Theorem dmsnopg 5101

Description: The domain of a singleton of an ordered pair is the singleton of the first member. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dmsnopg	|- ( B e. V -> dom { <. A , B >. } = { A } )

Proof of Theorem dmsnopg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2741	. . . . . 6 |- x e. _V
2		vex 2741	. . . . . 6 |- y e. _V
3	1, 2	opth1 4237	. . . . 5 |- ( <. x , y >. = <. A , B >. -> x = A )
4	3	exlimiv 1598	. . . 4 |- ( E. y <. x , y >. = <. A , B >. -> x = A )
5		opeq1 3779	. . . . 5 |- ( x = A -> <. x , B >. = <. A , B >. )
6		opeq2 3780	. . . . . . 7 |- ( y = B -> <. x , y >. = <. x , B >. )
7	6	eqeq1d 2186	. . . . . 6 |- ( y = B -> ( <. x , y >. = <. A , B >. <-> <. x , B >. = <. A , B >. ) )
8	7	spcegv 2826	. . . . 5 |- ( B e. V -> ( <. x , B >. = <. A , B >. -> E. y <. x , y >. = <. A , B >. ) )
9	5, 8	syl5 32	. . . 4 |- ( B e. V -> ( x = A -> E. y <. x , y >. = <. A , B >. ) )
10	4, 9	impbid2 143	. . 3 |- ( B e. V -> ( E. y <. x , y >. = <. A , B >. <-> x = A ) )
11	1	eldm2 4826	. . . 4 |- ( x e. dom { <. A , B >. } <-> E. y <. x , y >. e. { <. A , B >. } )
12	1, 2	opex 4230	. . . . . 6 |- <. x , y >. e. _V
13	12	elsn 3609	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. A , B >. } <-> <. x , y >. = <. A , B >. )
14	13	exbii 1605	. . . 4 |- ( E. y <. x , y >. e. { <. A , B >. } <-> E. y <. x , y >. = <. A , B >. )
15	11, 14	bitri 184	. . 3 |- ( x e. dom { <. A , B >. } <-> E. y <. x , y >. = <. A , B >. )
16		velsn 3610	. . 3 |- ( x e. { A } <-> x = A )
17	10, 15, 16	3bitr4g 223	. 2 |- ( B e. V -> ( x e. dom { <. A , B >. } <-> x e. { A } ) )
18	17	eqrdv 2175	1 |- ( B e. V -> dom { <. A , B >. } = { A } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   {csn 3593   <.cop 3596   dom cdm 4627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2740  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-br 4005  df-dm 4637

This theorem is referenced by:  dmpropg  5102  dmsnop  5103  rnsnopg  5108  elxp4  5117  fnsng  5264  funprg  5267  funtpg  5268  fntpg  5273  ennnfonelemhdmp1  12410  ennnfonelemkh  12413  setsvala  12493  setsresg  12500  setscom  12502  setsslid  12513  strle1g  12565