A. z E* x x F z <-> A. z A. x A. y ( ( x F z /\ y F z ) -> x = y ) )
45		alrot3 1419	. . . . . 6 |- ( A. z A. x A. y ( ( x F z /\ y F z ) -> x = y ) <-> A. x A. y A. z ( ( x F z /\ y F z ) -> x = y ) )
46	44, 45	bitri 182	. . . . 5 |- ( A. z E* x x F z <-> A. x A. y A. z ( ( x F z /\ y F z ) -> x = y ) )
47		r2al 2397	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
48	41, 46, 47	3bitr4g 221	. . . 4 |- ( F Fn A -> ( A. z E* x x F z <-> A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
49	2, 48	syl 14	. . 3 |- ( F : A --> B -> ( A. z E* x x F z <-> A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
50	49	pm5.32i 442	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ A. z E* x x F z ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
51	1, 50	bitri 182	1 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   A.wal 1287   = wceq 1289   E.wex 1426   e. wcel 1438   E*wmo 1949   A.wral 2359   _Vcvv 2619   class class class wbr 3837   dom cdm 4428   Fn wfn 4997   -->wf 4998   -1-1->wf1 4999   ` cfv 5002

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-sbc 2839  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fv 5010

This theorem is referenced by:  f1veqaeq  5530  dff13f  5531  dff1o6  5537  fcof1  5544  f1o2ndf1  5975  cnref1o  9102  frec2uzf1od  9778  iseqf1olemqf1o  9887  crth  11282  peano4nninf  11542  exmidsbthrlem  11558