Theorem cnvcnvsn 5213

Description: Double converse of a singleton of an ordered pair. (Unlike cnvsn 5219, this does not need any sethood assumptions on A and B.) (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnvcnvsn	|- `' `' { <. A , B >. } = `' { <. B , A >. }

Proof of Theorem cnvcnvsn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5114	. 2 |- Rel `' `' { <. A , B >. }
2		relcnv 5114	. 2 |- Rel `' { <. B , A >. }
3		vex 2805	. . . 4 |- y e. _V
4		vex 2805	. . . 4 |- x e. _V
5	3, 4	opelcnv 4912	. . 3 |- ( <. y , x >. e. `' `' { <. A , B >. } <-> <. x , y >. e. `' { <. A , B >. } )
6		ancom 266	. . . . . 6 |- ( ( y = A /\ x = B ) <-> ( x = B /\ y = A ) )
7	3, 4	opth 4329	. . . . . 6 |- ( <. y , x >. = <. A , B >. <-> ( y = A /\ x = B ) )
8	4, 3	opth 4329	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. = <. B , A >. <-> ( x = B /\ y = A ) )
9	6, 7, 8	3bitr4i 212	. . . . 5 |- ( <. y , x >. = <. A , B >. <-> <. x , y >. = <. B , A >. )
10	3, 4	opex 4321	. . . . . 6 |- <. y , x >. e. _V
11	10	elsn 3685	. . . . 5 |- ( <. y , x >. e. { <. A , B >. } <-> <. y , x >. = <. A , B >. )
12	4, 3	opex 4321	. . . . . 6 |- <. x , y >. e. _V
13	12	elsn 3685	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. B , A >. } <-> <. x , y >. = <. B , A >. )
14	9, 11, 13	3bitr4i 212	. . . 4 |- ( <. y , x >. e. { <. A , B >. } <-> <. x , y >. e. { <. B , A >. } )
15	4, 3	opelcnv 4912	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. `' { <. A , B >. } <-> <. y , x >. e. { <. A , B >. } )
16	3, 4	opelcnv 4912	. . . 4 |- ( <. y , x >. e. `' { <. B , A >. } <-> <. x , y >. e. { <. B , A >. } )
17	14, 15, 16	3bitr4i 212	. . 3 |- ( <. x , y >. e. `' { <. A , B >. } <-> <. y , x >. e. `' { <. B , A >. } )
18	5, 17	bitri 184	. 2 |- ( <. y , x >. e. `' `' { <. A , B >. } <-> <. y , x >. e. `' { <. B , A >. } )
19	1, 2, 18	eqrelriiv 4820	1 |- `' `' { <. A , B >. } = `' { <. B , A >. }

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   {csn 3669   <.cop 3672   `'ccnv 4724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733

This theorem is referenced by:  rnsnopg  5215  cnvsn  5219