Theorem dmsn0el 5090

Description: The domain of a singleton is empty if the singleton's argument contains the empty set. (Contributed by NM, 15-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
dmsn0el	|- ( (/) e. A -> dom { A } = (/) )

Proof of Theorem dmsn0el

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelelxp 4649	. . . . 5 |- ( A e. ( _V X. _V ) -> -. (/) e. A )
2	1	con2i 627	. . . 4 |- ( (/) e. A -> -. A e. ( _V X. _V ) )
3		dmsnm 5086	. . . 4 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x x e. dom { A } )
4	2, 3	sylnib 676	. . 3 |- ( (/) e. A -> -. E. x x e. dom { A } )
5		alnex 1497	. . 3 |- ( A. x -. x e. dom { A } <-> -. E. x x e. dom { A } )
6	4, 5	sylibr 134	. 2 |- ( (/) e. A -> A. x -. x e. dom { A } )
7		eq0 3439	. 2 |- ( dom { A } = (/) <-> A. x -. x e. dom { A } )
8	6, 7	sylibr 134	1 |- ( (/) e. A -> dom { A } = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   A.wal 1351   = wceq 1353   E.wex 1490   e. wcel 2146   _Vcvv 2735   (/)c0 3420   {csn 3589   X. cxp 4618   dom cdm 4620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-v 2737  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-br 3999  df-opab 4060  df-xp 4626  df-dm 4630

This theorem is referenced by: (None)