Theorem mapdm0 6831

Description: The empty set is the only map with empty domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.) (Proof shortened by Thierry Arnoux, 3-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mapdm0	|- ( B e. V -> ( B ^m (/) ) = { (/) } )

Proof of Theorem mapdm0

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4216	. . . . 5 |- (/) e. _V
2		elmapg 6829	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ (/) e. _V ) -> ( f e. ( B ^m (/) ) <-> f : (/) --> B ) )
3	1, 2	mpan2 425	. . . 4 |- ( B e. V -> ( f e. ( B ^m (/) ) <-> f : (/) --> B ) )
4		f0bi 5529	. . . 4 |- ( f : (/) --> B <-> f = (/) )
5	3, 4	bitrdi 196	. . 3 |- ( B e. V -> ( f e. ( B ^m (/) ) <-> f = (/) ) )
6		vex 2805	. . . 4 |- f e. _V
7	6	elsn 3685	. . 3 |- ( f e. { (/) } <-> f = (/) )
8	5, 7	bitr4di 198	. 2 |- ( B e. V -> ( f e. ( B ^m (/) ) <-> f e. { (/) } ) )
9	8	eqrdv 2229	1 |- ( B e. V -> ( B ^m (/) ) = { (/) } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   (/)c0 3494   {csn 3669   -->wf 5322  (class class class)co 6017   ^m cmap 6816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-map 6818

This theorem is referenced by: (None)