Theorem dmsnopg 5141

Description: The domain of a singleton of an ordered pair is the singleton of the first member. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dmsnopg	|- ( B e. V -> dom { <. A , B >. } = { A } )

Proof of Theorem dmsnopg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2766	. . . . . 6 |- x e. _V
2		vex 2766	. . . . . 6 |- y e. _V
3	1, 2	opth1 4269	. . . . 5 |- ( <. x , y >. = <. A , B >. -> x = A )
4	3	exlimiv 1612	. . . 4 |- ( E. y <. x , y >. = <. A , B >. -> x = A )
5		opeq1 3808	. . . . 5 |- ( x = A -> <. x , B >. = <. A , B >. )
6		opeq2 3809	. . . . . . 7 |- ( y = B -> <. x , y >. = <. x , B >. )
7	6	eqeq1d 2205	. . . . . 6 |- ( y = B -> ( <. x , y >. = <. A , B >. <-> <. x , B >. = <. A , B >. ) )
8	7	spcegv 2852	. . . . 5 |- ( B e. V -> ( <. x , B >. = <. A , B >. -> E. y <. x , y >. = <. A , B >. ) )
9	5, 8	syl5 32	. . . 4 |- ( B e. V -> ( x = A -> E. y <. x , y >. = <. A , B >. ) )
10	4, 9	impbid2 143	. . 3 |- ( B e. V -> ( E. y <. x , y >. = <. A , B >. <-> x = A ) )
11	1	eldm2 4864	. . . 4 |- ( x e. dom { <. A , B >. } <-> E. y <. x , y >. e. { <. A , B >. } )
12	1, 2	opex 4262	. . . . . 6 |- <. x , y >. e. _V
13	12	elsn 3638	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. A , B >. } <-> <. x , y >. = <. A , B >. )
14	13	exbii 1619	. . . 4 |- ( E. y <. x , y >. e. { <. A , B >. } <-> E. y <. x , y >. = <. A , B >. )
15	11, 14	bitri 184	. . 3 |- ( x e. dom { <. A , B >. } <-> E. y <. x , y >. = <. A , B >. )
16		velsn 3639	. . 3 |- ( x e. { A } <-> x = A )
17	10, 15, 16	3bitr4g 223	. 2 |- ( B e. V -> ( x e. dom { <. A , B >. } <-> x e. { A } ) )
18	17	eqrdv 2194	1 |- ( B e. V -> dom { <. A , B >. } = { A } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   {csn 3622   <.cop 3625   dom cdm 4663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-dm 4673

This theorem is referenced by:  dmpropg  5142  dmsnop  5143  rnsnopg  5148  elxp4  5157  fnsng  5305  funprg  5308  funtpg  5309  fntpg  5314  ennnfonelemhdmp1  12626  ennnfonelemkh  12629  setsvala  12709  setsresg  12716  setscom  12718  setsslid  12729  strle1g  12784