Theorem fntp 5175

Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fntp.1	|- A e. _V
fntp.2	|- B e. _V
fntp.3	|- C e. _V
fntp.4	|- D e. _V
fntp.5	|- E e. _V
fntp.6	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
fntp	|- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } Fn { A , B , C } )

Proof of Theorem fntp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fntp.1	. . 3 |- A e. _V
2		fntp.2	. . 3 |- B e. _V
3		fntp.3	. . 3 |- C e. _V
4		fntp.4	. . 3 |- D e. _V
5		fntp.5	. . 3 |- E e. _V
6		fntp.6	. . 3 |- F e. _V
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	funtp 5171	. 2 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> Fun { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } )
8	4, 5, 6	dmtpop 5009	. . 3 |- dom { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } = { A , B , C }
9	8	a1i 9	. 2 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> dom { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } = { A , B , C } )
10		df-fn 5121	. 2 |- ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } Fn { A , B , C } <-> ( Fun { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } /\ dom { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } = { A , B , C } ) )
11	7, 9, 10	sylanbrc 413	1 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } Fn { A , B , C } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2306   _Vcvv 2681   {ctp 3524   <.cop 3525   dom cdm 4534   Fun wfun 5112   Fn wfn 5113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-tp 3530  df-op 3531  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-fun 5120  df-fn 5121

This theorem is referenced by: (None)