Theorem dmsn0el 5080

Description: The domain of a singleton is empty if the singleton's argument contains the empty set. (Contributed by NM, 15-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
dmsn0el	|- ( (/) e. A -> dom { A } = (/) )

Proof of Theorem dmsn0el

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelelxp 4640	. . . . 5 |- ( A e. ( _V X. _V ) -> -. (/) e. A )
2	1	con2i 622	. . . 4 |- ( (/) e. A -> -. A e. ( _V X. _V ) )
3		dmsnm 5076	. . . 4 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x x e. dom { A } )
4	2, 3	sylnib 671	. . 3 |- ( (/) e. A -> -. E. x x e. dom { A } )
5		alnex 1492	. . 3 |- ( A. x -. x e. dom { A } <-> -. E. x x e. dom { A } )
6	4, 5	sylibr 133	. 2 |- ( (/) e. A -> A. x -. x e. dom { A } )
7		eq0 3433	. 2 |- ( dom { A } = (/) <-> A. x -. x e. dom { A } )
8	6, 7	sylibr 133	1 |- ( (/) e. A -> dom { A } = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   A.wal 1346   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   (/)c0 3414   {csn 3583   X. cxp 4609   dom cdm 4611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-dm 4621

This theorem is referenced by: (None)