Theorem funcnv2 5256

Description: A simpler equivalence for single-rooted (see funcnv 5257). (Contributed by NM, 9-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
funcnv2	|- ( Fun `' A <-> A. y E* x x A y )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem funcnv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 4987	. . 3 |- Rel `' A
2		dffun6 5210	. . 3 |- ( Fun `' A <-> ( Rel `' A /\ A. y E* x y `' A x ) )
3	1, 2	mpbiran 935	. 2 |- ( Fun `' A <-> A. y E* x y `' A x )
4		vex 2733	. . . . 5 |- y e. _V
5		vex 2733	. . . . 5 |- x e. _V
6	4, 5	brcnv 4792	. . . 4 |- ( y `' A x <-> x A y )
7	6	mobii 2056	. . 3 |- ( E* x y `' A x <-> E* x x A y )
8	7	albii 1463	. 2 |- ( A. y E* x y `' A x <-> A. y E* x x A y )
9	3, 8	bitri 183	1 |- ( Fun `' A <-> A. y E* x x A y )

Syntax hints:   <-> wb 104   A.wal 1346   E*wmo 2020   class class class wbr 3987   `'ccnv 4608   Rel wrel 4614   Fun wfun 5190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-fun 5198

This theorem is referenced by:  funcnv  5257  fun2cnv  5260  fun11  5263  dff12  5400  1stconst  6197  2ndconst  6198