Theorem mapdm0 6750

Description: The empty set is the only map with empty domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.) (Proof shortened by Thierry Arnoux, 3-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mapdm0	|- ( B e. V -> ( B ^m (/) ) = { (/) } )

Proof of Theorem mapdm0

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4171	. . . . 5 |- (/) e. _V
2		elmapg 6748	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ (/) e. _V ) -> ( f e. ( B ^m (/) ) <-> f : (/) --> B ) )
3	1, 2	mpan2 425	. . . 4 |- ( B e. V -> ( f e. ( B ^m (/) ) <-> f : (/) --> B ) )
4		f0bi 5468	. . . 4 |- ( f : (/) --> B <-> f = (/) )
5	3, 4	bitrdi 196	. . 3 |- ( B e. V -> ( f e. ( B ^m (/) ) <-> f = (/) ) )
6		vex 2775	. . . 4 |- f e. _V
7	6	elsn 3649	. . 3 |- ( f e. { (/) } <-> f = (/) )
8	5, 7	bitr4di 198	. 2 |- ( B e. V -> ( f e. ( B ^m (/) ) <-> f e. { (/) } ) )
9	8	eqrdv 2203	1 |- ( B e. V -> ( B ^m (/) ) = { (/) } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   (/)c0 3460   {csn 3633   -->wf 5267  (class class class)co 5944   ^m cmap 6735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-map 6737

This theorem is referenced by: (None)