ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dmpropg Unicode version

Theorem dmpropg 4860
Description: The domain of an unordered pair of ordered pairs. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
dmpropg  |-  ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W )  ->  dom  { <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. }  =  { A ,  C }
)

Proof of Theorem dmpropg
StepHypRef Expression
1 dmsnopg 4859 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  dom  {
<. A ,  B >. }  =  { A }
)
2 dmsnopg 4859 . . 3  |-  ( D  e.  W  ->  dom  {
<. C ,  D >. }  =  { C }
)
3 uneq12 3135 . . 3  |-  ( ( dom  { <. A ,  B >. }  =  { A }  /\  dom  { <. C ,  D >. }  =  { C }
)  ->  ( dom  {
<. A ,  B >. }  u.  dom  { <. C ,  D >. } )  =  ( { A }  u.  { C } ) )
41, 2, 3syl2an 283 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W )  ->  ( dom  { <. A ,  B >. }  u.  dom  { <. C ,  D >. } )  =  ( { A }  u.  { C } ) )
5 df-pr 3432 . . . 4  |-  { <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. }  =  ( { <. A ,  B >. }  u.  { <. C ,  D >. } )
65dmeqi 4598 . . 3  |-  dom  { <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. }  =  dom  ( {
<. A ,  B >. }  u.  { <. C ,  D >. } )
7 dmun 4604 . . 3  |-  dom  ( { <. A ,  B >. }  u.  { <. C ,  D >. } )  =  ( dom  { <. A ,  B >. }  u.  dom  { <. C ,  D >. } )
86, 7eqtri 2105 . 2  |-  dom  { <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. }  =  ( dom  { <. A ,  B >. }  u.  dom  { <. C ,  D >. } )
9 df-pr 3432 . 2  |-  { A ,  C }  =  ( { A }  u.  { C } )
104, 8, 93eqtr4g 2142 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  D  e.  W )  ->  dom  { <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. }  =  { A ,  C }
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1287    e. wcel 1436    u. cun 2984   {csn 3425   {cpr 3426   <.cop 3428   dom cdm 4404
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-v 2616  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-br 3815  df-dm 4414
This theorem is referenced by:  dmprop  4862  funtpg  5021  fnprg  5025
  Copyright terms: Public domain W3C validator