Theorem dfiun3g 4804

Description: Alternate definition of indexed union when B is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfiun3g	|- ( A. x e. A B e. C -> U_ x e. A B = U. ran ( x e. A |-> B ) )

Proof of Theorem dfiun3g

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiun2g 3853	. 2 |- ( A. x e. A B e. C -> U_ x e. A B = U. { y | E. x e. A y = B } )
2		eqid 2140	. . . 4 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
3	2	rnmpt 4795	. . 3 |- ran ( x e. A |-> B ) = { y | E. x e. A y = B }
4	3	unieqi 3754	. 2 |- U. ran ( x e. A |-> B ) = U. { y | E. x e. A y = B }
5	1, 4	eqtr4di 2191	1 |- ( A. x e. A B e. C -> U_ x e. A B = U. ran ( x e. A |-> B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1332   e. wcel 1481   {cab 2126   A.wral 2417   E.wrex 2418   U.cuni 3744   U_ciun 3821   |-> cmpt 3997   ran crn 4548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-cnv 4555  df-dm 4557  df-rn 4558

This theorem is referenced by:  dfiun3  4806  iunon  6189  tgiun  12281