Theorem funcnv2 5387

Description: A simpler equivalence for single-rooted (see funcnv 5388). (Contributed by NM, 9-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
funcnv2	|- ( Fun `' A <-> A. y E* x x A y )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem funcnv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5112	. . 3 |- Rel `' A
2		dffun6 5338	. . 3 |- ( Fun `' A <-> ( Rel `' A /\ A. y E* x y `' A x ) )
3	1, 2	mpbiran 946	. 2 |- ( Fun `' A <-> A. y E* x y `' A x )
4		vex 2803	. . . . 5 |- y e. _V
5		vex 2803	. . . . 5 |- x e. _V
6	4, 5	brcnv 4911	. . . 4 |- ( y `' A x <-> x A y )
7	6	mobii 2114	. . 3 |- ( E* x y `' A x <-> E* x x A y )
8	7	albii 1516	. 2 |- ( A. y E* x y `' A x <-> A. y E* x x A y )
9	3, 8	bitri 184	1 |- ( Fun `' A <-> A. y E* x x A y )

Syntax hints:   <-> wb 105   A.wal 1393   E*wmo 2078   class class class wbr 4086   `'ccnv 4722   Rel wrel 4728   Fun wfun 5318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-fun 5326

This theorem is referenced by:  funcnv  5388  fun2cnv  5391  fun11  5394  dff12  5538  1stconst  6381  2ndconst  6382