Theorem dfiin3g 4856

Description: Alternate definition of indexed intersection when B is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfiin3g	|- ( A. x e. A B e. C -> |^|_ x e. A B = |^| ran ( x e. A |-> B ) )

Proof of Theorem dfiin3g

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiin2g 3893	. 2 |- ( A. x e. A B e. C -> |^|_ x e. A B = |^| { y | E. x e. A y = B } )
2		eqid 2164	. . . 4 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
3	2	rnmpt 4846	. . 3 |- ran ( x e. A |-> B ) = { y | E. x e. A y = B }
4	3	inteqi 3822	. 2 |- |^| ran ( x e. A |-> B ) = |^| { y | E. x e. A y = B }
5	1, 4	eqtr4di 2215	1 |- ( A. x e. A B e. C -> |^|_ x e. A B = |^| ran ( x e. A |-> B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1342   e. wcel 2135   {cab 2150   A.wral 2442   E.wrex 2443   |^|cint 3818   |^|_ciin 3861   |-> cmpt 4037   ran crn 4599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-int 3819  df-iin 3863  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-cnv 4606  df-dm 4608  df-rn 4609

This theorem is referenced by:  dfiin3  4858  riinint  4859