ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dmsnopg Unicode version

Theorem dmsnopg 4865
Description: The domain of a singleton of an ordered pair is the singleton of the first member. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
dmsnopg  |-  ( B  e.  V  ->  dom  {
<. A ,  B >. }  =  { A }
)

Proof of Theorem dmsnopg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2618 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
2 vex 2618 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
31, 2opth1 4036 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. A ,  B >.  ->  x  =  A )
43exlimiv 1532 . . . 4  |-  ( E. y <. x ,  y
>.  =  <. A ,  B >.  ->  x  =  A )
5 opeq1 3605 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  <. x ,  B >.  =  <. A ,  B >. )
6 opeq2 3606 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  <. x ,  y >.  =  <. x ,  B >. )
76eqeq1d 2093 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  ( <. x ,  y >.  =  <. A ,  B >.  <->  <. x ,  B >.  = 
<. A ,  B >. ) )
87spcegv 2700 . . . . 5  |-  ( B  e.  V  ->  ( <. x ,  B >.  = 
<. A ,  B >.  ->  E. y <. x ,  y
>.  =  <. A ,  B >. ) )
95, 8syl5 32 . . . 4  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  =  A  ->  E. y <. x ,  y
>.  =  <. A ,  B >. ) )
104, 9impbid2 141 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  ( E. y <. x ,  y
>.  =  <. A ,  B >. 
<->  x  =  A ) )
111eldm2 4601 . . . 4  |-  ( x  e.  dom  { <. A ,  B >. }  <->  E. y <. x ,  y >.  e.  { <. A ,  B >. } )
121, 2opex 4029 . . . . . 6  |-  <. x ,  y >.  e.  _V
1312elsn 3447 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. A ,  B >. }  <->  <. x ,  y
>.  =  <. A ,  B >. )
1413exbii 1539 . . . 4  |-  ( E. y <. x ,  y
>.  e.  { <. A ,  B >. }  <->  E. y <. x ,  y >.  =  <. A ,  B >. )
1511, 14bitri 182 . . 3  |-  ( x  e.  dom  { <. A ,  B >. }  <->  E. y <. x ,  y >.  =  <. A ,  B >. )
16 velsn 3448 . . 3  |-  ( x  e.  { A }  <->  x  =  A )
1710, 15, 163bitr4g 221 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  dom  { <. A ,  B >. }  <-> 
x  e.  { A } ) )
1817eqrdv 2083 1  |-  ( B  e.  V  ->  dom  {
<. A ,  B >. }  =  { A }
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1287   E.wex 1424    e. wcel 1436   {csn 3431   <.cop 3434   dom cdm 4410
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3931  ax-pow 3983  ax-pr 4009
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-v 2617  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-br 3821  df-dm 4420
This theorem is referenced by:  dmpropg  4866  dmsnop  4867  rnsnopg  4872  elxp4  4881  fnsng  5023  funprg  5026  funtpg  5027  fntpg  5032
  Copyright terms: Public domain W3C validator