Theorem dmsn0el 5135

Description: The domain of a singleton is empty if the singleton's argument contains the empty set. (Contributed by NM, 15-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
dmsn0el	⊢ (∅ ∈ 𝐴 → dom {𝐴} = ∅)

Proof of Theorem dmsn0el

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelelxp 4688	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (V × V) → ¬ ∅ ∈ 𝐴)
2	1	con2i 628	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ (V × V))
3		dmsnm 5131	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (V × V) ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ dom {𝐴})
4	2, 3	sylnib 677	. . 3 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 → ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ dom {𝐴})
5		alnex 1510	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ dom {𝐴} ↔ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ dom {𝐴})
6	4, 5	sylibr 134	. 2 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 → ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ dom {𝐴})
7		eq0 3465	. 2 ⊢ (dom {𝐴} = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ dom {𝐴})
8	6, 7	sylibr 134	1 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 → dom {𝐴} = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4  ∀wal 1362   = wceq 1364  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760  ∅c0 3446  {csn 3618   × cxp 4657  dom cdm 4659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-dm 4669

This theorem is referenced by: (None)