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Theorem funtpg 5286
Description: A set of three pairs is a function if their first members are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
funtpg  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  Fun  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. ,  <. Z ,  C >. } )

Proof of Theorem funtpg
StepHypRef Expression
1 3simpa 996 . . . 4  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( X  e.  U  /\  Y  e.  V
) )
2 3simpa 996 . . . 4  |-  ( ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  ->  ( A  e.  F  /\  B  e.  G
) )
3 simp1 999 . . . 4  |-  ( ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/=  Z )  ->  X  =/=  Y )
4 funprg 5285 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G )  /\  X  =/=  Y )  ->  Fun  {
<. X ,  A >. , 
<. Y ,  B >. } )
51, 2, 3, 4syl3an 1291 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  Fun  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. } )
6 simp13 1031 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  Z  e.  W )
7 simp23 1034 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  C  e.  H )
8 funsng 5281 . . . 4  |-  ( ( Z  e.  W  /\  C  e.  H )  ->  Fun  { <. Z ,  C >. } )
96, 7, 8syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  Fun  { <. Z ,  C >. } )
1023ad2ant2 1021 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  -> 
( A  e.  F  /\  B  e.  G
) )
11 dmpropg 5119 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  F  /\  B  e.  G )  ->  dom  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  =  { X ,  Y }
)
1210, 11syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  dom  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  =  { X ,  Y } )
13 dmsnopg 5118 . . . . . 6  |-  ( C  e.  H  ->  dom  {
<. Z ,  C >. }  =  { Z }
)
147, 13syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  dom  { <. Z ,  C >. }  =  { Z } )
1512, 14ineq12d 3352 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  -> 
( dom  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  i^i  dom  {
<. Z ,  C >. } )  =  ( { X ,  Y }  i^i  { Z } ) )
16 elpri 3630 . . . . . . . 8  |-  ( Z  e.  { X ,  Y }  ->  ( Z  =  X  \/  Z  =  Y ) )
17 nner 2364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  =  Z  ->  -.  X  =/=  Z )
1817eqcoms 2192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z  =  X  ->  -.  X  =/=  Z )
19 3mix2 1169 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  X  =/=  Z  -> 
( -.  X  =/= 
Y  \/  -.  X  =/=  Z  \/  -.  Y  =/=  Z ) )
2018, 19syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  =  X  ->  ( -.  X  =/=  Y  \/  -.  X  =/=  Z  \/  -.  Y  =/=  Z
) )
21 nner 2364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  =  Z  ->  -.  Y  =/=  Z )
2221eqcoms 2192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z  =  Y  ->  -.  Y  =/=  Z )
23 3mix3 1170 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  Y  =/=  Z  -> 
( -.  X  =/= 
Y  \/  -.  X  =/=  Z  \/  -.  Y  =/=  Z ) )
2422, 23syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  =  Y  ->  ( -.  X  =/=  Y  \/  -.  X  =/=  Z  \/  -.  Y  =/=  Z
) )
2520, 24jaoi 717 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Z  =  X  \/  Z  =  Y )  ->  ( -.  X  =/= 
Y  \/  -.  X  =/=  Z  \/  -.  Y  =/=  Z ) )
26 3ianorr 1320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  X  =/=  Y  \/  -.  X  =/=  Z  \/  -.  Y  =/=  Z
)  ->  -.  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )
2725, 26syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( Z  =  X  \/  Z  =  Y )  ->  -.  ( X  =/= 
Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/=  Z
) )
2816, 27syl 14 . . . . . . 7  |-  ( Z  e.  { X ,  Y }  ->  -.  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )
2928con2i 628 . . . . . 6  |-  ( ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/=  Z )  ->  -.  Z  e.  { X ,  Y } )
30 disjsn 3669 . . . . . 6  |-  ( ( { X ,  Y }  i^i  { Z }
)  =  (/)  <->  -.  Z  e.  { X ,  Y } )
3129, 30sylibr 134 . . . . 5  |-  ( ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/=  Z )  ->  ( { X ,  Y }  i^i  { Z } )  =  (/) )
32313ad2ant3 1022 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  -> 
( { X ,  Y }  i^i  { Z } )  =  (/) )
3315, 32eqtrd 2222 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  -> 
( dom  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  i^i  dom  {
<. Z ,  C >. } )  =  (/) )
34 funun 5279 . . 3  |-  ( ( ( Fun  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  /\  Fun  { <. Z ,  C >. } )  /\  ( dom  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  i^i  dom  { <. Z ,  C >. } )  =  (/) )  ->  Fun  ( { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  u.  { <. Z ,  C >. } ) )
355, 9, 33, 34syl21anc 1248 . 2  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  Fun  ( { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  u.  { <. Z ,  C >. } ) )
36 df-tp 3615 . . 3  |-  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. ,  <. Z ,  C >. }  =  ( { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  u.  { <. Z ,  C >. } )
3736funeqi 5256 . 2  |-  ( Fun 
{ <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. ,  <. Z ,  C >. }  <->  Fun  ( { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  u.  {
<. Z ,  C >. } ) )
3835, 37sylibr 134 1  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  Fun  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. ,  <. Z ,  C >. } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    \/ wo 709    \/ w3o 979    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2160    =/= wne 2360    u. cun 3142    i^i cin 3143   (/)c0 3437   {csn 3607   {cpr 3608   {ctp 3609   <.cop 3610   dom cdm 4644   Fun wfun 5229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-tp 3615  df-op 3616  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-fun 5237
This theorem is referenced by:  fntpg  5291
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