Theorem pw1nel3 7187

Description: Negated excluded middle implies that the power set of 1o is not an element of 3o. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pw1nel3	|- ( -. EXMID -> -. ~P 1o e. 3o )

Proof of Theorem pw1nel3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw1ne0 7184	. . . . 5 |- ~P 1o =/= (/)
2		pw1ne1 7185	. . . . 5 |- ~P 1o =/= 1o
3	1, 2	nelpri 3600	. . . 4 |- -. ~P 1o e. { (/) , 1o }
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( -. EXMID -> -. ~P 1o e. { (/) , 1o } )
5		df2o3 6398	. . . 4 |- 2o = { (/) , 1o }
6	5	eleq2i 2233	. . 3 |- ( ~P 1o e. 2o <-> ~P 1o e. { (/) , 1o } )
7	4, 6	sylnibr 667	. 2 |- ( -. EXMID -> -. ~P 1o e. 2o )
8		exmidpweq 6875	. . . 4 |- (EXMID <-> ~P 1o = 2o )
9	8	notbii 658	. . 3 |- ( -. EXMID <-> -. ~P 1o = 2o )
10		1oex 6392	. . . . . 6 |- 1o e. _V
11	10	pwex 4162	. . . . 5 |- ~P 1o e. _V
12	11	elsn 3592	. . . 4 |- ( ~P 1o e. { 2o } <-> ~P 1o = 2o )
13	12	notbii 658	. . 3 |- ( -. ~P 1o e. { 2o } <-> -. ~P 1o = 2o )
14	9, 13	sylbb2 137	. 2 |- ( -. EXMID -> -. ~P 1o e. { 2o } )
15		df-3o 6386	. . . . . . 7 |- 3o = suc 2o
16		df-suc 4349	. . . . . . 7 |- suc 2o = ( 2o u. { 2o } )
17	15, 16	eqtri 2186	. . . . . 6 |- 3o = ( 2o u. { 2o } )
18	17	eleq2i 2233	. . . . 5 |- ( ~P 1o e. 3o <-> ~P 1o e. ( 2o u. { 2o } ) )
19		elun 3263	. . . . 5 |- ( ~P 1o e. ( 2o u. { 2o } ) <-> ( ~P 1o e. 2o \/ ~P 1o e. { 2o } ) )
20	18, 19	bitri 183	. . . 4 |- ( ~P 1o e. 3o <-> ( ~P 1o e. 2o \/ ~P 1o e. { 2o } ) )
21	20	notbii 658	. . 3 |- ( -. ~P 1o e. 3o <-> -. ( ~P 1o e. 2o \/ ~P 1o e. { 2o } ) )
22		ioran 742	. . 3 |- ( -. ( ~P 1o e. 2o \/ ~P 1o e. { 2o } ) <-> ( -. ~P 1o e. 2o /\ -. ~P 1o e. { 2o } ) )
23	21, 22	bitri 183	. 2 |- ( -. ~P 1o e. 3o <-> ( -. ~P 1o e. 2o /\ -. ~P 1o e. { 2o } ) )
24	7, 14, 23	sylanbrc 414	1 |- ( -. EXMID -> -. ~P 1o e. 3o )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698   = wceq 1343   e. wcel 2136   u. cun 3114   (/)c0 3409   ~Pcpw 3559   {csn 3576   {cpr 3577  EXMIDwem 4173   suc csuc 4343   1oc1o 6377   2oc2o 6378   3oc3o 6379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790  df-tr 4081  df-exmid 4174  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-1o 6384  df-2o 6385  df-3o 6386

This theorem is referenced by:  sucpw1ne3  7188  sucpw1nss3  7191