Theorem dmpropg 5154

Description: The domain of an unordered pair of ordered pairs. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dmpropg	|- ( ( B e. V /\ D e. W ) -> dom { <. A , B >. , <. C , D >. } = { A , C } )

Proof of Theorem dmpropg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmsnopg 5153	. . 3 |- ( B e. V -> dom { <. A , B >. } = { A } )
2		dmsnopg 5153	. . 3 |- ( D e. W -> dom { <. C , D >. } = { C } )
3		uneq12 3321	. . 3 |- ( ( dom { <. A , B >. } = { A } /\ dom { <. C , D >. } = { C } ) -> ( dom { <. A , B >. } u. dom { <. C , D >. } ) = ( { A } u. { C } ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 |- ( ( B e. V /\ D e. W ) -> ( dom { <. A , B >. } u. dom { <. C , D >. } ) = ( { A } u. { C } ) )
5		df-pr 3639	. . . 4 |- { <. A , B >. , <. C , D >. } = ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } )
6	5	dmeqi 4878	. . 3 |- dom { <. A , B >. , <. C , D >. } = dom ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } )
7		dmun 4884	. . 3 |- dom ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) = ( dom { <. A , B >. } u. dom { <. C , D >. } )
8	6, 7	eqtri 2225	. 2 |- dom { <. A , B >. , <. C , D >. } = ( dom { <. A , B >. } u. dom { <. C , D >. } )
9		df-pr 3639	. 2 |- { A , C } = ( { A } u. { C } )
10	4, 8, 9	3eqtr4g 2262	1 |- ( ( B e. V /\ D e. W ) -> dom { <. A , B >. , <. C , D >. } = { A , C } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1372   e. wcel 2175   u. cun 3163   {csn 3632   {cpr 3633   <.cop 3635   dom cdm 4674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-br 4044  df-dm 4684

This theorem is referenced by:  dmprop  5156  funtpg  5324  fnprg  5328  hashdmprop2dom  10987  structiedg0val  15579