Theorem dmpropg 5240

Description: The domain of an unordered pair of ordered pairs. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dmpropg	|- ( ( B e. V /\ D e. W ) -> dom { <. A , B >. , <. C , D >. } = { A , C } )

Proof of Theorem dmpropg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmsnopg 5239	. . 3 |- ( B e. V -> dom { <. A , B >. } = { A } )
2		dmsnopg 5239	. . 3 |- ( D e. W -> dom { <. C , D >. } = { C } )
3		uneq12 3372	. . 3 |- ( ( dom { <. A , B >. } = { A } /\ dom { <. C , D >. } = { C } ) -> ( dom { <. A , B >. } u. dom { <. C , D >. } ) = ( { A } u. { C } ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 |- ( ( B e. V /\ D e. W ) -> ( dom { <. A , B >. } u. dom { <. C , D >. } ) = ( { A } u. { C } ) )
5		df-pr 3701	. . . 4 |- { <. A , B >. , <. C , D >. } = ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } )
6	5	dmeqi 4962	. . 3 |- dom { <. A , B >. , <. C , D >. } = dom ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } )
7		dmun 4968	. . 3 |- dom ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) = ( dom { <. A , B >. } u. dom { <. C , D >. } )
8	6, 7	eqtri 2255	. 2 |- dom { <. A , B >. , <. C , D >. } = ( dom { <. A , B >. } u. dom { <. C , D >. } )
9		df-pr 3701	. 2 |- { A , C } = ( { A } u. { C } )
10	4, 8, 9	3eqtr4g 2292	1 |- ( ( B e. V /\ D e. W ) -> dom { <. A , B >. , <. C , D >. } = { A , C } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   u. cun 3212   {csn 3694   {cpr 3695   <.cop 3697   dom cdm 4754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-br 4115  df-dm 4764

This theorem is referenced by:  dmprop  5242  funtpg  5412  fnprg  5416  hashdmprop2dom  11241  structiedg0val  16161