Theorem dmtpop 4950

Description: The domain of an unordered triple of ordered pairs. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmsnop.1	|- B e. _V
dmprop.1	|- D e. _V
dmtpop.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
dmtpop	|- dom { <. A , B >. , <. C , D >. , <. E , F >. } = { A , C , E }

Proof of Theorem dmtpop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3482	. . . 4 |- { <. A , B >. , <. C , D >. , <. E , F >. } = ( { <. A , B >. , <. C , D >. } u. { <. E , F >. } )
2	1	dmeqi 4678	. . 3 |- dom { <. A , B >. , <. C , D >. , <. E , F >. } = dom ( { <. A , B >. , <. C , D >. } u. { <. E , F >. } )
3		dmun 4684	. . 3 |- dom ( { <. A , B >. , <. C , D >. } u. { <. E , F >. } ) = ( dom { <. A , B >. , <. C , D >. } u. dom { <. E , F >. } )
4		dmsnop.1	. . . . 5 |- B e. _V
5		dmprop.1	. . . . 5 |- D e. _V
6	4, 5	dmprop 4949	. . . 4 |- dom { <. A , B >. , <. C , D >. } = { A , C }
7		dmtpop.1	. . . . 5 |- F e. _V
8	7	dmsnop 4948	. . . 4 |- dom { <. E , F >. } = { E }
9	6, 8	uneq12i 3175	. . 3 |- ( dom { <. A , B >. , <. C , D >. } u. dom { <. E , F >. } ) = ( { A , C } u. { E } )
10	2, 3, 9	3eqtri 2124	. 2 |- dom { <. A , B >. , <. C , D >. , <. E , F >. } = ( { A , C } u. { E } )
11		df-tp 3482	. 2 |- { A , C , E } = ( { A , C } u. { E } )
12	10, 11	eqtr4i 2123	1 |- dom { <. A , B >. , <. C , D >. , <. E , F >. } = { A , C , E }

Syntax hints:   = wceq 1299   e. wcel 1448   _Vcvv 2641   u. cun 3019   {csn 3474   {cpr 3475   {ctp 3476   <.cop 3477   dom cdm 4477

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-v 2643  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-tp 3482  df-op 3483  df-br 3876  df-dm 4487

This theorem is referenced by:  fntp  5116