Theorem pw1nel3 7160

Description: Negated excluded middle implies that the power set of 1o is not an element of 3o. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pw1nel3	|- ( -. EXMID -> -. ~P 1o e. 3o )

Proof of Theorem pw1nel3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw1ne0 7157	. . . . 5 |- ~P 1o =/= (/)
2		pw1ne1 7158	. . . . 5 |- ~P 1o =/= 1o
3	1, 2	nelpri 3584	. . . 4 |- -. ~P 1o e. { (/) , 1o }
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( -. EXMID -> -. ~P 1o e. { (/) , 1o } )
5		df2o3 6374	. . . 4 |- 2o = { (/) , 1o }
6	5	eleq2i 2224	. . 3 |- ( ~P 1o e. 2o <-> ~P 1o e. { (/) , 1o } )
7	4, 6	sylnibr 667	. 2 |- ( -. EXMID -> -. ~P 1o e. 2o )
8		exmidpweq 6851	. . . 4 |- (EXMID <-> ~P 1o = 2o )
9	8	notbii 658	. . 3 |- ( -. EXMID <-> -. ~P 1o = 2o )
10		1oex 6368	. . . . . 6 |- 1o e. _V
11	10	pwex 4144	. . . . 5 |- ~P 1o e. _V
12	11	elsn 3576	. . . 4 |- ( ~P 1o e. { 2o } <-> ~P 1o = 2o )
13	12	notbii 658	. . 3 |- ( -. ~P 1o e. { 2o } <-> -. ~P 1o = 2o )
14	9, 13	sylbb2 137	. 2 |- ( -. EXMID -> -. ~P 1o e. { 2o } )
15		df-3o 6362	. . . . . . 7 |- 3o = suc 2o
16		df-suc 4331	. . . . . . 7 |- suc 2o = ( 2o u. { 2o } )
17	15, 16	eqtri 2178	. . . . . 6 |- 3o = ( 2o u. { 2o } )
18	17	eleq2i 2224	. . . . 5 |- ( ~P 1o e. 3o <-> ~P 1o e. ( 2o u. { 2o } ) )
19		elun 3248	. . . . 5 |- ( ~P 1o e. ( 2o u. { 2o } ) <-> ( ~P 1o e. 2o \/ ~P 1o e. { 2o } ) )
20	18, 19	bitri 183	. . . 4 |- ( ~P 1o e. 3o <-> ( ~P 1o e. 2o \/ ~P 1o e. { 2o } ) )
21	20	notbii 658	. . 3 |- ( -. ~P 1o e. 3o <-> -. ( ~P 1o e. 2o \/ ~P 1o e. { 2o } ) )
22		ioran 742	. . 3 |- ( -. ( ~P 1o e. 2o \/ ~P 1o e. { 2o } ) <-> ( -. ~P 1o e. 2o /\ -. ~P 1o e. { 2o } ) )
23	21, 22	bitri 183	. 2 |- ( -. ~P 1o e. 3o <-> ( -. ~P 1o e. 2o /\ -. ~P 1o e. { 2o } ) )
24	7, 14, 23	sylanbrc 414	1 |- ( -. EXMID -> -. ~P 1o e. 3o )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698   = wceq 1335   e. wcel 2128   u. cun 3100   (/)c0 3394   ~Pcpw 3543   {csn 3560   {cpr 3561  EXMIDwem 4155   suc csuc 4325   1oc1o 6353   2oc2o 6354   3oc3o 6355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-uni 3773  df-tr 4063  df-exmid 4156  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-1o 6360  df-2o 6361  df-3o 6362

This theorem is referenced by:  sucpw1ne3  7161  sucpw1nss3  7164