Theorem funtpg 5306

Description: A set of three pairs is a function if their first members are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
funtpg	|- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> Fun { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } )

Proof of Theorem funtpg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 996	. . . 4 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) -> ( X e. U /\ Y e. V ) )
2		3simpa 996	. . . 4 |- ( ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) -> ( A e. F /\ B e. G ) )
3		simp1 999	. . . 4 |- ( ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) -> X =/= Y )
4		funprg 5305	. . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V ) /\ ( A e. F /\ B e. G ) /\ X =/= Y ) -> Fun { <. X , A >. , <. Y , B >. } )
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1291	. . 3 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> Fun { <. X , A >. , <. Y , B >. } )
6		simp13 1031	. . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> Z e. W )
7		simp23 1034	. . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> C e. H )
8		funsng 5301	. . . 4 |- ( ( Z e. W /\ C e. H ) -> Fun { <. Z , C >. } )
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> Fun { <. Z , C >. } )
10	2	3ad2ant2 1021	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( A e. F /\ B e. G ) )
11		dmpropg 5139	. . . . . 6 |- ( ( A e. F /\ B e. G ) -> dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } = { X , Y } )
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } = { X , Y } )
13		dmsnopg 5138	. . . . . 6 |- ( C e. H -> dom { <. Z , C >. } = { Z } )
14	7, 13	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> dom { <. Z , C >. } = { Z } )
15	12, 14	ineq12d 3362	. . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } i^i dom { <. Z , C >. } ) = ( { X , Y } i^i { Z } ) )
16		elpri 3642	. . . . . . . 8 |- ( Z e. { X , Y } -> ( Z = X \/ Z = Y ) )
17		nner 2368	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X = Z -> -. X =/= Z )
18	17	eqcoms 2196	. . . . . . . . . . 11 |- ( Z = X -> -. X =/= Z )
19		3mix2 1169	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. X =/= Z -> ( -. X =/= Y \/ -. X =/= Z \/ -. Y =/= Z ) )
20	18, 19	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( Z = X -> ( -. X =/= Y \/ -. X =/= Z \/ -. Y =/= Z ) )
21		nner 2368	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Y = Z -> -. Y =/= Z )
22	21	eqcoms 2196	. . . . . . . . . . 11 |- ( Z = Y -> -. Y =/= Z )
23		3mix3 1170	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. Y =/= Z -> ( -. X =/= Y \/ -. X =/= Z \/ -. Y =/= Z ) )
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( Z = Y -> ( -. X =/= Y \/ -. X =/= Z \/ -. Y =/= Z ) )
25	20, 24	jaoi 717	. . . . . . . . 9 |- ( ( Z = X \/ Z = Y ) -> ( -. X =/= Y \/ -. X =/= Z \/ -. Y =/= Z ) )
26		3ianorr 1320	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. X =/= Y \/ -. X =/= Z \/ -. Y =/= Z ) -> -. ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) )
27	25, 26	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( Z = X \/ Z = Y ) -> -. ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) )
28	16, 27	syl 14	. . . . . . 7 |- ( Z e. { X , Y } -> -. ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) )
29	28	con2i 628	. . . . . 6 |- ( ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) -> -. Z e. { X , Y } )
30		disjsn 3681	. . . . . 6 |- ( ( { X , Y } i^i { Z } ) = (/) <-> -. Z e. { X , Y } )
31	29, 30	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) -> ( { X , Y } i^i { Z } ) = (/) )
32	31	3ad2ant3 1022	. . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( { X , Y } i^i { Z } ) = (/) )
33	15, 32	eqtrd 2226	. . 3 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } i^i dom { <. Z , C >. } ) = (/) )
34		funun 5299	. . 3 |- ( ( ( Fun { <. X , A >. , <. Y , B >. } /\ Fun { <. Z , C >. } ) /\ ( dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } i^i dom { <. Z , C >. } ) = (/) ) -> Fun ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } ) )
35	5, 9, 33, 34	syl21anc 1248	. 2 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> Fun ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } ) )
36		df-tp 3627	. . 3 |- { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } = ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } )
37	36	funeqi 5276	. 2 |- ( Fun { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } <-> Fun ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } ) )
38	35, 37	sylibr 134	1 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> Fun { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   \/ w3o 979   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   u. cun 3152   i^i cin 3153   (/)c0 3447   {csn 3619   {cpr 3620   {ctp 3621   <.cop 3622   dom cdm 4660   Fun wfun 5249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-tp 3627  df-op 3628  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-fun 5257

This theorem is referenced by:  fntpg  5311