Theorem dmsn0el 5213

Description: The domain of a singleton is empty if the singleton's argument contains the empty set. (Contributed by NM, 15-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
dmsn0el	⊢ (∅ ∈ 𝐴 → dom {𝐴} = ∅)

Proof of Theorem dmsn0el

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelelxp 4760	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (V × V) → ¬ ∅ ∈ 𝐴)
2	1	con2i 632	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ (V × V))
3		dmsnm 5209	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (V × V) ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ dom {𝐴})
4	2, 3	sylnib 683	. . 3 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 → ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ dom {𝐴})
5		alnex 1548	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ dom {𝐴} ↔ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ dom {𝐴})
6	4, 5	sylibr 134	. 2 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 → ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ dom {𝐴})
7		eq0 3515	. 2 ⊢ (dom {𝐴} = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ dom {𝐴})
8	6, 7	sylibr 134	1 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 → dom {𝐴} = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4  ∀wal 1396   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803  ∅c0 3496  {csn 3673   × cxp 4729  dom cdm 4731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-dm 4741

This theorem is referenced by: (None)