ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dmsn0el GIF version

Theorem dmsn0el 4854
Description: The domain of a singleton is empty if the singleton's argument contains the empty set. (Contributed by NM, 15-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
dmsn0el (∅ ∈ 𝐴 → dom {𝐴} = ∅)

Proof of Theorem dmsn0el
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nelelxp 4429 . . . . 5 (𝐴 ∈ (V × V) → ¬ ∅ ∈ 𝐴)
21con2i 590 . . . 4 (∅ ∈ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ (V × V))
3 dmsnm 4850 . . . 4 (𝐴 ∈ (V × V) ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ dom {𝐴})
42, 3sylnib 634 . . 3 (∅ ∈ 𝐴 → ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ dom {𝐴})
5 alnex 1429 . . 3 (∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ dom {𝐴} ↔ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ dom {𝐴})
64, 5sylibr 132 . 2 (∅ ∈ 𝐴 → ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ dom {𝐴})
7 eq0 3284 . 2 (dom {𝐴} = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ dom {𝐴})
86, 7sylibr 132 1 (∅ ∈ 𝐴 → dom {𝐴} = ∅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wal 1283   = wceq 1285  wex 1422  wcel 1434  Vcvv 2612  c0 3269  {csn 3422   × cxp 4399  dom cdm 4401
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-v 2614  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-br 3812  df-opab 3866  df-xp 4407  df-dm 4411
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator