ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsn Unicode version

Theorem fsn 5684
Description: A function maps a singleton to a singleton iff it is the singleton of an ordered pair. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)
Hypotheses
Ref Expression
fsn.1  |-  A  e. 
_V
fsn.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
fsn  |-  ( F : { A } --> { B }  <->  F  =  { <. A ,  B >. } )

Proof of Theorem fsn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opelf 5383 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : { A }
--> { B }  /\  <.
x ,  y >.  e.  F )  ->  (
x  e.  { A }  /\  y  e.  { B } ) )
2 velsn 3608 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { A }  <->  x  =  A )
3 velsn 3608 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { B }  <->  y  =  B )
42, 3anbi12i 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  { A }  /\  y  e.  { B } )  <->  ( x  =  A  /\  y  =  B ) )
51, 4sylib 122 . . . . . . 7  |-  ( ( F : { A }
--> { B }  /\  <.
x ,  y >.  e.  F )  ->  (
x  =  A  /\  y  =  B )
)
65ex 115 . . . . . 6  |-  ( F : { A } --> { B }  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  ->  ( x  =  A  /\  y  =  B ) ) )
7 fsn.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  e. 
_V
87snid 3622 . . . . . . . . 9  |-  A  e. 
{ A }
9 feu 5394 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : { A }
--> { B }  /\  A  e.  { A } )  ->  E! y  e.  { B } <. A ,  y
>.  e.  F )
108, 9mpan2 425 . . . . . . . 8  |-  ( F : { A } --> { B }  ->  E! y  e.  { B } <. A ,  y
>.  e.  F )
113anbi1i 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  { B }  /\  <. A ,  y
>.  e.  F )  <->  ( y  =  B  /\  <. A , 
y >.  e.  F ) )
12 opeq2 3777 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  B  ->  <. A , 
y >.  =  <. A ,  B >. )
1312eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  B  ->  ( <. A ,  y >.  e.  F  <->  <. A ,  B >.  e.  F ) )
1413pm5.32i 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  =  B  /\  <. A ,  y >.  e.  F )  <->  ( y  =  B  /\  <. A ,  B >.  e.  F ) )
15 ancom 266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
<. A ,  B >.  e.  F  /\  y  =  B )  <->  ( y  =  B  /\  <. A ,  B >.  e.  F ) )
1614, 15bitr4i 187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  =  B  /\  <. A ,  y >.  e.  F )  <->  ( <. A ,  B >.  e.  F  /\  y  =  B
) )
1711, 16bitr2i 185 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
<. A ,  B >.  e.  F  /\  y  =  B )  <->  ( y  e.  { B }  /\  <. A ,  y >.  e.  F ) )
1817eubii 2035 . . . . . . . . 9  |-  ( E! y ( <. A ,  B >.  e.  F  /\  y  =  B )  <->  E! y ( y  e. 
{ B }  /\  <. A ,  y >.  e.  F ) )
19 fsn.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  B  e. 
_V
2019eueq1 2909 . . . . . . . . . . 11  |-  E! y  y  =  B
2120biantru 302 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. A ,  B >.  e.  F  <->  ( <. A ,  B >.  e.  F  /\  E! y  y  =  B ) )
22 euanv 2083 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! y ( <. A ,  B >.  e.  F  /\  y  =  B )  <->  (
<. A ,  B >.  e.  F  /\  E! y  y  =  B ) )
2321, 22bitr4i 187 . . . . . . . . 9  |-  ( <. A ,  B >.  e.  F  <->  E! y ( <. A ,  B >.  e.  F  /\  y  =  B ) )
24 df-reu 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( E! y  e.  { B } <. A ,  y
>.  e.  F  <->  E! y
( y  e.  { B }  /\  <. A , 
y >.  e.  F ) )
2518, 23, 243bitr4i 212 . . . . . . . 8  |-  ( <. A ,  B >.  e.  F  <->  E! y  e.  { B } <. A ,  y
>.  e.  F )
2610, 25sylibr 134 . . . . . . 7  |-  ( F : { A } --> { B }  ->  <. A ,  B >.  e.  F )
27 opeq12 3778 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  -> 
<. x ,  y >.  =  <. A ,  B >. )
2827eleq1d 2246 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  ->  ( <. x ,  y
>.  e.  F  <->  <. A ,  B >.  e.  F ) )
2926, 28syl5ibrcom 157 . . . . . 6  |-  ( F : { A } --> { B }  ->  (
( x  =  A  /\  y  =  B )  ->  <. x ,  y >.  e.  F
) )
306, 29impbid 129 . . . . 5  |-  ( F : { A } --> { B }  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  <->  ( x  =  A  /\  y  =  B ) ) )
31 vex 2740 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
32 vex 2740 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
3331, 32opex 4226 . . . . . . 7  |-  <. x ,  y >.  e.  _V
3433elsn 3607 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. A ,  B >. }  <->  <. x ,  y
>.  =  <. A ,  B >. )
357, 19opth2 4237 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. A ,  B >.  <-> 
( x  =  A  /\  y  =  B ) )
3634, 35bitr2i 185 . . . . 5  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  <->  <.
x ,  y >.  e.  { <. A ,  B >. } )
3730, 36bitrdi 196 . . . 4  |-  ( F : { A } --> { B }  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  <->  <. x ,  y
>.  e.  { <. A ,  B >. } ) )
3837alrimivv 1875 . . 3  |-  ( F : { A } --> { B }  ->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  F  <->  <.
x ,  y >.  e.  { <. A ,  B >. } ) )
39 frel 5366 . . . 4  |-  ( F : { A } --> { B }  ->  Rel  F )
407, 19relsnop 4729 . . . 4  |-  Rel  { <. A ,  B >. }
41 eqrel 4712 . . . 4  |-  ( ( Rel  F  /\  Rel  {
<. A ,  B >. } )  ->  ( F  =  { <. A ,  B >. }  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  F  <->  <. x ,  y >.  e.  { <. A ,  B >. } ) ) )
4239, 40, 41sylancl 413 . . 3  |-  ( F : { A } --> { B }  ->  ( F  =  { <. A ,  B >. }  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  F  <->  <.
x ,  y >.  e.  { <. A ,  B >. } ) ) )
4338, 42mpbird 167 . 2  |-  ( F : { A } --> { B }  ->  F  =  { <. A ,  B >. } )
447, 19f1osn 5497 . . . 4  |-  { <. A ,  B >. } : { A } -1-1-onto-> { B }
45 f1oeq1 5445 . . . 4  |-  ( F  =  { <. A ,  B >. }  ->  ( F : { A } -1-1-onto-> { B }  <->  { <. A ,  B >. } : { A }
-1-1-onto-> { B } ) )
4644, 45mpbiri 168 . . 3  |-  ( F  =  { <. A ,  B >. }  ->  F : { A } -1-1-onto-> { B } )
47 f1of 5457 . . 3  |-  ( F : { A } -1-1-onto-> { B }  ->  F : { A } --> { B } )
4846, 47syl 14 . 2  |-  ( F  =  { <. A ,  B >. }  ->  F : { A } --> { B } )
4943, 48impbii 126 1  |-  ( F : { A } --> { B }  <->  F  =  { <. A ,  B >. } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    <-> wb 105   A.wal 1351    = wceq 1353   E!weu 2026    e. wcel 2148   E!wreu 2457   _Vcvv 2737   {csn 3591   <.cop 3594   Rel wrel 4628   -->wf 5208   -1-1-onto->wf1o 5211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219
This theorem is referenced by:  fsng  5685  mapsn  6684
  Copyright terms: Public domain W3C validator