Theorem dmsn0el 5016

Description: The domain of a singleton is empty if the singleton's argument contains the empty set. (Contributed by NM, 15-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
dmsn0el	|- ( (/) e. A -> dom { A } = (/) )

Proof of Theorem dmsn0el

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelelxp 4576	. . . . 5 |- ( A e. ( _V X. _V ) -> -. (/) e. A )
2	1	con2i 617	. . . 4 |- ( (/) e. A -> -. A e. ( _V X. _V ) )
3		dmsnm 5012	. . . 4 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x x e. dom { A } )
4	2, 3	sylnib 666	. . 3 |- ( (/) e. A -> -. E. x x e. dom { A } )
5		alnex 1476	. . 3 |- ( A. x -. x e. dom { A } <-> -. E. x x e. dom { A } )
6	4, 5	sylibr 133	. 2 |- ( (/) e. A -> A. x -. x e. dom { A } )
7		eq0 3386	. 2 |- ( dom { A } = (/) <-> A. x -. x e. dom { A } )
8	6, 7	sylibr 133	1 |- ( (/) e. A -> dom { A } = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   A.wal 1330   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   (/)c0 3368   {csn 3532   X. cxp 4545   dom cdm 4547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-dm 4557

This theorem is referenced by: (None)