Theorem dff12 5420

Description: Alternate definition of a one-to-one function. (Contributed by NM, 31-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dff12	⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐹𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dff12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f1 5221	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡𝐹))
2		funcnv2 5276	. . 3 ⊢ (Fun ◡𝐹 ↔ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐹𝑦)
3	2	anbi2i 457	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ Fun ◡𝐹) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐹𝑦))
4	1, 3	bitri 184	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐹𝑦))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1351  ∃*wmo 2027   class class class wbr 4003  ^◡ccnv 4625  Fun wfun 5210  ⟶wf 5212  –1-1→wf1 5213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-fun 5218  df-f1 5221

This theorem is referenced by:  dff13  5768