Theorem dmsnopg 5155

Description: The domain of a singleton of an ordered pair is the singleton of the first member. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dmsnopg	|- ( B e. V -> dom { <. A , B >. } = { A } )

Proof of Theorem dmsnopg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2775	. . . . . 6 |- x e. _V
2		vex 2775	. . . . . 6 |- y e. _V
3	1, 2	opth1 4281	. . . . 5 |- ( <. x , y >. = <. A , B >. -> x = A )
4	3	exlimiv 1621	. . . 4 |- ( E. y <. x , y >. = <. A , B >. -> x = A )
5		opeq1 3819	. . . . 5 |- ( x = A -> <. x , B >. = <. A , B >. )
6		opeq2 3820	. . . . . . 7 |- ( y = B -> <. x , y >. = <. x , B >. )
7	6	eqeq1d 2214	. . . . . 6 |- ( y = B -> ( <. x , y >. = <. A , B >. <-> <. x , B >. = <. A , B >. ) )
8	7	spcegv 2861	. . . . 5 |- ( B e. V -> ( <. x , B >. = <. A , B >. -> E. y <. x , y >. = <. A , B >. ) )
9	5, 8	syl5 32	. . . 4 |- ( B e. V -> ( x = A -> E. y <. x , y >. = <. A , B >. ) )
10	4, 9	impbid2 143	. . 3 |- ( B e. V -> ( E. y <. x , y >. = <. A , B >. <-> x = A ) )
11	1	eldm2 4877	. . . 4 |- ( x e. dom { <. A , B >. } <-> E. y <. x , y >. e. { <. A , B >. } )
12	1, 2	opex 4274	. . . . . 6 |- <. x , y >. e. _V
13	12	elsn 3649	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. A , B >. } <-> <. x , y >. = <. A , B >. )
14	13	exbii 1628	. . . 4 |- ( E. y <. x , y >. e. { <. A , B >. } <-> E. y <. x , y >. = <. A , B >. )
15	11, 14	bitri 184	. . 3 |- ( x e. dom { <. A , B >. } <-> E. y <. x , y >. = <. A , B >. )
16		velsn 3650	. . 3 |- ( x e. { A } <-> x = A )
17	10, 15, 16	3bitr4g 223	. 2 |- ( B e. V -> ( x e. dom { <. A , B >. } <-> x e. { A } ) )
18	17	eqrdv 2203	1 |- ( B e. V -> dom { <. A , B >. } = { A } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   {csn 3633   <.cop 3636   dom cdm 4676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4046  df-dm 4686

This theorem is referenced by:  dmpropg  5156  dmsnop  5157  rnsnopg  5162  elxp4  5171  fnsng  5322  funprg  5325  funtpg  5326  fntpg  5331  s1dmg  11082  ennnfonelemhdmp1  12813  ennnfonelemkh  12816  setsvala  12896  setsresg  12903  setscom  12905  setsslid  12916  strle1g  12971