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Theorem dff13 5747
Description: A one-to-one function in terms of function values. Compare Theorem 4.8(iv) of [Monk1] p. 43. (Contributed by NM, 29-Oct-1996.)
Assertion
Ref Expression
dff13  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, F, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem dff13
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dff12 5402 . 2  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. z E* x  x F z ) )
2 ffn 5347 . . . 4  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
3 vex 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
4 vex 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  z  e. 
_V
53, 4breldm 4815 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x F z  ->  x  e.  dom  F )
6 fndm 5297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  Fn  A  ->  dom  F  =  A )
76eleq2d 2240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  Fn  A  ->  (
x  e.  dom  F  <->  x  e.  A ) )
85, 7syl5ib 153 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  A  ->  (
x F z  ->  x  e.  A )
)
9 vex 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
109, 4breldm 4815 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y F z  ->  y  e.  dom  F )
116eleq2d 2240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  Fn  A  ->  (
y  e.  dom  F  <->  y  e.  A ) )
1210, 11syl5ib 153 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  A  ->  (
y F z  -> 
y  e.  A ) )
138, 12anim12d 333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  Fn  A  ->  (
( x F z  /\  y F z )  ->  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) ) )
1413pm4.71rd 392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  A  ->  (
( x F z  /\  y F z )  <->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
x F z  /\  y F z ) ) ) )
15 eqcom 2172 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( F `  x )  <->  ( F `  x )  =  z )
16 fnbrfvb 5537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F `  x )  =  z  <-> 
x F z ) )
1715, 16syl5bb 191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( z  =  ( F `  x )  <-> 
x F z ) )
18 eqcom 2172 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( F `  y )  <->  ( F `  y )  =  z )
19 fnbrfvb 5537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  Fn  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( F `  y )  =  z  <-> 
y F z ) )
2018, 19syl5bb 191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Fn  A  /\  y  e.  A )  ->  ( z  =  ( F `  y )  <-> 
y F z ) )
2117, 20bi2anan9 601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  x  e.  A
)  /\  ( F  Fn  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( z  =  ( F `  x
)  /\  z  =  ( F `  y ) )  <->  ( x F z  /\  y F z ) ) )
2221anandis 587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  Fn  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  <->  ( x F z  /\  y F z ) ) )
2322pm5.32da 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  A  ->  (
( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
z  =  ( F `
 x )  /\  z  =  ( F `  y ) ) )  <-> 
( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
x F z  /\  y F z ) ) ) )
2414, 23bitr4d 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  A  ->  (
( x F z  /\  y F z )  <->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
z  =  ( F `
 x )  /\  z  =  ( F `  y ) ) ) ) )
2524imbi1d 230 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  A  ->  (
( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y )  <->  ( (
( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) ) )  ->  x  =  y ) ) )
26 impexp 261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
z  =  ( F `
 x )  /\  z  =  ( F `  y ) ) )  ->  x  =  y )  <->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y ) ) )
2725, 26bitrdi 195 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  A  ->  (
( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( z  =  ( F `  x
)  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y ) ) ) )
2827albidv 1817 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  A  ->  ( A. z ( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y )  <->  A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y ) ) ) )
29 19.21v 1866 . . . . . . . 8  |-  ( A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  A. z ( ( z  =  ( F `
 x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y )
) )
30 19.23v 1876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z ( ( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y )  <->  ( E. z ( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y )
)
31 funfvex 5513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F )  -> 
( F `  x
)  e.  _V )
3231funfni 5298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x
)  e.  _V )
33 eqvincg 2854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x )  e.  _V  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  E. z
( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) ) ) )
3432, 33syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <->  E. z ( z  =  ( F `  x
)  /\  z  =  ( F `  y ) ) ) )
3534imbi1d 230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  ->  x  =  y )  <->  ( E. z ( z  =  ( F `  x
)  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y ) ) )
3630, 35bitr4id 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( A. z ( ( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y )  <->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
3736adantrr 476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  Fn  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  ( A. z ( ( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y )  <->  ( ( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
3837pm5.74da 441 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  A  ->  (
( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  A. z
( ( z  =  ( F `  x
)  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) )
3929, 38syl5bb 191 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  A  ->  ( A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
( z  =  ( F `  x )  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) )
4028, 39bitrd 187 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  A  ->  ( A. z ( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y )  <->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) )
41402albidv 1860 . . . . 5  |-  ( F  Fn  A  ->  ( A. x A. y A. z ( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) ) )
42 breq1 3992 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x F z  <->  y F
z ) )
4342mo4 2080 . . . . . . 7  |-  ( E* x  x F z  <->  A. x A. y ( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y ) )
4443albii 1463 . . . . . 6  |-  ( A. z E* x  x F z  <->  A. z A. x A. y ( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y )
)
45 alrot3 1478 . . . . . 6  |-  ( A. z A. x A. y
( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y )  <->  A. x A. y A. z ( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y ) )
4644, 45bitri 183 . . . . 5  |-  ( A. z E* x  x F z  <->  A. x A. y A. z ( ( x F z  /\  y F z )  ->  x  =  y )
)
47 r2al 2489 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
4841, 46, 473bitr4g 222 . . . 4  |-  ( F  Fn  A  ->  ( A. z E* x  x F z  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
492, 48syl 14 . . 3  |-  ( F : A --> B  -> 
( A. z E* x  x F z  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
5049pm5.32i 451 . 2  |-  ( ( F : A --> B  /\  A. z E* x  x F z )  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
511, 50bitri 183 1  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wal 1346    = wceq 1348   E.wex 1485   E*wmo 2020    e. wcel 2141   A.wral 2448   _Vcvv 2730   class class class wbr 3989   dom cdm 4611    Fn wfn 5193   -->wf 5194   -1-1->wf1 5195   ` cfv 5198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fv 5206
This theorem is referenced by:  f1veqaeq  5748  dff13f  5749  dff1o6  5755  fcof1  5762  f1o2ndf1  6207  cc2lem  7228  cnref1o  9609  frec2uzf1od  10362  iseqf1olemqf1o  10449  reeff1  11663  crth  12178  eulerthlemh  12185  1arith  12319  nninfdclemf1  12407  ioocosf1o  13569  peano4nninf  14039  exmidsbthrlem  14054
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