Theorem dmtpop 5159

Description: The domain of an unordered triple of ordered pairs. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmsnop.1	|- B e. _V
dmprop.1	|- D e. _V
dmtpop.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
dmtpop	|- dom { <. A , B >. , <. C , D >. , <. E , F >. } = { A , C , E }

Proof of Theorem dmtpop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3641	. . . 4 |- { <. A , B >. , <. C , D >. , <. E , F >. } = ( { <. A , B >. , <. C , D >. } u. { <. E , F >. } )
2	1	dmeqi 4880	. . 3 |- dom { <. A , B >. , <. C , D >. , <. E , F >. } = dom ( { <. A , B >. , <. C , D >. } u. { <. E , F >. } )
3		dmun 4886	. . 3 |- dom ( { <. A , B >. , <. C , D >. } u. { <. E , F >. } ) = ( dom { <. A , B >. , <. C , D >. } u. dom { <. E , F >. } )
4		dmsnop.1	. . . . 5 |- B e. _V
5		dmprop.1	. . . . 5 |- D e. _V
6	4, 5	dmprop 5158	. . . 4 |- dom { <. A , B >. , <. C , D >. } = { A , C }
7		dmtpop.1	. . . . 5 |- F e. _V
8	7	dmsnop 5157	. . . 4 |- dom { <. E , F >. } = { E }
9	6, 8	uneq12i 3325	. . 3 |- ( dom { <. A , B >. , <. C , D >. } u. dom { <. E , F >. } ) = ( { A , C } u. { E } )
10	2, 3, 9	3eqtri 2230	. 2 |- dom { <. A , B >. , <. C , D >. , <. E , F >. } = ( { A , C } u. { E } )
11		df-tp 3641	. 2 |- { A , C , E } = ( { A , C } u. { E } )
12	10, 11	eqtr4i 2229	1 |- dom { <. A , B >. , <. C , D >. , <. E , F >. } = { A , C , E }

Syntax hints:   = wceq 1373   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   u. cun 3164   {csn 3633   {cpr 3634   {ctp 3635   <.cop 3636   dom cdm 4676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-tp 3641  df-op 3642  df-br 4046  df-dm 4686

This theorem is referenced by:  fntp  5332