Theorem cnvcnvsn 5239

Description: Double converse of a singleton of an ordered pair. (Unlike cnvsn 5245, this does not need any sethood assumptions on A and B.) (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnvcnvsn	|- `' `' { <. A , B >. } = `' { <. B , A >. }

Proof of Theorem cnvcnvsn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5140	. 2 |- Rel `' `' { <. A , B >. }
2		relcnv 5140	. 2 |- Rel `' { <. B , A >. }
3		vex 2816	. . . 4 |- y e. _V
4		vex 2816	. . . 4 |- x e. _V
5	3, 4	opelcnv 4937	. . 3 |- ( <. y , x >. e. `' `' { <. A , B >. } <-> <. x , y >. e. `' { <. A , B >. } )
6		ancom 266	. . . . . 6 |- ( ( y = A /\ x = B ) <-> ( x = B /\ y = A ) )
7	3, 4	opth 4353	. . . . . 6 |- ( <. y , x >. = <. A , B >. <-> ( y = A /\ x = B ) )
8	4, 3	opth 4353	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. = <. B , A >. <-> ( x = B /\ y = A ) )
9	6, 7, 8	3bitr4i 212	. . . . 5 |- ( <. y , x >. = <. A , B >. <-> <. x , y >. = <. B , A >. )
10	3, 4	opex 4345	. . . . . 6 |- <. y , x >. e. _V
11	10	elsn 3705	. . . . 5 |- ( <. y , x >. e. { <. A , B >. } <-> <. y , x >. = <. A , B >. )
12	4, 3	opex 4345	. . . . . 6 |- <. x , y >. e. _V
13	12	elsn 3705	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. B , A >. } <-> <. x , y >. = <. B , A >. )
14	9, 11, 13	3bitr4i 212	. . . 4 |- ( <. y , x >. e. { <. A , B >. } <-> <. x , y >. e. { <. B , A >. } )
15	4, 3	opelcnv 4937	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. `' { <. A , B >. } <-> <. y , x >. e. { <. A , B >. } )
16	3, 4	opelcnv 4937	. . . 4 |- ( <. y , x >. e. `' { <. B , A >. } <-> <. x , y >. e. { <. B , A >. } )
17	14, 15, 16	3bitr4i 212	. . 3 |- ( <. x , y >. e. `' { <. A , B >. } <-> <. y , x >. e. `' { <. B , A >. } )
18	5, 17	bitri 184	. 2 |- ( <. y , x >. e. `' `' { <. A , B >. } <-> <. y , x >. e. `' { <. B , A >. } )
19	1, 2, 18	eqrelriiv 4844	1 |- `' `' { <. A , B >. } = `' { <. B , A >. }

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   {csn 3689   <.cop 3692   `'ccnv 4748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757

This theorem is referenced by:  rnsnopg  5241  cnvsn  5245