Theorem dfiun3g 4919

Description: Alternate definition of indexed union when B is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfiun3g	|- ( A. x e. A B e. C -> U_ x e. A B = U. ran ( x e. A |-> B ) )

Proof of Theorem dfiun3g

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiun2g 3944	. 2 |- ( A. x e. A B e. C -> U_ x e. A B = U. { y | E. x e. A y = B } )
2		eqid 2193	. . . 4 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
3	2	rnmpt 4910	. . 3 |- ran ( x e. A |-> B ) = { y | E. x e. A y = B }
4	3	unieqi 3845	. 2 |- U. ran ( x e. A |-> B ) = U. { y | E. x e. A y = B }
5	1, 4	eqtr4di 2244	1 |- ( A. x e. A B e. C -> U_ x e. A B = U. ran ( x e. A |-> B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   {cab 2179   A.wral 2472   E.wrex 2473   U.cuni 3835   U_ciun 3912   |-> cmpt 4090   ran crn 4660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-cnv 4667  df-dm 4669  df-rn 4670

This theorem is referenced by:  dfiun3  4921  iunon  6337  tgiun  14241