Theorem dfiin3g 4797

Description: Alternate definition of indexed intersection when B is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfiin3g	|- ( A. x e. A B e. C -> |^|_ x e. A B = |^| ran ( x e. A |-> B ) )

Proof of Theorem dfiin3g

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiin2g 3846	. 2 |- ( A. x e. A B e. C -> |^|_ x e. A B = |^| { y | E. x e. A y = B } )
2		eqid 2139	. . . 4 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
3	2	rnmpt 4787	. . 3 |- ran ( x e. A |-> B ) = { y | E. x e. A y = B }
4	3	inteqi 3775	. 2 |- |^| ran ( x e. A |-> B ) = |^| { y | E. x e. A y = B }
5	1, 4	syl6eqr 2190	1 |- ( A. x e. A B e. C -> |^|_ x e. A B = |^| ran ( x e. A |-> B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   {cab 2125   A.wral 2416   E.wrex 2417   |^|cint 3771   |^|_ciin 3814   |-> cmpt 3989   ran crn 4540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-int 3772  df-iin 3816  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-cnv 4547  df-dm 4549  df-rn 4550

This theorem is referenced by:  dfiin3  4799  riinint  4800