Theorem fntp 5116

Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fntp.1	|- A e. _V
fntp.2	|- B e. _V
fntp.3	|- C e. _V
fntp.4	|- D e. _V
fntp.5	|- E e. _V
fntp.6	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
fntp	|- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } Fn { A , B , C } )

Proof of Theorem fntp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fntp.1	. . 3 |- A e. _V
2		fntp.2	. . 3 |- B e. _V
3		fntp.3	. . 3 |- C e. _V
4		fntp.4	. . 3 |- D e. _V
5		fntp.5	. . 3 |- E e. _V
6		fntp.6	. . 3 |- F e. _V
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	funtp 5112	. 2 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> Fun { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } )
8	4, 5, 6	dmtpop 4950	. . 3 |- dom { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } = { A , B , C }
9	8	a1i 9	. 2 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> dom { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } = { A , B , C } )
10		df-fn 5062	. 2 |- ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } Fn { A , B , C } <-> ( Fun { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } /\ dom { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } = { A , B , C } ) )
11	7, 9, 10	sylanbrc 411	1 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } Fn { A , B , C } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 930   = wceq 1299   e. wcel 1448   =/= wne 2267   _Vcvv 2641   {ctp 3476   <.cop 3477   dom cdm 4477   Fun wfun 5053   Fn wfn 5054

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-v 2643  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-tp 3482  df-op 3483  df-br 3876  df-opab 3930  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-fun 5061  df-fn 5062

This theorem is referenced by: (None)