Theorem fntp 5312

Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fntp.1	|- A e. _V
fntp.2	|- B e. _V
fntp.3	|- C e. _V
fntp.4	|- D e. _V
fntp.5	|- E e. _V
fntp.6	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
fntp	|- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } Fn { A , B , C } )

Proof of Theorem fntp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fntp.1	. . 3 |- A e. _V
2		fntp.2	. . 3 |- B e. _V
3		fntp.3	. . 3 |- C e. _V
4		fntp.4	. . 3 |- D e. _V
5		fntp.5	. . 3 |- E e. _V
6		fntp.6	. . 3 |- F e. _V
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	funtp 5308	. 2 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> Fun { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } )
8	4, 5, 6	dmtpop 5142	. . 3 |- dom { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } = { A , B , C }
9	8	a1i 9	. 2 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> dom { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } = { A , B , C } )
10		df-fn 5258	. 2 |- ( { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } Fn { A , B , C } <-> ( Fun { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } /\ dom { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } = { A , B , C } ) )
11	7, 9, 10	sylanbrc 417	1 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> { <. A , D >. , <. B , E >. , <. C , F >. } Fn { A , B , C } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   _Vcvv 2760   {ctp 3621   <.cop 3622   dom cdm 4660   Fun wfun 5249   Fn wfn 5250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-tp 3627  df-op 3628  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-fun 5257  df-fn 5258

This theorem is referenced by: (None)