Theorem dmsn0el 5234

Description: The domain of a singleton is empty if the singleton's argument contains the empty set. (Contributed by NM, 15-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
dmsn0el	|- ( (/) e. A -> dom { A } = (/) )

Proof of Theorem dmsn0el

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelelxp 4780	. . . . 5 |- ( A e. ( _V X. _V ) -> -. (/) e. A )
2	1	con2i 632	. . . 4 |- ( (/) e. A -> -. A e. ( _V X. _V ) )
3		dmsnm 5230	. . . 4 |- ( A e. ( _V X. _V ) <-> E. x x e. dom { A } )
4	2, 3	sylnib 683	. . 3 |- ( (/) e. A -> -. E. x x e. dom { A } )
5		alnex 1548	. . 3 |- ( A. x -. x e. dom { A } <-> -. E. x x e. dom { A } )
6	4, 5	sylibr 134	. 2 |- ( (/) e. A -> A. x -. x e. dom { A } )
7		eq0 3529	. 2 |- ( dom { A } = (/) <-> A. x -. x e. dom { A } )
8	6, 7	sylibr 134	1 |- ( (/) e. A -> dom { A } = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   A.wal 1396   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   (/)c0 3510   {csn 3691   X. cxp 4749   dom cdm 4751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-v 2817  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-br 4112  df-opab 4174  df-xp 4757  df-dm 4761

This theorem is referenced by: (None)