Theorem fnprg 5334

Description: Function with a domain of two different values. (Contributed by FL, 26-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnprg	|- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> { <. A , C >. , <. B , D >. } Fn { A , B } )

Proof of Theorem fnprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funprg 5329	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> Fun { <. A , C >. , <. B , D >. } )
2		dmpropg 5160	. . 3 |- ( ( C e. X /\ D e. Y ) -> dom { <. A , C >. , <. B , D >. } = { A , B } )
3	2	3ad2ant2 1022	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> dom { <. A , C >. , <. B , D >. } = { A , B } )
4		df-fn 5279	. 2 |- ( { <. A , C >. , <. B , D >. } Fn { A , B } <-> ( Fun { <. A , C >. , <. B , D >. } /\ dom { <. A , C >. , <. B , D >. } = { A , B } ) )
5	1, 3, 4	sylanbrc 417	1 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> { <. A , C >. , <. B , D >. } Fn { A , B } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   =/= wne 2377   {cpr 3635   <.cop 3637   dom cdm 4679   Fun wfun 5270   Fn wfn 5271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-br 4048  df-opab 4110  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-fun 5278  df-fn 5279

This theorem is referenced by:  fprg  5774  fnpr2o  13215  edgstruct  15704