Theorem pw1nel3 7232

Description: Negated excluded middle implies that the power set of 1o is not an element of 3o. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pw1nel3	|- ( -. EXMID -> -. ~P 1o e. 3o )

Proof of Theorem pw1nel3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw1ne0 7229	. . . . 5 |- ~P 1o =/= (/)
2		pw1ne1 7230	. . . . 5 |- ~P 1o =/= 1o
3	1, 2	nelpri 3618	. . . 4 |- -. ~P 1o e. { (/) , 1o }
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( -. EXMID -> -. ~P 1o e. { (/) , 1o } )
5		df2o3 6433	. . . 4 |- 2o = { (/) , 1o }
6	5	eleq2i 2244	. . 3 |- ( ~P 1o e. 2o <-> ~P 1o e. { (/) , 1o } )
7	4, 6	sylnibr 677	. 2 |- ( -. EXMID -> -. ~P 1o e. 2o )
8		exmidpweq 6911	. . . 4 |- (EXMID <-> ~P 1o = 2o )
9	8	notbii 668	. . 3 |- ( -. EXMID <-> -. ~P 1o = 2o )
10		1oex 6427	. . . . . 6 |- 1o e. _V
11	10	pwex 4185	. . . . 5 |- ~P 1o e. _V
12	11	elsn 3610	. . . 4 |- ( ~P 1o e. { 2o } <-> ~P 1o = 2o )
13	12	notbii 668	. . 3 |- ( -. ~P 1o e. { 2o } <-> -. ~P 1o = 2o )
14	9, 13	sylbb2 138	. 2 |- ( -. EXMID -> -. ~P 1o e. { 2o } )
15		df-3o 6421	. . . . . . 7 |- 3o = suc 2o
16		df-suc 4373	. . . . . . 7 |- suc 2o = ( 2o u. { 2o } )
17	15, 16	eqtri 2198	. . . . . 6 |- 3o = ( 2o u. { 2o } )
18	17	eleq2i 2244	. . . . 5 |- ( ~P 1o e. 3o <-> ~P 1o e. ( 2o u. { 2o } ) )
19		elun 3278	. . . . 5 |- ( ~P 1o e. ( 2o u. { 2o } ) <-> ( ~P 1o e. 2o \/ ~P 1o e. { 2o } ) )
20	18, 19	bitri 184	. . . 4 |- ( ~P 1o e. 3o <-> ( ~P 1o e. 2o \/ ~P 1o e. { 2o } ) )
21	20	notbii 668	. . 3 |- ( -. ~P 1o e. 3o <-> -. ( ~P 1o e. 2o \/ ~P 1o e. { 2o } ) )
22		ioran 752	. . 3 |- ( -. ( ~P 1o e. 2o \/ ~P 1o e. { 2o } ) <-> ( -. ~P 1o e. 2o /\ -. ~P 1o e. { 2o } ) )
23	21, 22	bitri 184	. 2 |- ( -. ~P 1o e. 3o <-> ( -. ~P 1o e. 2o /\ -. ~P 1o e. { 2o } ) )
24	7, 14, 23	sylanbrc 417	1 |- ( -. EXMID -> -. ~P 1o e. 3o )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   u. cun 3129   (/)c0 3424   ~Pcpw 3577   {csn 3594   {cpr 3595  EXMIDwem 4196   suc csuc 4367   1oc1o 6412   2oc2o 6413   3oc3o 6414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-uni 3812  df-tr 4104  df-exmid 4197  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-1o 6419  df-2o 6420  df-3o 6421

This theorem is referenced by:  sucpw1ne3  7233  sucpw1nss3  7236