Theorem dmtpop 5219

Description: The domain of an unordered triple of ordered pairs. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmsnop.1	|- B e. _V
dmprop.1	|- D e. _V
dmtpop.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
dmtpop	|- dom { <. A , B >. , <. C , D >. , <. E , F >. } = { A , C , E }

Proof of Theorem dmtpop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3681	. . . 4 |- { <. A , B >. , <. C , D >. , <. E , F >. } = ( { <. A , B >. , <. C , D >. } u. { <. E , F >. } )
2	1	dmeqi 4938	. . 3 |- dom { <. A , B >. , <. C , D >. , <. E , F >. } = dom ( { <. A , B >. , <. C , D >. } u. { <. E , F >. } )
3		dmun 4944	. . 3 |- dom ( { <. A , B >. , <. C , D >. } u. { <. E , F >. } ) = ( dom { <. A , B >. , <. C , D >. } u. dom { <. E , F >. } )
4		dmsnop.1	. . . . 5 |- B e. _V
5		dmprop.1	. . . . 5 |- D e. _V
6	4, 5	dmprop 5218	. . . 4 |- dom { <. A , B >. , <. C , D >. } = { A , C }
7		dmtpop.1	. . . . 5 |- F e. _V
8	7	dmsnop 5217	. . . 4 |- dom { <. E , F >. } = { E }
9	6, 8	uneq12i 3361	. . 3 |- ( dom { <. A , B >. , <. C , D >. } u. dom { <. E , F >. } ) = ( { A , C } u. { E } )
10	2, 3, 9	3eqtri 2256	. 2 |- dom { <. A , B >. , <. C , D >. , <. E , F >. } = ( { A , C } u. { E } )
11		df-tp 3681	. 2 |- { A , C , E } = ( { A , C } u. { E } )
12	10, 11	eqtr4i 2255	1 |- dom { <. A , B >. , <. C , D >. , <. E , F >. } = { A , C , E }

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   u. cun 3199   {csn 3673   {cpr 3674   {ctp 3675   <.cop 3676   dom cdm 4731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-br 4094  df-dm 4741

This theorem is referenced by:  fntp  5394