Theorem dmsnopg 5239

Description: The domain of a singleton of an ordered pair is the singleton of the first member. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dmsnopg	|- ( B e. V -> dom { <. A , B >. } = { A } )

Proof of Theorem dmsnopg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2818	. . . . . 6 |- x e. _V
2		vex 2818	. . . . . 6 |- y e. _V
3	1, 2	opth1 4357	. . . . 5 |- ( <. x , y >. = <. A , B >. -> x = A )
4	3	exlimiv 1647	. . . 4 |- ( E. y <. x , y >. = <. A , B >. -> x = A )
5		opeq1 3888	. . . . 5 |- ( x = A -> <. x , B >. = <. A , B >. )
6		opeq2 3889	. . . . . . 7 |- ( y = B -> <. x , y >. = <. x , B >. )
7	6	eqeq1d 2243	. . . . . 6 |- ( y = B -> ( <. x , y >. = <. A , B >. <-> <. x , B >. = <. A , B >. ) )
8	7	spcegv 2907	. . . . 5 |- ( B e. V -> ( <. x , B >. = <. A , B >. -> E. y <. x , y >. = <. A , B >. ) )
9	5, 8	syl5 32	. . . 4 |- ( B e. V -> ( x = A -> E. y <. x , y >. = <. A , B >. ) )
10	4, 9	impbid2 143	. . 3 |- ( B e. V -> ( E. y <. x , y >. = <. A , B >. <-> x = A ) )
11	1	eldm2 4959	. . . 4 |- ( x e. dom { <. A , B >. } <-> E. y <. x , y >. e. { <. A , B >. } )
12	1, 2	opex 4350	. . . . . 6 |- <. x , y >. e. _V
13	12	elsn 3710	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. A , B >. } <-> <. x , y >. = <. A , B >. )
14	13	exbii 1654	. . . 4 |- ( E. y <. x , y >. e. { <. A , B >. } <-> E. y <. x , y >. = <. A , B >. )
15	11, 14	bitri 184	. . 3 |- ( x e. dom { <. A , B >. } <-> E. y <. x , y >. = <. A , B >. )
16		velsn 3711	. . 3 |- ( x e. { A } <-> x = A )
17	10, 15, 16	3bitr4g 223	. 2 |- ( B e. V -> ( x e. dom { <. A , B >. } <-> x e. { A } ) )
18	17	eqrdv 2232	1 |- ( B e. V -> dom { <. A , B >. } = { A } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   {csn 3694   <.cop 3697   dom cdm 4754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-br 4115  df-dm 4764

This theorem is referenced by:  dmpropg  5240  dmsnop  5241  rnsnopg  5246  elxp4  5255  fnsng  5408  funprg  5411  funtpg  5412  fntpg  5417  s1dmg  11338  ennnfonelemhdmp1  13244  ennnfonelemkh  13247  setsvala  13327  setsresg  13334  setscom  13336  setsslid  13347  bassetsnn  13353  strle1g  13403  umgr1een  16246  1loopgrvd2fi  16426  1loopgrvd0fi  16427  1hevtxdg0fi  16428  1hevtxdg1en  16429  1hegrvtxdg1fi  16430  p1evtxdeqfilem  16432  trlsegvdeglem5  16585