Theorem funcnv2 5295

Description: A simpler equivalence for single-rooted (see funcnv 5296). (Contributed by NM, 9-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
funcnv2	|- ( Fun `' A <-> A. y E* x x A y )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem funcnv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5024	. . 3 |- Rel `' A
2		dffun6 5249	. . 3 |- ( Fun `' A <-> ( Rel `' A /\ A. y E* x y `' A x ) )
3	1, 2	mpbiran 942	. 2 |- ( Fun `' A <-> A. y E* x y `' A x )
4		vex 2755	. . . . 5 |- y e. _V
5		vex 2755	. . . . 5 |- x e. _V
6	4, 5	brcnv 4828	. . . 4 |- ( y `' A x <-> x A y )
7	6	mobii 2075	. . 3 |- ( E* x y `' A x <-> E* x x A y )
8	7	albii 1481	. 2 |- ( A. y E* x y `' A x <-> A. y E* x x A y )
9	3, 8	bitri 184	1 |- ( Fun `' A <-> A. y E* x x A y )

Syntax hints:   <-> wb 105   A.wal 1362   E*wmo 2039   class class class wbr 4018   `'ccnv 4643   Rel wrel 4649   Fun wfun 5229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-fun 5237

This theorem is referenced by:  funcnv  5296  fun2cnv  5299  fun11  5302  dff12  5439  1stconst  6247  2ndconst  6248