Theorem cnvcnvsn 5023

Description: Double converse of a singleton of an ordered pair. (Unlike cnvsn 5029, this does not need any sethood assumptions on A and B.) (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnvcnvsn	|- `' `' { <. A , B >. } = `' { <. B , A >. }

Proof of Theorem cnvcnvsn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 4925	. 2 |- Rel `' `' { <. A , B >. }
2		relcnv 4925	. 2 |- Rel `' { <. B , A >. }
3		vex 2692	. . . 4 |- y e. _V
4		vex 2692	. . . 4 |- x e. _V
5	3, 4	opelcnv 4729	. . 3 |- ( <. y , x >. e. `' `' { <. A , B >. } <-> <. x , y >. e. `' { <. A , B >. } )
6		ancom 264	. . . . . 6 |- ( ( y = A /\ x = B ) <-> ( x = B /\ y = A ) )
7	3, 4	opth 4167	. . . . . 6 |- ( <. y , x >. = <. A , B >. <-> ( y = A /\ x = B ) )
8	4, 3	opth 4167	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. = <. B , A >. <-> ( x = B /\ y = A ) )
9	6, 7, 8	3bitr4i 211	. . . . 5 |- ( <. y , x >. = <. A , B >. <-> <. x , y >. = <. B , A >. )
10	3, 4	opex 4159	. . . . . 6 |- <. y , x >. e. _V
11	10	elsn 3548	. . . . 5 |- ( <. y , x >. e. { <. A , B >. } <-> <. y , x >. = <. A , B >. )
12	4, 3	opex 4159	. . . . . 6 |- <. x , y >. e. _V
13	12	elsn 3548	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. B , A >. } <-> <. x , y >. = <. B , A >. )
14	9, 11, 13	3bitr4i 211	. . . 4 |- ( <. y , x >. e. { <. A , B >. } <-> <. x , y >. e. { <. B , A >. } )
15	4, 3	opelcnv 4729	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. `' { <. A , B >. } <-> <. y , x >. e. { <. A , B >. } )
16	3, 4	opelcnv 4729	. . . 4 |- ( <. y , x >. e. `' { <. B , A >. } <-> <. x , y >. e. { <. B , A >. } )
17	14, 15, 16	3bitr4i 211	. . 3 |- ( <. x , y >. e. `' { <. A , B >. } <-> <. y , x >. e. `' { <. B , A >. } )
18	5, 17	bitri 183	. 2 |- ( <. y , x >. e. `' `' { <. A , B >. } <-> <. y , x >. e. `' { <. B , A >. } )
19	1, 2, 18	eqrelriiv 4641	1 |- `' `' { <. A , B >. } = `' { <. B , A >. }

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   {csn 3532   <.cop 3535   `'ccnv 4546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555

This theorem is referenced by:  rnsnopg  5025  cnvsn  5029