Theorem dmtpop 5009

Description: The domain of an unordered triple of ordered pairs. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmsnop.1	|- B e. _V
dmprop.1	|- D e. _V
dmtpop.1	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
dmtpop	|- dom { <. A , B >. , <. C , D >. , <. E , F >. } = { A , C , E }

Proof of Theorem dmtpop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3530	. . . 4 |- { <. A , B >. , <. C , D >. , <. E , F >. } = ( { <. A , B >. , <. C , D >. } u. { <. E , F >. } )
2	1	dmeqi 4735	. . 3 |- dom { <. A , B >. , <. C , D >. , <. E , F >. } = dom ( { <. A , B >. , <. C , D >. } u. { <. E , F >. } )
3		dmun 4741	. . 3 |- dom ( { <. A , B >. , <. C , D >. } u. { <. E , F >. } ) = ( dom { <. A , B >. , <. C , D >. } u. dom { <. E , F >. } )
4		dmsnop.1	. . . . 5 |- B e. _V
5		dmprop.1	. . . . 5 |- D e. _V
6	4, 5	dmprop 5008	. . . 4 |- dom { <. A , B >. , <. C , D >. } = { A , C }
7		dmtpop.1	. . . . 5 |- F e. _V
8	7	dmsnop 5007	. . . 4 |- dom { <. E , F >. } = { E }
9	6, 8	uneq12i 3223	. . 3 |- ( dom { <. A , B >. , <. C , D >. } u. dom { <. E , F >. } ) = ( { A , C } u. { E } )
10	2, 3, 9	3eqtri 2162	. 2 |- dom { <. A , B >. , <. C , D >. , <. E , F >. } = ( { A , C } u. { E } )
11		df-tp 3530	. 2 |- { A , C , E } = ( { A , C } u. { E } )
12	10, 11	eqtr4i 2161	1 |- dom { <. A , B >. , <. C , D >. , <. E , F >. } = { A , C , E }

Syntax hints:   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2681   u. cun 3064   {csn 3522   {cpr 3523   {ctp 3524   <.cop 3525   dom cdm 4534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-tp 3530  df-op 3531  df-br 3925  df-dm 4544

This theorem is referenced by:  fntp  5175