Theorem funcnv2 5087

Description: A simpler equivalence for single-rooted (see funcnv 5088). (Contributed by NM, 9-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
funcnv2	|- ( Fun `' A <-> A. y E* x x A y )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem funcnv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 4823	. . 3 |- Rel `' A
2		dffun6 5042	. . 3 |- ( Fun `' A <-> ( Rel `' A /\ A. y E* x y `' A x ) )
3	1, 2	mpbiran 887	. 2 |- ( Fun `' A <-> A. y E* x y `' A x )
4		vex 2623	. . . . 5 |- y e. _V
5		vex 2623	. . . . 5 |- x e. _V
6	4, 5	brcnv 4632	. . . 4 |- ( y `' A x <-> x A y )
7	6	mobii 1986	. . 3 |- ( E* x y `' A x <-> E* x x A y )
8	7	albii 1405	. 2 |- ( A. y E* x y `' A x <-> A. y E* x x A y )
9	3, 8	bitri 183	1 |- ( Fun `' A <-> A. y E* x x A y )

Syntax hints:   <-> wb 104   A.wal 1288   E*wmo 1950   class class class wbr 3851   `'ccnv 4451   Rel wrel 4457   Fun wfun 5022

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-fun 5030

This theorem is referenced by:  funcnv  5088  fun2cnv  5091  fun11  5094  dff12  5228  1stconst  6000  2ndconst  6001