ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mapdm0 Unicode version

Theorem mapdm0 6561
Description: The empty set is the only map with empty domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.) (Proof shortened by Thierry Arnoux, 3-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
mapdm0  |-  ( B  e.  V  ->  ( B  ^m  (/) )  =  { (/)
} )

Proof of Theorem mapdm0
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4059 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
2 elmapg 6559 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  V  /\  (/) 
e.  _V )  ->  (
f  e.  ( B  ^m  (/) )  <->  f : (/) --> B ) )
31, 2mpan2 422 . . . 4  |-  ( B  e.  V  ->  (
f  e.  ( B  ^m  (/) )  <->  f : (/) --> B ) )
4 f0bi 5319 . . . 4  |-  ( f : (/) --> B  <->  f  =  (/) )
53, 4syl6bb 195 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  (
f  e.  ( B  ^m  (/) )  <->  f  =  (/) ) )
6 vex 2690 . . . 4  |-  f  e. 
_V
76elsn 3544 . . 3  |-  ( f  e.  { (/) }  <->  f  =  (/) )
85, 7syl6bbr 197 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  (
f  e.  ( B  ^m  (/) )  <->  f  e.  {
(/) } ) )
98eqrdv 2138 1  |-  ( B  e.  V  ->  ( B  ^m  (/) )  =  { (/)
} )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    = wceq 1332    e. wcel 1481   _Vcvv 2687   (/)c0 3364   {csn 3528   -->wf 5123  (class class class)co 5778    ^m cmap 6546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4050  ax-nul 4058  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2689  df-sbc 2911  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-nul 3365  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-br 3934  df-opab 3994  df-id 4219  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-rn 4554  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fn 5130  df-f 5131  df-fv 5135  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-map 6548
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator