Theorem funtpg 5388

Description: A set of three pairs is a function if their first members are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
funtpg	|- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> Fun { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } )

Proof of Theorem funtpg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 1021	. . . 4 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) -> ( X e. U /\ Y e. V ) )
2		3simpa 1021	. . . 4 |- ( ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) -> ( A e. F /\ B e. G ) )
3		simp1 1024	. . . 4 |- ( ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) -> X =/= Y )
4		funprg 5387	. . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V ) /\ ( A e. F /\ B e. G ) /\ X =/= Y ) -> Fun { <. X , A >. , <. Y , B >. } )
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1316	. . 3 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> Fun { <. X , A >. , <. Y , B >. } )
6		simp13 1056	. . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> Z e. W )
7		simp23 1059	. . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> C e. H )
8		funsng 5383	. . . 4 |- ( ( Z e. W /\ C e. H ) -> Fun { <. Z , C >. } )
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> Fun { <. Z , C >. } )
10	2	3ad2ant2 1046	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( A e. F /\ B e. G ) )
11		dmpropg 5216	. . . . . 6 |- ( ( A e. F /\ B e. G ) -> dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } = { X , Y } )
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } = { X , Y } )
13		dmsnopg 5215	. . . . . 6 |- ( C e. H -> dom { <. Z , C >. } = { Z } )
14	7, 13	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> dom { <. Z , C >. } = { Z } )
15	12, 14	ineq12d 3411	. . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } i^i dom { <. Z , C >. } ) = ( { X , Y } i^i { Z } ) )
16		elpri 3696	. . . . . . . 8 |- ( Z e. { X , Y } -> ( Z = X \/ Z = Y ) )
17		nner 2407	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X = Z -> -. X =/= Z )
18	17	eqcoms 2234	. . . . . . . . . . 11 |- ( Z = X -> -. X =/= Z )
19		3mix2 1194	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. X =/= Z -> ( -. X =/= Y \/ -. X =/= Z \/ -. Y =/= Z ) )
20	18, 19	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( Z = X -> ( -. X =/= Y \/ -. X =/= Z \/ -. Y =/= Z ) )
21		nner 2407	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Y = Z -> -. Y =/= Z )
22	21	eqcoms 2234	. . . . . . . . . . 11 |- ( Z = Y -> -. Y =/= Z )
23		3mix3 1195	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. Y =/= Z -> ( -. X =/= Y \/ -. X =/= Z \/ -. Y =/= Z ) )
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( Z = Y -> ( -. X =/= Y \/ -. X =/= Z \/ -. Y =/= Z ) )
25	20, 24	jaoi 724	. . . . . . . . 9 |- ( ( Z = X \/ Z = Y ) -> ( -. X =/= Y \/ -. X =/= Z \/ -. Y =/= Z ) )
26		3ianorr 1346	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. X =/= Y \/ -. X =/= Z \/ -. Y =/= Z ) -> -. ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) )
27	25, 26	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( Z = X \/ Z = Y ) -> -. ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) )
28	16, 27	syl 14	. . . . . . 7 |- ( Z e. { X , Y } -> -. ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) )
29	28	con2i 632	. . . . . 6 |- ( ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) -> -. Z e. { X , Y } )
30		disjsn 3735	. . . . . 6 |- ( ( { X , Y } i^i { Z } ) = (/) <-> -. Z e. { X , Y } )
31	29, 30	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) -> ( { X , Y } i^i { Z } ) = (/) )
32	31	3ad2ant3 1047	. . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( { X , Y } i^i { Z } ) = (/) )
33	15, 32	eqtrd 2264	. . 3 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } i^i dom { <. Z , C >. } ) = (/) )
34		funun 5378	. . 3 |- ( ( ( Fun { <. X , A >. , <. Y , B >. } /\ Fun { <. Z , C >. } ) /\ ( dom { <. X , A >. , <. Y , B >. } i^i dom { <. Z , C >. } ) = (/) ) -> Fun ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } ) )
35	5, 9, 33, 34	syl21anc 1273	. 2 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> Fun ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } ) )
36		df-tp 3681	. . 3 |- { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } = ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } )
37	36	funeqi 5354	. 2 |- ( Fun { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } <-> Fun ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } ) )
38	35, 37	sylibr 134	1 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> Fun { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716   \/ w3o 1004   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   u. cun 3199   i^i cin 3200   (/)c0 3496   {csn 3673   {cpr 3674   {ctp 3675   <.cop 3676   dom cdm 4731   Fun wfun 5327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-fun 5335

This theorem is referenced by:  fntpg  5393