Theorem dmtpop 5141

Description: The domain of an unordered triple of ordered pairs. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmsnop.1	|- B e. _V
dmprop.1	|- D e. _V
dmtpop.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
dmtpop	|- dom { <. A , B >. , <. C , D >. , <. E , F >. } = { A , C , E }

Proof of Theorem dmtpop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3626	. . . 4 |- { <. A , B >. , <. C , D >. , <. E , F >. } = ( { <. A , B >. , <. C , D >. } u. { <. E , F >. } )
2	1	dmeqi 4863	. . 3 |- dom { <. A , B >. , <. C , D >. , <. E , F >. } = dom ( { <. A , B >. , <. C , D >. } u. { <. E , F >. } )
3		dmun 4869	. . 3 |- dom ( { <. A , B >. , <. C , D >. } u. { <. E , F >. } ) = ( dom { <. A , B >. , <. C , D >. } u. dom { <. E , F >. } )
4		dmsnop.1	. . . . 5 |- B e. _V
5		dmprop.1	. . . . 5 |- D e. _V
6	4, 5	dmprop 5140	. . . 4 |- dom { <. A , B >. , <. C , D >. } = { A , C }
7		dmtpop.1	. . . . 5 |- F e. _V
8	7	dmsnop 5139	. . . 4 |- dom { <. E , F >. } = { E }
9	6, 8	uneq12i 3311	. . 3 |- ( dom { <. A , B >. , <. C , D >. } u. dom { <. E , F >. } ) = ( { A , C } u. { E } )
10	2, 3, 9	3eqtri 2218	. 2 |- dom { <. A , B >. , <. C , D >. , <. E , F >. } = ( { A , C } u. { E } )
11		df-tp 3626	. 2 |- { A , C , E } = ( { A , C } u. { E } )
12	10, 11	eqtr4i 2217	1 |- dom { <. A , B >. , <. C , D >. , <. E , F >. } = { A , C , E }

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   u. cun 3151   {csn 3618   {cpr 3619   {ctp 3620   <.cop 3621   dom cdm 4659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-br 4030  df-dm 4669

This theorem is referenced by:  fntp  5311