Theorem eusvobj2 5986

Description: Specify the same property in two ways when class B ( y ) is single-valued. (Contributed by NM, 1-Nov-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
eusvobj1.1	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
eusvobj2	|- ( E! x E. y e. A x = B -> ( E. y e. A x = B <-> A. y e. A x = B ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B

Allowed substitution hint:   B( y)

Proof of Theorem eusvobj2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euabsn2 3735	. . 3 |- ( E! x E. y e. A x = B <-> E. z { x | E. y e. A x = B } = { z } )
2		eleq2 2293	. . . . . 6 |- ( { x | E. y e. A x = B } = { z } -> ( x e. { x | E. y e. A x = B } <-> x e. { z } ) )
3		abid 2217	. . . . . 6 |- ( x e. { x | E. y e. A x = B } <-> E. y e. A x = B )
4		velsn 3683	. . . . . 6 |- ( x e. { z } <-> x = z )
5	2, 3, 4	3bitr3g 222	. . . . 5 |- ( { x | E. y e. A x = B } = { z } -> ( E. y e. A x = B <-> x = z ) )
6		nfre1 2573	. . . . . . . . 9 |- F/ y E. y e. A x = B
7	6	nfab 2377	. . . . . . . 8 |- F/_ y { x | E. y e. A x = B }
8	7	nfeq1 2382	. . . . . . 7 |- F/ y { x | E. y e. A x = B } = { z }
9		eusvobj1.1	. . . . . . . . 9 |- B e. _V
10	9	elabrex 5880	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> B e. { x | E. y e. A x = B } )
11		eleq2 2293	. . . . . . . . 9 |- ( { x | E. y e. A x = B } = { z } -> ( B e. { x | E. y e. A x = B } <-> B e. { z } ) )
12	9	elsn 3682	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. { z } <-> B = z )
13		eqcom 2231	. . . . . . . . . 10 |- ( B = z <-> z = B )
14	12, 13	bitri 184	. . . . . . . . 9 |- ( B e. { z } <-> z = B )
15	11, 14	bitrdi 196	. . . . . . . 8 |- ( { x | E. y e. A x = B } = { z } -> ( B e. { x | E. y e. A x = B } <-> z = B ) )
16	10, 15	imbitrid 154	. . . . . . 7 |- ( { x | E. y e. A x = B } = { z } -> ( y e. A -> z = B ) )
17	8, 16	ralrimi 2601	. . . . . 6 |- ( { x | E. y e. A x = B } = { z } -> A. y e. A z = B )
18		eqeq1 2236	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( x = B <-> z = B ) )
19	18	ralbidv 2530	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( A. y e. A x = B <-> A. y e. A z = B ) )
20	17, 19	syl5ibrcom 157	. . . . 5 |- ( { x | E. y e. A x = B } = { z } -> ( x = z -> A. y e. A x = B ) )
21	5, 20	sylbid 150	. . . 4 |- ( { x | E. y e. A x = B } = { z } -> ( E. y e. A x = B -> A. y e. A x = B ) )
22	21	exlimiv 1644	. . 3 |- ( E. z { x | E. y e. A x = B } = { z } -> ( E. y e. A x = B -> A. y e. A x = B ) )
23	1, 22	sylbi 121	. 2 |- ( E! x E. y e. A x = B -> ( E. y e. A x = B -> A. y e. A x = B ) )
24		euex 2107	. . 3 |- ( E! x E. y e. A x = B -> E. x E. y e. A x = B )
25		rexm 3591	. . . 4 |- ( E. y e. A x = B -> E. y y e. A )
26	25	exlimiv 1644	. . 3 |- ( E. x E. y e. A x = B -> E. y y e. A )
27		r19.2m 3578	. . . 4 |- ( ( E. y y e. A /\ A. y e. A x = B ) -> E. y e. A x = B )
28	27	ex 115	. . 3 |- ( E. y y e. A -> ( A. y e. A x = B -> E. y e. A x = B ) )
29	24, 26, 28	3syl 17	. 2 |- ( E! x E. y e. A x = B -> ( A. y e. A x = B -> E. y e. A x = B ) )
30	23, 29	impbid 129	1 |- ( E! x E. y e. A x = B -> ( E. y e. A x = B <-> A. y e. A x = B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1395   E.wex 1538   E!weu 2077   e. wcel 2200   {cab 2215   A.wral 2508   E.wrex 2509   _Vcvv 2799   {csn 3666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-sn 3672

This theorem is referenced by:  eusvobj1  5987