Theorem cnvsn0 5066

Description: The converse of the singleton of the empty set is empty. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnvsn0	|- `' { (/) } = (/)

Proof of Theorem cnvsn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdm4 4790	. . 3 |- dom { (/) } = ran `' { (/) }
2		dmsn0 5065	. . 3 |- dom { (/) } = (/)
3	1, 2	eqtr3i 2187	. 2 |- ran `' { (/) } = (/)
4		relcnv 4976	. . 3 |- Rel `' { (/) }
5		relrn0 4860	. . 3 |- ( Rel `' { (/) } -> ( `' { (/) } = (/) <-> ran `' { (/) } = (/) ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( `' { (/) } = (/) <-> ran `' { (/) } = (/) )
7	3, 6	mpbir 145	1 |- `' { (/) } = (/)

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1342   (/)c0 3404   {csn 3570   `'ccnv 4597   dom cdm 4598   ran crn 4599   Rel wrel 4603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-br 3977  df-opab 4038  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-dm 4608  df-rn 4609

This theorem is referenced by:  brtpos0  6211  tpostpos  6223