Theorem dmpropg 5076

Description: The domain of an unordered pair of ordered pairs. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dmpropg	|- ( ( B e. V /\ D e. W ) -> dom { <. A , B >. , <. C , D >. } = { A , C } )

Proof of Theorem dmpropg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmsnopg 5075	. . 3 |- ( B e. V -> dom { <. A , B >. } = { A } )
2		dmsnopg 5075	. . 3 |- ( D e. W -> dom { <. C , D >. } = { C } )
3		uneq12 3271	. . 3 |- ( ( dom { <. A , B >. } = { A } /\ dom { <. C , D >. } = { C } ) -> ( dom { <. A , B >. } u. dom { <. C , D >. } ) = ( { A } u. { C } ) )
4	1, 2, 3	syl2an 287	. 2 |- ( ( B e. V /\ D e. W ) -> ( dom { <. A , B >. } u. dom { <. C , D >. } ) = ( { A } u. { C } ) )
5		df-pr 3583	. . . 4 |- { <. A , B >. , <. C , D >. } = ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } )
6	5	dmeqi 4805	. . 3 |- dom { <. A , B >. , <. C , D >. } = dom ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } )
7		dmun 4811	. . 3 |- dom ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) = ( dom { <. A , B >. } u. dom { <. C , D >. } )
8	6, 7	eqtri 2186	. 2 |- dom { <. A , B >. , <. C , D >. } = ( dom { <. A , B >. } u. dom { <. C , D >. } )
9		df-pr 3583	. 2 |- { A , C } = ( { A } u. { C } )
10	4, 8, 9	3eqtr4g 2224	1 |- ( ( B e. V /\ D e. W ) -> dom { <. A , B >. , <. C , D >. } = { A , C } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   u. cun 3114   {csn 3576   {cpr 3577   <.cop 3579   dom cdm 4604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-dm 4614

This theorem is referenced by:  dmprop  5078  funtpg  5239  fnprg  5243