Theorem elsn 3462

Description: There is exactly one element in a singleton. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 15. (Contributed by NM, 13-Sep-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
elsn.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
elsn	|- ( A e. { B } <-> A = B )

Proof of Theorem elsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsn.1	. 2 |- A e. _V
2		elsng 3461	. 2 |- ( A e. _V -> ( A e. { B } <-> A = B ) )
3	1, 2	ax-mp 7	1 |- ( A e. { B } <-> A = B )

Syntax hints:   <-> wb 103   = wceq 1289   e. wcel 1438   _Vcvv 2619   {csn 3446

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-v 2621  df-sn 3452

This theorem is referenced by:  velsn  3463  sneqr  3604  onsucelsucexmid  4346  ordsoexmid  4378  opthprc  4489  dmsnm  4896  dmsnopg  4902  cnvcnvsn  4907  sniota  5007  fsn  5469  eusvobj2  5638  mapdm0  6420  djulclb  6747  opelreal  7365