Theorem cnvsn0 5099

Description: The converse of the singleton of the empty set is empty. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnvsn0	|- `' { (/) } = (/)

Proof of Theorem cnvsn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdm4 4821	. . 3 |- dom { (/) } = ran `' { (/) }
2		dmsn0 5098	. . 3 |- dom { (/) } = (/)
3	1, 2	eqtr3i 2200	. 2 |- ran `' { (/) } = (/)
4		relcnv 5008	. . 3 |- Rel `' { (/) }
5		relrn0 4891	. . 3 |- ( Rel `' { (/) } -> ( `' { (/) } = (/) <-> ran `' { (/) } = (/) ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( `' { (/) } = (/) <-> ran `' { (/) } = (/) )
7	3, 6	mpbir 146	1 |- `' { (/) } = (/)

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1353   (/)c0 3424   {csn 3594   `'ccnv 4627   dom cdm 4628   ran crn 4629   Rel wrel 4633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-dm 4638  df-rn 4639

This theorem is referenced by:  brtpos0  6255  tpostpos  6267