Theorem mapdm0 6897

Description: The empty set is the only map with empty domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.) (Proof shortened by Thierry Arnoux, 3-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mapdm0	|- ( B e. V -> ( B ^m (/) ) = { (/) } )

Proof of Theorem mapdm0

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4237	. . . . 5 |- (/) e. _V
2		elmapg 6895	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ (/) e. _V ) -> ( f e. ( B ^m (/) ) <-> f : (/) --> B ) )
3	1, 2	mpan2 425	. . . 4 |- ( B e. V -> ( f e. ( B ^m (/) ) <-> f : (/) --> B ) )
4		f0bi 5560	. . . 4 |- ( f : (/) --> B <-> f = (/) )
5	3, 4	bitrdi 196	. . 3 |- ( B e. V -> ( f e. ( B ^m (/) ) <-> f = (/) ) )
6		vex 2816	. . . 4 |- f e. _V
7	6	elsn 3705	. . 3 |- ( f e. { (/) } <-> f = (/) )
8	5, 7	bitr4di 198	. 2 |- ( B e. V -> ( f e. ( B ^m (/) ) <-> f e. { (/) } ) )
9	8	eqrdv 2230	1 |- ( B e. V -> ( B ^m (/) ) = { (/) } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   (/)c0 3508   {csn 3689   -->wf 5348  (class class class)co 6050   ^m cmap 6882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-map 6884

This theorem is referenced by:  mapfi  7214  hashmap  11192