ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pw1nel3 Unicode version

Theorem pw1nel3 7167
Description: Negated excluded middle implies that the power set of  1o is not an element of  3o. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)
Assertion
Ref Expression
pw1nel3  |-  ( -. EXMID  ->  -.  ~P 1o  e.  3o )

Proof of Theorem pw1nel3
StepHypRef Expression
1 pw1ne0 7164 . . . . 5  |-  ~P 1o  =/=  (/)
2 pw1ne1 7165 . . . . 5  |-  ~P 1o  =/=  1o
31, 2nelpri 3584 . . . 4  |-  -.  ~P 1o  e.  { (/) ,  1o }
43a1i 9 . . 3  |-  ( -. EXMID  ->  -.  ~P 1o  e.  { (/)
,  1o } )
5 df2o3 6378 . . . 4  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
65eleq2i 2224 . . 3  |-  ( ~P 1o  e.  2o  <->  ~P 1o  e.  { (/) ,  1o }
)
74, 6sylnibr 667 . 2  |-  ( -. EXMID  ->  -.  ~P 1o  e.  2o )
8 exmidpweq 6855 . . . 4  |-  (EXMID  <->  ~P 1o  =  2o )
98notbii 658 . . 3  |-  ( -. EXMID  <->  -.  ~P 1o  =  2o )
10 1oex 6372 . . . . . 6  |-  1o  e.  _V
1110pwex 4145 . . . . 5  |-  ~P 1o  e.  _V
1211elsn 3576 . . . 4  |-  ( ~P 1o  e.  { 2o } 
<->  ~P 1o  =  2o )
1312notbii 658 . . 3  |-  ( -. 
~P 1o  e.  { 2o }  <->  -.  ~P 1o  =  2o )
149, 13sylbb2 137 . 2  |-  ( -. EXMID  ->  -.  ~P 1o  e.  { 2o } )
15 df-3o 6366 . . . . . . 7  |-  3o  =  suc  2o
16 df-suc 4332 . . . . . . 7  |-  suc  2o  =  ( 2o  u.  { 2o } )
1715, 16eqtri 2178 . . . . . 6  |-  3o  =  ( 2o  u.  { 2o } )
1817eleq2i 2224 . . . . 5  |-  ( ~P 1o  e.  3o  <->  ~P 1o  e.  ( 2o  u.  { 2o } ) )
19 elun 3248 . . . . 5  |-  ( ~P 1o  e.  ( 2o  u.  { 2o }
)  <->  ( ~P 1o  e.  2o  \/  ~P 1o  e.  { 2o } ) )
2018, 19bitri 183 . . . 4  |-  ( ~P 1o  e.  3o  <->  ( ~P 1o  e.  2o  \/  ~P 1o  e.  { 2o }
) )
2120notbii 658 . . 3  |-  ( -. 
~P 1o  e.  3o  <->  -.  ( ~P 1o  e.  2o  \/  ~P 1o  e.  { 2o } ) )
22 ioran 742 . . 3  |-  ( -.  ( ~P 1o  e.  2o  \/  ~P 1o  e.  { 2o } )  <->  ( -.  ~P 1o  e.  2o  /\  -.  ~P 1o  e.  { 2o } ) )
2321, 22bitri 183 . 2  |-  ( -. 
~P 1o  e.  3o  <->  ( -.  ~P 1o  e.  2o  /\  -.  ~P 1o  e.  { 2o } ) )
247, 14, 23sylanbrc 414 1  |-  ( -. EXMID  ->  -.  ~P 1o  e.  3o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 698    = wceq 1335    e. wcel 2128    u. cun 3100   (/)c0 3394   ~Pcpw 3543   {csn 3560   {cpr 3561  EXMIDwem 4156   suc csuc 4326   1oc1o 6357   2oc2o 6358   3oc3o 6359
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-uni 3774  df-tr 4064  df-exmid 4157  df-iord 4327  df-on 4329  df-suc 4332  df-1o 6364  df-2o 6365  df-3o 6366
This theorem is referenced by:  sucpw1ne3  7168  sucpw1nss3  7171
  Copyright terms: Public domain W3C validator