Theorem fnprg 5313

Description: Function with a domain of two different values. (Contributed by FL, 26-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnprg	|- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> { <. A , C >. , <. B , D >. } Fn { A , B } )

Proof of Theorem fnprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funprg 5308	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> Fun { <. A , C >. , <. B , D >. } )
2		dmpropg 5142	. . 3 |- ( ( C e. X /\ D e. Y ) -> dom { <. A , C >. , <. B , D >. } = { A , B } )
3	2	3ad2ant2 1021	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> dom { <. A , C >. , <. B , D >. } = { A , B } )
4		df-fn 5261	. 2 |- ( { <. A , C >. , <. B , D >. } Fn { A , B } <-> ( Fun { <. A , C >. , <. B , D >. } /\ dom { <. A , C >. , <. B , D >. } = { A , B } ) )
5	1, 3, 4	sylanbrc 417	1 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) /\ A =/= B ) -> { <. A , C >. , <. B , D >. } Fn { A , B } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   {cpr 3623   <.cop 3625   dom cdm 4663   Fun wfun 5252   Fn wfn 5253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-fun 5260  df-fn 5261

This theorem is referenced by:  fprg  5745  fnpr2o  12982