Theorem fntp 5057

Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fntp.1	|- A e. _V
fntp.2	|- B e. _V
fntp.3	|- C e. _V
fntp.4	|- D e. _V
fntp.5	|- E e. _V
fntp.6	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
fntp	|- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } Fn { A , B , C } )

Proof of Theorem fntp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fntp.1	. . 3 |- A e. _V
2		fntp.2	. . 3 |- B e. _V
3		fntp.3	. . 3 |- C e. _V
4		fntp.4	. . 3 |- D e. _V
5		fntp.5	. . 3 |- E e. _V
6		fntp.6	. . 3 |- F e. _V
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	funtp 5053	. 2 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> Fun { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } )
8	4, 5, 6	dmtpop 4893	. . 3 |- dom { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } = { A , B , C }
9	8	a1i 9	. 2 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> dom { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } = { A , B , C } )
10		df-fn 5005	. 2 |- ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } Fn { A , B , C } <-> ( Fun { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } /\ dom { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } = { A , B , C } ) )
11	7, 9, 10	sylanbrc 408	1 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } Fn { A , B , C } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 924   = wceq 1289   e. wcel 1438   =/= wne 2255   _Vcvv 2619   {ctp 3443   <.cop 3444   dom cdm 4428   Fun wfun 4996   Fn wfn 4997

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-tp 3449  df-op 3450  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-fun 5004  df-fn 5005

This theorem is referenced by: (None)