ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mapdm0 Unicode version

Theorem mapdm0 6693
Description: The empty set is the only map with empty domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.) (Proof shortened by Thierry Arnoux, 3-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
mapdm0  |-  ( B  e.  V  ->  ( B  ^m  (/) )  =  { (/)
} )

Proof of Theorem mapdm0
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4148 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
2 elmapg 6691 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  V  /\  (/) 
e.  _V )  ->  (
f  e.  ( B  ^m  (/) )  <->  f : (/) --> B ) )
31, 2mpan2 425 . . . 4  |-  ( B  e.  V  ->  (
f  e.  ( B  ^m  (/) )  <->  f : (/) --> B ) )
4 f0bi 5430 . . . 4  |-  ( f : (/) --> B  <->  f  =  (/) )
53, 4bitrdi 196 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  (
f  e.  ( B  ^m  (/) )  <->  f  =  (/) ) )
6 vex 2755 . . . 4  |-  f  e. 
_V
76elsn 3626 . . 3  |-  ( f  e.  { (/) }  <->  f  =  (/) )
85, 7bitr4di 198 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  (
f  e.  ( B  ^m  (/) )  <->  f  e.  {
(/) } ) )
98eqrdv 2187 1  |-  ( B  e.  V  ->  ( B  ^m  (/) )  =  { (/)
} )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 105    = wceq 1364    e. wcel 2160   _Vcvv 2752   (/)c0 3437   {csn 3610   -->wf 5234  (class class class)co 5900    ^m cmap 6678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-nul 4147  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-br 4022  df-opab 4083  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-fv 5246  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-map 6680
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator