Theorem dmpropg 5235

Description: The domain of an unordered pair of ordered pairs. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dmpropg	|- ( ( B e. V /\ D e. W ) -> dom { <. A , B >. , <. C , D >. } = { A , C } )

Proof of Theorem dmpropg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmsnopg 5234	. . 3 |- ( B e. V -> dom { <. A , B >. } = { A } )
2		dmsnopg 5234	. . 3 |- ( D e. W -> dom { <. C , D >. } = { C } )
3		uneq12 3368	. . 3 |- ( ( dom { <. A , B >. } = { A } /\ dom { <. C , D >. } = { C } ) -> ( dom { <. A , B >. } u. dom { <. C , D >. } ) = ( { A } u. { C } ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 |- ( ( B e. V /\ D e. W ) -> ( dom { <. A , B >. } u. dom { <. C , D >. } ) = ( { A } u. { C } ) )
5		df-pr 3696	. . . 4 |- { <. A , B >. , <. C , D >. } = ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } )
6	5	dmeqi 4957	. . 3 |- dom { <. A , B >. , <. C , D >. } = dom ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } )
7		dmun 4963	. . 3 |- dom ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) = ( dom { <. A , B >. } u. dom { <. C , D >. } )
8	6, 7	eqtri 2253	. 2 |- dom { <. A , B >. , <. C , D >. } = ( dom { <. A , B >. } u. dom { <. C , D >. } )
9		df-pr 3696	. 2 |- { A , C } = ( { A } u. { C } )
10	4, 8, 9	3eqtr4g 2290	1 |- ( ( B e. V /\ D e. W ) -> dom { <. A , B >. , <. C , D >. } = { A , C } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   u. cun 3209   {csn 3689   {cpr 3690   <.cop 3692   dom cdm 4749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-br 4110  df-dm 4759

This theorem is referenced by:  dmprop  5237  funtpg  5407  fnprg  5411  hashdmprop2dom  11216  structiedg0val  16035