Theorem funcnv2 5343

Description: A simpler equivalence for single-rooted (see funcnv 5344). (Contributed by NM, 9-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
funcnv2	|- ( Fun `' A <-> A. y E* x x A y )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem funcnv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5069	. . 3 |- Rel `' A
2		dffun6 5294	. . 3 |- ( Fun `' A <-> ( Rel `' A /\ A. y E* x y `' A x ) )
3	1, 2	mpbiran 943	. 2 |- ( Fun `' A <-> A. y E* x y `' A x )
4		vex 2776	. . . . 5 |- y e. _V
5		vex 2776	. . . . 5 |- x e. _V
6	4, 5	brcnv 4869	. . . 4 |- ( y `' A x <-> x A y )
7	6	mobii 2092	. . 3 |- ( E* x y `' A x <-> E* x x A y )
8	7	albii 1494	. 2 |- ( A. y E* x y `' A x <-> A. y E* x x A y )
9	3, 8	bitri 184	1 |- ( Fun `' A <-> A. y E* x x A y )

Syntax hints:   <-> wb 105   A.wal 1371   E*wmo 2056   class class class wbr 4051   `'ccnv 4682   Rel wrel 4688   Fun wfun 5274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-br 4052  df-opab 4114  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-fun 5282

This theorem is referenced by:  funcnv  5344  fun2cnv  5347  fun11  5350  dff12  5492  1stconst  6320  2ndconst  6321