Theorem dmsnopg 5018

Description: The domain of a singleton of an ordered pair is the singleton of the first member. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dmsnopg	|- ( B e. V -> dom { <. A , B >. } = { A } )

Proof of Theorem dmsnopg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2692	. . . . . 6 |- x e. _V
2		vex 2692	. . . . . 6 |- y e. _V
3	1, 2	opth1 4166	. . . . 5 |- ( <. x , y >. = <. A , B >. -> x = A )
4	3	exlimiv 1578	. . . 4 |- ( E. y <. x , y >. = <. A , B >. -> x = A )
5		opeq1 3713	. . . . 5 |- ( x = A -> <. x , B >. = <. A , B >. )
6		opeq2 3714	. . . . . . 7 |- ( y = B -> <. x , y >. = <. x , B >. )
7	6	eqeq1d 2149	. . . . . 6 |- ( y = B -> ( <. x , y >. = <. A , B >. <-> <. x , B >. = <. A , B >. ) )
8	7	spcegv 2777	. . . . 5 |- ( B e. V -> ( <. x , B >. = <. A , B >. -> E. y <. x , y >. = <. A , B >. ) )
9	5, 8	syl5 32	. . . 4 |- ( B e. V -> ( x = A -> E. y <. x , y >. = <. A , B >. ) )
10	4, 9	impbid2 142	. . 3 |- ( B e. V -> ( E. y <. x , y >. = <. A , B >. <-> x = A ) )
11	1	eldm2 4745	. . . 4 |- ( x e. dom { <. A , B >. } <-> E. y <. x , y >. e. { <. A , B >. } )
12	1, 2	opex 4159	. . . . . 6 |- <. x , y >. e. _V
13	12	elsn 3548	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. A , B >. } <-> <. x , y >. = <. A , B >. )
14	13	exbii 1585	. . . 4 |- ( E. y <. x , y >. e. { <. A , B >. } <-> E. y <. x , y >. = <. A , B >. )
15	11, 14	bitri 183	. . 3 |- ( x e. dom { <. A , B >. } <-> E. y <. x , y >. = <. A , B >. )
16		velsn 3549	. . 3 |- ( x e. { A } <-> x = A )
17	10, 15, 16	3bitr4g 222	. 2 |- ( B e. V -> ( x e. dom { <. A , B >. } <-> x e. { A } ) )
18	17	eqrdv 2138	1 |- ( B e. V -> dom { <. A , B >. } = { A } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 1481   {csn 3532   <.cop 3535   dom cdm 4547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-dm 4557

This theorem is referenced by:  dmpropg  5019  dmsnop  5020  rnsnopg  5025  elxp4  5034  fnsng  5178  funprg  5181  funtpg  5182  fntpg  5187  ennnfonelemhdmp1  11958  ennnfonelemkh  11961  setsvala  12029  setsresg  12036  setscom  12038  setsslid  12048  strle1g  12088