Theorem dmsn0el 5073

Description: The domain of a singleton is empty if the singleton's argument contains the empty set. (Contributed by NM, 15-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
dmsn0el	⊢ (∅ ∈ 𝐴 → dom {𝐴} = ∅)

Proof of Theorem dmsn0el

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelelxp 4633	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (V × V) → ¬ ∅ ∈ 𝐴)
2	1	con2i 617	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ (V × V))
3		dmsnm 5069	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (V × V) ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ dom {𝐴})
4	2, 3	sylnib 666	. . 3 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 → ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ dom {𝐴})
5		alnex 1487	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ dom {𝐴} ↔ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ dom {𝐴})
6	4, 5	sylibr 133	. 2 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 → ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ dom {𝐴})
7		eq0 3427	. 2 ⊢ (dom {𝐴} = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ dom {𝐴})
8	6, 7	sylibr 133	1 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 → dom {𝐴} = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4  ∀wal 1341   = wceq 1343  ∃wex 1480   ∈ wcel 2136  Vcvv 2726  ∅c0 3409  {csn 3576   × cxp 4602  dom cdm 4604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-dm 4614

This theorem is referenced by: (None)