Theorem funcnv2 5314

Description: A simpler equivalence for single-rooted (see funcnv 5315). (Contributed by NM, 9-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
funcnv2	|- ( Fun `' A <-> A. y E* x x A y )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem funcnv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5043	. . 3 |- Rel `' A
2		dffun6 5268	. . 3 |- ( Fun `' A <-> ( Rel `' A /\ A. y E* x y `' A x ) )
3	1, 2	mpbiran 942	. 2 |- ( Fun `' A <-> A. y E* x y `' A x )
4		vex 2763	. . . . 5 |- y e. _V
5		vex 2763	. . . . 5 |- x e. _V
6	4, 5	brcnv 4845	. . . 4 |- ( y `' A x <-> x A y )
7	6	mobii 2079	. . 3 |- ( E* x y `' A x <-> E* x x A y )
8	7	albii 1481	. 2 |- ( A. y E* x y `' A x <-> A. y E* x x A y )
9	3, 8	bitri 184	1 |- ( Fun `' A <-> A. y E* x x A y )

Syntax hints:   <-> wb 105   A.wal 1362   E*wmo 2043   class class class wbr 4029   `'ccnv 4658   Rel wrel 4664   Fun wfun 5248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-fun 5256

This theorem is referenced by:  funcnv  5315  fun2cnv  5318  fun11  5321  dff12  5458  1stconst  6274  2ndconst  6275