Theorem dmsn0el 4966

Description: The domain of a singleton is empty if the singleton's argument contains the empty set. (Contributed by NM, 15-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
dmsn0el	⊢ (∅ ∈ 𝐴 → dom {𝐴} = ∅)

Proof of Theorem dmsn0el

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelelxp 4528	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (V × V) → ¬ ∅ ∈ 𝐴)
2	1	con2i 599	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ (V × V))
3		dmsnm 4962	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (V × V) ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ dom {𝐴})
4	2, 3	sylnib 648	. . 3 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 → ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ dom {𝐴})
5		alnex 1458	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ dom {𝐴} ↔ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ dom {𝐴})
6	4, 5	sylibr 133	. 2 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 → ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ dom {𝐴})
7		eq0 3347	. 2 ⊢ (dom {𝐴} = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ dom {𝐴})
8	6, 7	sylibr 133	1 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 → dom {𝐴} = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4  ∀wal 1312   = wceq 1314  ∃wex 1451   ∈ wcel 1463  Vcvv 2657  ∅c0 3329  {csn 3493   × cxp 4497  dom cdm 4499

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-v 2659  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-br 3896  df-opab 3950  df-xp 4505  df-dm 4509

This theorem is referenced by: (None)