Theorem fsn 5684

Description: A function maps a singleton to a singleton iff it is the singleton of an ordered pair. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsn.1	|- A e. _V
fsn.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
fsn	|- ( F : { A } --> { B } <-> F = { <. A , B >. } )

Proof of Theorem fsn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelf 5383	. . . . . . . 8 |- ( ( F : { A } --> { B } /\ <. x , y >. e. F ) -> ( x e. { A } /\ y e. { B } ) )
2		velsn 3608	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { A } <-> x = A )
3		velsn 3608	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { B } <-> y = B )
4	2, 3	anbi12i 460	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. { A } /\ y e. { B } ) <-> ( x = A /\ y = B ) )
5	1, 4	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( F : { A } --> { B } /\ <. x , y >. e. F ) -> ( x = A /\ y = B ) )
6	5	ex 115	. . . . . 6 |- ( F : { A } --> { B } -> ( <. x , y >. e. F -> ( x = A /\ y = B ) ) )
7		fsn.1	. . . . . . . . . 10 |- A e. _V
8	7	snid 3622	. . . . . . . . 9 |- A e. { A }
9		feu 5394	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : { A } --> { B } /\ A e. { A } ) -> E! y e. { B } <. A , y >. e. F )
10	8, 9	mpan2 425	. . . . . . . 8 |- ( F : { A } --> { B } -> E! y e. { B } <. A , y >. e. F )
11	3	anbi1i 458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. { B } /\ <. A , y >. e. F ) <-> ( y = B /\ <. A , y >. e. F ) )
12		opeq2 3777	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = B -> <. A , y >. = <. A , B >. )
13	12	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = B -> ( <. A , y >. e. F <-> <. A , B >. e. F ) )
14	13	pm5.32i 454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y = B /\ <. A , y >. e. F ) <-> ( y = B /\ <. A , B >. e. F ) )
15		ancom 266	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( <. A , B >. e. F /\ y = B ) <-> ( y = B /\ <. A , B >. e. F ) )
16	14, 15	bitr4i 187	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y = B /\ <. A , y >. e. F ) <-> ( <. A , B >. e. F /\ y = B ) )
17	11, 16	bitr2i 185	. . . . . . . . . 10 |- ( ( <. A , B >. e. F /\ y = B ) <-> ( y e. { B } /\ <. A , y >. e. F ) )
18	17	eubii 2035	. . . . . . . . 9 |- ( E! y ( <. A , B >. e. F /\ y = B ) <-> E! y ( y e. { B } /\ <. A , y >. e. F ) )
19		fsn.2	. . . . . . . . . . . 12 |- B e. _V
20	19	eueq1 2909	. . . . . . . . . . 11 |- E! y y = B
21	20	biantru 302	. . . . . . . . . 10 |- ( <. A , B >. e. F <-> ( <. A , B >. e. F /\ E! y y = B ) )
22		euanv 2083	. . . . . . . . . 10 |- ( E! y ( <. A , B >. e. F /\ y = B ) <-> ( <. A , B >. e. F /\ E! y y = B ) )
23	21, 22	bitr4i 187	. . . . . . . . 9 |- ( <. A , B >. e. F <-> E! y ( <. A , B >. e. F /\ y = B ) )
24		df-reu 2462	. . . . . . . . 9 |- ( E! y e. { B } <. A , y >. e. F <-> E! y ( y e. { B } /\ <. A , y >. e. F ) )
25	18, 23, 24	3bitr4i 212	. . . . . . . 8 |- ( <. A , B >. e. F <-> E! y e. { B } <. A , y >. e. F )
26	10, 25	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( F : { A } --> { B } -> <. A , B >. e. F )
27		opeq12 3778	. . . . . . . 8 |- ( ( x = A /\ y = B ) -> <. x , y >. = <. A , B >. )
28	27	eleq1d 2246	. . . . . . 7 |- ( ( x = A /\ y = B ) -> ( <. x , y >. e. F <-> <. A , B >. e. F ) )
29	26, 28	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 |- ( F : { A } --> { B } -> ( ( x = A /\ y = B ) -> <. x , y >. e. F ) )
30	6, 29	impbid 129	. . . . 5 |- ( F : { A } --> { B } -> ( <. x , y >. e. F <-> ( x = A /\ y = B ) ) )
31		vex 2740	. . . . . . . 8 |- x e. _V
32		vex 2740	. . . . . . . 8 |- y e. _V
33	31, 32	opex 4226	. . . . . . 7 |- <. x , y >. e. _V
34	33	elsn 3607	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. { <. A , B >. } <-> <. x , y >. = <. A , B >. )
35	7, 19	opth2 4237	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. = <. A , B >. <-> ( x = A /\ y = B ) )
36	34, 35	bitr2i 185	. . . . 5 |- ( ( x = A /\ y = B ) <-> <. x , y >. e. { <. A , B >. } )
37	30, 36	bitrdi 196	. . . 4 |- ( F : { A } --> { B } -> ( <. x , y >. e. F <-> <. x , y >. e. { <. A , B >. } ) )
38	37	alrimivv 1875	. . 3 |- ( F : { A } --> { B } -> A. x A. y ( <. x , y >. e. F <-> <. x , y >. e. { <. A , B >. } ) )
39		frel 5366	. . . 4 |- ( F : { A } --> { B } -> Rel F )
40	7, 19	relsnop 4729	. . . 4 |- Rel { <. A , B >. }
41		eqrel 4712	. . . 4 |- ( ( Rel F /\ Rel { <. A , B >. } ) -> ( F = { <. A , B >. } <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. F <-> <. x , y >. e. { <. A , B >. } ) ) )
42	39, 40, 41	sylancl 413	. . 3 |- ( F : { A } --> { B } -> ( F = { <. A , B >. } <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. F <-> <. x , y >. e. { <. A , B >. } ) ) )
43	38, 42	mpbird 167	. 2 |- ( F : { A } --> { B } -> F = { <. A , B >. } )
44	7, 19	f1osn 5497	. . . 4 |- { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B }
45		f1oeq1 5445	. . . 4 |- ( F = { <. A , B >. } -> ( F : { A } -1-1-onto-> { B } <-> { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
46	44, 45	mpbiri 168	. . 3 |- ( F = { <. A , B >. } -> F : { A } -1-1-onto-> { B } )
47		f1of 5457	. . 3 |- ( F : { A } -1-1-onto-> { B } -> F : { A } --> { B } )
48	46, 47	syl 14	. 2 |- ( F = { <. A , B >. } -> F : { A } --> { B } )
49	43, 48	impbii 126	1 |- ( F : { A } --> { B } <-> F = { <. A , B >. } )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1351   = wceq 1353   E!weu 2026   e. wcel 2148   E!wreu 2457   _Vcvv 2737   {csn 3591   <.cop 3594   Rel wrel 4628   -->wf 5208   -1-1-onto->wf1o 5211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219

This theorem is referenced by:  fsng  5685  mapsn  6684