Theorem fsn 5657

Description: A function maps a singleton to a singleton iff it is the singleton of an ordered pair. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsn.1	|- A e. _V
fsn.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
fsn	|- ( F : { A } --> { B } <-> F = { <. A , B >. } )

Proof of Theorem fsn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelf 5359	. . . . . . . 8 |- ( ( F : { A } --> { B } /\ <. x , y >. e. F ) -> ( x e. { A } /\ y e. { B } ) )
2		velsn 3593	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { A } <-> x = A )
3		velsn 3593	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { B } <-> y = B )
4	2, 3	anbi12i 456	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. { A } /\ y e. { B } ) <-> ( x = A /\ y = B ) )
5	1, 4	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( ( F : { A } --> { B } /\ <. x , y >. e. F ) -> ( x = A /\ y = B ) )
6	5	ex 114	. . . . . 6 |- ( F : { A } --> { B } -> ( <. x , y >. e. F -> ( x = A /\ y = B ) ) )
7		fsn.1	. . . . . . . . . 10 |- A e. _V
8	7	snid 3607	. . . . . . . . 9 |- A e. { A }
9		feu 5370	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : { A } --> { B } /\ A e. { A } ) -> E! y e. { B } <. A , y >. e. F )
10	8, 9	mpan2 422	. . . . . . . 8 |- ( F : { A } --> { B } -> E! y e. { B } <. A , y >. e. F )
11	3	anbi1i 454	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. { B } /\ <. A , y >. e. F ) <-> ( y = B /\ <. A , y >. e. F ) )
12		opeq2 3759	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = B -> <. A , y >. = <. A , B >. )
13	12	eleq1d 2235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = B -> ( <. A , y >. e. F <-> <. A , B >. e. F ) )
14	13	pm5.32i 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y = B /\ <. A , y >. e. F ) <-> ( y = B /\ <. A , B >. e. F ) )
15		ancom 264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( <. A , B >. e. F /\ y = B ) <-> ( y = B /\ <. A , B >. e. F ) )
16	14, 15	bitr4i 186	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y = B /\ <. A , y >. e. F ) <-> ( <. A , B >. e. F /\ y = B ) )
17	11, 16	bitr2i 184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( <. A , B >. e. F /\ y = B ) <-> ( y e. { B } /\ <. A , y >. e. F ) )
18	17	eubii 2023	. . . . . . . . 9 |- ( E! y ( <. A , B >. e. F /\ y = B ) <-> E! y ( y e. { B } /\ <. A , y >. e. F ) )
19		fsn.2	. . . . . . . . . . . 12 |- B e. _V
20	19	eueq1 2898	. . . . . . . . . . 11 |- E! y y = B
21	20	biantru 300	. . . . . . . . . 10 |- ( <. A , B >. e. F <-> ( <. A , B >. e. F /\ E! y y = B ) )
22		euanv 2071	. . . . . . . . . 10 |- ( E! y ( <. A , B >. e. F /\ y = B ) <-> ( <. A , B >. e. F /\ E! y y = B ) )
23	21, 22	bitr4i 186	. . . . . . . . 9 |- ( <. A , B >. e. F <-> E! y ( <. A , B >. e. F /\ y = B ) )
24		df-reu 2451	. . . . . . . . 9 |- ( E! y e. { B } <. A , y >. e. F <-> E! y ( y e. { B } /\ <. A , y >. e. F ) )
25	18, 23, 24	3bitr4i 211	. . . . . . . 8 |- ( <. A , B >. e. F <-> E! y e. { B } <. A , y >. e. F )
26	10, 25	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( F : { A } --> { B } -> <. A , B >. e. F )
27		opeq12 3760	. . . . . . . 8 |- ( ( x = A /\ y = B ) -> <. x , y >. = <. A , B >. )
28	27	eleq1d 2235	. . . . . . 7 |- ( ( x = A /\ y = B ) -> ( <. x , y >. e. F <-> <. A , B >. e. F ) )
29	26, 28	syl5ibrcom 156	. . . . . 6 |- ( F : { A } --> { B } -> ( ( x = A /\ y = B ) -> <. x , y >. e. F ) )
30	6, 29	impbid 128	. . . . 5 |- ( F : { A } --> { B } -> ( <. x , y >. e. F <-> ( x = A /\ y = B ) ) )
31		vex 2729	. . . . . . . 8 |- x e. _V
32		vex 2729	. . . . . . . 8 |- y e. _V
33	31, 32	opex 4207	. . . . . . 7 |- <. x , y >. e. _V
34	33	elsn 3592	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. { <. A , B >. } <-> <. x , y >. = <. A , B >. )
35	7, 19	opth2 4218	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. = <. A , B >. <-> ( x = A /\ y = B ) )
36	34, 35	bitr2i 184	. . . . 5 |- ( ( x = A /\ y = B ) <-> <. x , y >. e. { <. A , B >. } )
37	30, 36	bitrdi 195	. . . 4 |- ( F : { A } --> { B } -> ( <. x , y >. e. F <-> <. x , y >. e. { <. A , B >. } ) )
38	37	alrimivv 1863	. . 3 |- ( F : { A } --> { B } -> A. x A. y ( <. x , y >. e. F <-> <. x , y >. e. { <. A , B >. } ) )
39		frel 5342	. . . 4 |- ( F : { A } --> { B } -> Rel F )
40	7, 19	relsnop 4710	. . . 4 |- Rel { <. A , B >. }
41		eqrel 4693	. . . 4 |- ( ( Rel F /\ Rel { <. A , B >. } ) -> ( F = { <. A , B >. } <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. F <-> <. x , y >. e. { <. A , B >. } ) ) )
42	39, 40, 41	sylancl 410	. . 3 |- ( F : { A } --> { B } -> ( F = { <. A , B >. } <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. F <-> <. x , y >. e. { <. A , B >. } ) ) )
43	38, 42	mpbird 166	. 2 |- ( F : { A } --> { B } -> F = { <. A , B >. } )
44	7, 19	f1osn 5472	. . . 4 |- { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B }
45		f1oeq1 5421	. . . 4 |- ( F = { <. A , B >. } -> ( F : { A } -1-1-onto-> { B } <-> { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
46	44, 45	mpbiri 167	. . 3 |- ( F = { <. A , B >. } -> F : { A } -1-1-onto-> { B } )
47		f1of 5432	. . 3 |- ( F : { A } -1-1-onto-> { B } -> F : { A } --> { B } )
48	46, 47	syl 14	. 2 |- ( F = { <. A , B >. } -> F : { A } --> { B } )
49	43, 48	impbii 125	1 |- ( F : { A } --> { B } <-> F = { <. A , B >. } )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1341   = wceq 1343   E!weu 2014   e. wcel 2136   E!wreu 2446   _Vcvv 2726   {csn 3576   <.cop 3579   Rel wrel 4609   -->wf 5184   -1-1-onto->wf1o 5187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195

This theorem is referenced by:  fsng  5658  mapsn  6656