Theorem mapdm0 6629

Description: The empty set is the only map with empty domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.) (Proof shortened by Thierry Arnoux, 3-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mapdm0	|- ( B e. V -> ( B ^m (/) ) = { (/) } )

Proof of Theorem mapdm0

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4109	. . . . 5 |- (/) e. _V
2		elmapg 6627	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ (/) e. _V ) -> ( f e. ( B ^m (/) ) <-> f : (/) --> B ) )
3	1, 2	mpan2 422	. . . 4 |- ( B e. V -> ( f e. ( B ^m (/) ) <-> f : (/) --> B ) )
4		f0bi 5380	. . . 4 |- ( f : (/) --> B <-> f = (/) )
5	3, 4	bitrdi 195	. . 3 |- ( B e. V -> ( f e. ( B ^m (/) ) <-> f = (/) ) )
6		vex 2729	. . . 4 |- f e. _V
7	6	elsn 3592	. . 3 |- ( f e. { (/) } <-> f = (/) )
8	5, 7	bitr4di 197	. 2 |- ( B e. V -> ( f e. ( B ^m (/) ) <-> f e. { (/) } ) )
9	8	eqrdv 2163	1 |- ( B e. V -> ( B ^m (/) ) = { (/) } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   (/)c0 3409   {csn 3576   -->wf 5184  (class class class)co 5842   ^m cmap 6614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-map 6616

This theorem is referenced by: (None)