Theorem funcnv2 5441

Description: A simpler equivalence for single-rooted (see funcnv 5442). (Contributed by NM, 9-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
funcnv2	|- ( Fun `' A <-> A. y E* x x A y )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem funcnv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5165	. . 3 |- Rel `' A
2		dffun6 5391	. . 3 |- ( Fun `' A <-> ( Rel `' A /\ A. y E* x y `' A x ) )
3	1, 2	mpbiran 953	. 2 |- ( Fun `' A <-> A. y E* x y `' A x )
4		vex 2824	. . . . 5 |- y e. _V
5		vex 2824	. . . . 5 |- x e. _V
6	4, 5	brcnv 4963	. . . 4 |- ( y `' A x <-> x A y )
7	6	mobii 2123	. . 3 |- ( E* x y `' A x <-> E* x x A y )
8	7	albii 1523	. 2 |- ( A. y E* x y `' A x <-> A. y E* x x A y )
9	3, 8	bitri 184	1 |- ( Fun `' A <-> A. y E* x x A y )

This proof depends on syntax axioms:   <-> wb 105   A.wal 1400   E*wmo 2087   class class class wbr 4130   `'ccnv 4773   Rel wrel 4779   Fun wfun 5371

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-fun 5379

This theorem is used by:  funcnv  5442  fun2cnv  5445  fun11  5448  dff12  5597  1stconst  6457  2ndconst  6458