ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dmsn0el Unicode version

Theorem dmsn0el 4978
Description: The domain of a singleton is empty if the singleton's argument contains the empty set. (Contributed by NM, 15-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
dmsn0el  |-  ( (/)  e.  A  ->  dom  { A }  =  (/) )

Proof of Theorem dmsn0el
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nelelxp 4538 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( _V  X.  _V )  ->  -.  (/)  e.  A
)
21con2i 601 . . . 4  |-  ( (/)  e.  A  ->  -.  A  e.  ( _V  X.  _V ) )
3 dmsnm 4974 . . . 4  |-  ( A  e.  ( _V  X.  _V )  <->  E. x  x  e. 
dom  { A } )
42, 3sylnib 650 . . 3  |-  ( (/)  e.  A  ->  -.  E. x  x  e.  dom  { A } )
5 alnex 1460 . . 3  |-  ( A. x  -.  x  e.  dom  { A }  <->  -.  E. x  x  e.  dom  { A } )
64, 5sylibr 133 . 2  |-  ( (/)  e.  A  ->  A. x  -.  x  e.  dom  { A } )
7 eq0 3351 . 2  |-  ( dom 
{ A }  =  (/)  <->  A. x  -.  x  e. 
dom  { A } )
86, 7sylibr 133 1  |-  ( (/)  e.  A  ->  dom  { A }  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1314    = wceq 1316   E.wex 1453    e. wcel 1465   _Vcvv 2660   (/)c0 3333   {csn 3497    X. cxp 4507   dom cdm 4509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-br 3900  df-opab 3960  df-xp 4515  df-dm 4519
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator