Theorem cnvcnvsn 5117

Description: Double converse of a singleton of an ordered pair. (Unlike cnvsn 5123, this does not need any sethood assumptions on A and B.) (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnvcnvsn	|- `' `' { <. A , B >. } = `' { <. B , A >. }

Proof of Theorem cnvcnvsn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5018	. 2 |- Rel `' `' { <. A , B >. }
2		relcnv 5018	. 2 |- Rel `' { <. B , A >. }
3		vex 2752	. . . 4 |- y e. _V
4		vex 2752	. . . 4 |- x e. _V
5	3, 4	opelcnv 4821	. . 3 |- ( <. y , x >. e. `' `' { <. A , B >. } <-> <. x , y >. e. `' { <. A , B >. } )
6		ancom 266	. . . . . 6 |- ( ( y = A /\ x = B ) <-> ( x = B /\ y = A ) )
7	3, 4	opth 4249	. . . . . 6 |- ( <. y , x >. = <. A , B >. <-> ( y = A /\ x = B ) )
8	4, 3	opth 4249	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. = <. B , A >. <-> ( x = B /\ y = A ) )
9	6, 7, 8	3bitr4i 212	. . . . 5 |- ( <. y , x >. = <. A , B >. <-> <. x , y >. = <. B , A >. )
10	3, 4	opex 4241	. . . . . 6 |- <. y , x >. e. _V
11	10	elsn 3620	. . . . 5 |- ( <. y , x >. e. { <. A , B >. } <-> <. y , x >. = <. A , B >. )
12	4, 3	opex 4241	. . . . . 6 |- <. x , y >. e. _V
13	12	elsn 3620	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. { <. B , A >. } <-> <. x , y >. = <. B , A >. )
14	9, 11, 13	3bitr4i 212	. . . 4 |- ( <. y , x >. e. { <. A , B >. } <-> <. x , y >. e. { <. B , A >. } )
15	4, 3	opelcnv 4821	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. `' { <. A , B >. } <-> <. y , x >. e. { <. A , B >. } )
16	3, 4	opelcnv 4821	. . . 4 |- ( <. y , x >. e. `' { <. B , A >. } <-> <. x , y >. e. { <. B , A >. } )
17	14, 15, 16	3bitr4i 212	. . 3 |- ( <. x , y >. e. `' { <. A , B >. } <-> <. y , x >. e. `' { <. B , A >. } )
18	5, 17	bitri 184	. 2 |- ( <. y , x >. e. `' `' { <. A , B >. } <-> <. y , x >. e. `' { <. B , A >. } )
19	1, 2, 18	eqrelriiv 4732	1 |- `' `' { <. A , B >. } = `' { <. B , A >. }

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1363   e. wcel 2158   {csn 3604   <.cop 3607   `'ccnv 4637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-br 4016  df-opab 4077  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646

This theorem is referenced by:  rnsnopg  5119  cnvsn  5123