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Theorem dff13 5635
Description: A one-to-one function in terms of function values. Compare Theorem 4.8(iv) of [Monk1] p. 43. (Contributed by NM, 29-Oct-1996.)
Assertion
Ref Expression
dff13  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, F, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem dff13
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dff12 5295 . 2  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. z E* x  x F z ) )
2 ffn 5240 . . . 4  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
3 vex 2661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
4 vex 2661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  z  e. 
_V
53, 4breldm 4711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x F z  ->  x  e.  dom  F )
6 fndm 5190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  Fn  A  ->  dom  F  =  A )
76eleq2d 2185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  Fn  A  ->  (
x  e.  dom  F  <->  x  e.  A ) )
85, 7syl5ib 153 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  A  ->  (
x F z  ->  x  e.  A )
)
9 vex 2661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
109, 4breldm 4711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y F z  ->  y  e.  dom  F )
116eleq2d 2185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  Fn  A  ->  (
y  e.  dom  F  <->  y  e.  A ) )
1210, 11syl5ib 153 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  A  ->  (
y F z  -> 
y  e.  A ) )
138, 12anim12d 331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  Fn  A  ->  (
( x F z  /\  y F z )  ->  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) ) )
1413pm4.71rd 389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  A  ->  (
( x F z  /\  y F z )  <->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
x F z  /\  y F z ) ) ) )
15 eqcom 2117 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( F `  x )  <->  ( F `  x )  =  z )
16 fnbrfvb 5428 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F `  x )  =  z  <-> 
x F z ) )
1715, 16syl5bb 191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( z  =  ( F `  x )  <-> 
x F z ) )
18 eqcom 2117 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( F `  y )  <->  ( F `  y )  =  z )
19 fnbrfvb 5428 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  Fn  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( F `  y )  =  z  <-> 
y F z ) )
2018, 19syl5bb 191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Fn  A  /\  y  e.  A )  ->  ( z  =  ( F `  y )  <-> 
y F z ) )
2117, 20bi2anan9 578 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  x  e.  A
)  /\  ( F  Fn  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( z  =  ( F `  x
)  /\  z  =  ( F `  y ) )  <->  ( x F z  /\  y F z ) ) )
2221anandis 564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  Fn  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  <->  ( x F z  /\  y F z ) ) )
2322pm5.32da 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  A  ->  (
( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
z  =  ( F `
 x )  /\  z  =  ( F `  y ) ) )  <-> 
( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
x F z  /\  y F z ) ) ) )
2414, 23bitr4d 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  A  ->  (
( x F z  /\  y F z )  <->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
z  =  ( F `
 x )  /\  z  =  ( F `  y ) ) ) ) )
2524imbi1d 230 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  A  ->  (
( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y )  <->  ( (
( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) ) )  ->  x  =  y ) ) )
26 impexp 261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
z  =  ( F `
 x )  /\  z  =  ( F `  y ) ) )  ->  x  =  y )  <->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y ) ) )
2725, 26syl6bb 195 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  A  ->  (
( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( z  =  ( F `  x
)  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y ) ) ) )
2827albidv 1778 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  A  ->  ( A. z ( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y )  <->  A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y ) ) ) )
29 19.21v 1827 . . . . . . . 8  |-  ( A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  A. z ( ( z  =  ( F `
 x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y )
) )
30 funfvex 5404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F )  -> 
( F `  x
)  e.  _V )
3130funfni 5191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x
)  e.  _V )
32 eqvincg 2781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x )  e.  _V  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  E. z
( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) ) ) )
3331, 32syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <->  E. z ( z  =  ( F `  x
)  /\  z  =  ( F `  y ) ) ) )
3433imbi1d 230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  ->  x  =  y )  <->  ( E. z ( z  =  ( F `  x
)  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y ) ) )
35 19.23v 1837 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z ( ( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y )  <->  ( E. z ( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y )
)
3634, 35syl6rbbr 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( A. z ( ( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y )  <->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
3736adantrr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  Fn  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  ( A. z ( ( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y )  <->  ( ( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
3837pm5.74da 437 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  A  ->  (
( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  A. z
( ( z  =  ( F `  x
)  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) )
3929, 38syl5bb 191 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  A  ->  ( A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) )
4028, 39bitrd 187 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  A  ->  ( A. z ( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y )  <->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) )
41402albidv 1821 . . . . 5  |-  ( F  Fn  A  ->  ( A. x A. y A. z ( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) )
42 breq1 3900 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x F z  <->  y F
z ) )
4342mo4 2036 . . . . . . 7  |-  ( E* x  x F z  <->  A. x A. y ( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y ) )
4443albii 1429 . . . . . 6  |-  ( A. z E* x  x F z  <->  A. z A. x A. y ( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y )
)
45 alrot3 1444 . . . . . 6  |-  ( A. z A. x A. y
( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y )  <->  A. x A. y A. z ( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y ) )
4644, 45bitri 183 . . . . 5  |-  ( A. z E* x  x F z  <->  A. x A. y A. z ( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y )
)
47 r2al 2429 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
4841, 46, 473bitr4g 222 . . . 4  |-  ( F  Fn  A  ->  ( A. z E* x  x F z  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
492, 48syl 14 . . 3  |-  ( F : A --> B  -> 
( A. z E* x  x F z  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
5049pm5.32i 447 . 2  |-  ( ( F : A --> B  /\  A. z E* x  x F z )  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
511, 50bitri 183 1  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wal 1312    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463   E*wmo 1976   A.wral 2391   _Vcvv 2658   class class class wbr 3897   dom cdm 4507    Fn wfn 5086   -->wf 5087   -1-1->wf1 5088   ` cfv 5091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-sbc 2881  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fv 5099
This theorem is referenced by:  f1veqaeq  5636  dff13f  5637  dff1o6  5643  fcof1  5650  f1o2ndf1  6091  cnref1o  9389  frec2uzf1od  10119  iseqf1olemqf1o  10206  reeff1  11306  crth  11795  peano4nninf  13002  exmidsbthrlem  13019
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