Theorem pw1nel3 7293

Description: Negated excluded middle implies that the power set of 1o is not an element of 3o. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pw1nel3	|- ( -. EXMID -> -. ~P 1o e. 3o )

Proof of Theorem pw1nel3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw1ne0 7290	. . . . 5 |- ~P 1o =/= (/)
2		pw1ne1 7291	. . . . 5 |- ~P 1o =/= 1o
3	1, 2	nelpri 3643	. . . 4 |- -. ~P 1o e. { (/) , 1o }
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( -. EXMID -> -. ~P 1o e. { (/) , 1o } )
5		df2o3 6485	. . . 4 |- 2o = { (/) , 1o }
6	5	eleq2i 2260	. . 3 |- ( ~P 1o e. 2o <-> ~P 1o e. { (/) , 1o } )
7	4, 6	sylnibr 678	. 2 |- ( -. EXMID -> -. ~P 1o e. 2o )
8		exmidpweq 6967	. . . 4 |- (EXMID <-> ~P 1o = 2o )
9	8	notbii 669	. . 3 |- ( -. EXMID <-> -. ~P 1o = 2o )
10		1oex 6479	. . . . . 6 |- 1o e. _V
11	10	pwex 4213	. . . . 5 |- ~P 1o e. _V
12	11	elsn 3635	. . . 4 |- ( ~P 1o e. { 2o } <-> ~P 1o = 2o )
13	12	notbii 669	. . 3 |- ( -. ~P 1o e. { 2o } <-> -. ~P 1o = 2o )
14	9, 13	sylbb2 138	. 2 |- ( -. EXMID -> -. ~P 1o e. { 2o } )
15		df-3o 6473	. . . . . . 7 |- 3o = suc 2o
16		df-suc 4403	. . . . . . 7 |- suc 2o = ( 2o u. { 2o } )
17	15, 16	eqtri 2214	. . . . . 6 |- 3o = ( 2o u. { 2o } )
18	17	eleq2i 2260	. . . . 5 |- ( ~P 1o e. 3o <-> ~P 1o e. ( 2o u. { 2o } ) )
19		elun 3301	. . . . 5 |- ( ~P 1o e. ( 2o u. { 2o } ) <-> ( ~P 1o e. 2o \/ ~P 1o e. { 2o } ) )
20	18, 19	bitri 184	. . . 4 |- ( ~P 1o e. 3o <-> ( ~P 1o e. 2o \/ ~P 1o e. { 2o } ) )
21	20	notbii 669	. . 3 |- ( -. ~P 1o e. 3o <-> -. ( ~P 1o e. 2o \/ ~P 1o e. { 2o } ) )
22		ioran 753	. . 3 |- ( -. ( ~P 1o e. 2o \/ ~P 1o e. { 2o } ) <-> ( -. ~P 1o e. 2o /\ -. ~P 1o e. { 2o } ) )
23	21, 22	bitri 184	. 2 |- ( -. ~P 1o e. 3o <-> ( -. ~P 1o e. 2o /\ -. ~P 1o e. { 2o } ) )
24	7, 14, 23	sylanbrc 417	1 |- ( -. EXMID -> -. ~P 1o e. 3o )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2164   u. cun 3152   (/)c0 3447   ~Pcpw 3602   {csn 3619   {cpr 3620  EXMIDwem 4224   suc csuc 4397   1oc1o 6464   2oc2o 6465   3oc3o 6466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-uni 3837  df-tr 4129  df-exmid 4225  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-1o 6471  df-2o 6472  df-3o 6473

This theorem is referenced by:  sucpw1ne3  7294  sucpw1nss3  7297