Theorem dmsn0el 5116

Description: The domain of a singleton is empty if the singleton's argument contains the empty set. (Contributed by NM, 15-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
dmsn0el	|- ( (/) e. A -> dom { A } = (/) )

Proof of Theorem dmsn0el

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelelxp 4673	. . . . 5 |- ( A e. ( _V X. _V ) -> -. (/) e. A )
2	1	con2i 628	. . . 4 |- ( (/) e. A -> -. A e. ( _V X. _V ) )
3		dmsnm 5112	. . . 4 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x x e. dom { A } )
4	2, 3	sylnib 677	. . 3 |- ( (/) e. A -> -. E. x x e. dom { A } )
5		alnex 1510	. . 3 |- ( A. x -. x e. dom { A } <-> -. E. x x e. dom { A } )
6	4, 5	sylibr 134	. 2 |- ( (/) e. A -> A. x -. x e. dom { A } )
7		eq0 3456	. 2 |- ( dom { A } = (/) <-> A. x -. x e. dom { A } )
8	6, 7	sylibr 134	1 |- ( (/) e. A -> dom { A } = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   A.wal 1362   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   (/)c0 3437   {csn 3607   X. cxp 4642   dom cdm 4644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4650  df-dm 4654

This theorem is referenced by: (None)