Theorem funcnv2 5248

Description: A simpler equivalence for single-rooted (see funcnv 5249). (Contributed by NM, 9-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
funcnv2	|- ( Fun `' A <-> A. y E* x x A y )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem funcnv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 4982	. . 3 |- Rel `' A
2		dffun6 5202	. . 3 |- ( Fun `' A <-> ( Rel `' A /\ A. y E* x y `' A x ) )
3	1, 2	mpbiran 930	. 2 |- ( Fun `' A <-> A. y E* x y `' A x )
4		vex 2729	. . . . 5 |- y e. _V
5		vex 2729	. . . . 5 |- x e. _V
6	4, 5	brcnv 4787	. . . 4 |- ( y `' A x <-> x A y )
7	6	mobii 2051	. . 3 |- ( E* x y `' A x <-> E* x x A y )
8	7	albii 1458	. 2 |- ( A. y E* x y `' A x <-> A. y E* x x A y )
9	3, 8	bitri 183	1 |- ( Fun `' A <-> A. y E* x x A y )

Syntax hints:   <-> wb 104   A.wal 1341   E*wmo 2015   class class class wbr 3982   `'ccnv 4603   Rel wrel 4609   Fun wfun 5182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-fun 5190

This theorem is referenced by:  funcnv  5249  fun2cnv  5252  fun11  5255  dff12  5392  1stconst  6189  2ndconst  6190