Theorem ordsoexmid 4594

Description: Weak linearity of ordinals implies the law of the excluded middle (that is, decidability of an arbitrary proposition). (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jan-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
ordsoexmid.1	|- _E Or On

Assertion

Ref	Expression
ordsoexmid	|- ( ph \/ -. ph )

Proof of Theorem ordsoexmid

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtriexmidlem 4551	. . . . 5 |- { w e. { (/) } | ph } e. On
2	1	elexi 2772	. . . 4 |- { w e. { (/) } | ph } e. _V
3	2	sucid 4448	. . 3 |- { w e. { (/) } | ph } e. suc { w e. { (/) } | ph }
4	1	onsuci 4548	. . . 4 |- suc { w e. { (/) } | ph } e. On
5		suc0 4442	. . . . 5 |- suc (/) = { (/) }
6		0elon 4423	. . . . . 6 |- (/) e. On
7	6	onsuci 4548	. . . . 5 |- suc (/) e. On
8	5, 7	eqeltrri 2267	. . . 4 |- { (/) } e. On
9		eleq1 2256	. . . . . . 7 |- ( x = { w e. { (/) } | ph } -> ( x e. On <-> { w e. { (/) } | ph } e. On ) )
10	9	3anbi1d 1327	. . . . . 6 |- ( x = { w e. { (/) } | ph } -> ( ( x e. On /\ suc { w e. { (/) } | ph } e. On /\ { (/) } e. On ) <-> ( { w e. { (/) } | ph } e. On /\ suc { w e. { (/) } | ph } e. On /\ { (/) } e. On ) ) )
11		eleq1 2256	. . . . . . 7 |- ( x = { w e. { (/) } | ph } -> ( x e. suc { w e. { (/) } | ph } <-> { w e. { (/) } | ph } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) )
12		eleq1 2256	. . . . . . . 8 |- ( x = { w e. { (/) } | ph } -> ( x e. { (/) } <-> { w e. { (/) } | ph } e. { (/) } ) )
13	12	orbi1d 792	. . . . . . 7 |- ( x = { w e. { (/) } | ph } -> ( ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) <-> ( { w e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) ) )
14	11, 13	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( x = { w e. { (/) } | ph } -> ( ( x e. suc { w e. { (/) } | ph } -> ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) ) <-> ( { w e. { (/) } | ph } e. suc { w e. { (/) } | ph } -> ( { w e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) ) ) )
15	10, 14	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( x = { w e. { (/) } | ph } -> ( ( ( x e. On /\ suc { w e. { (/) } | ph } e. On /\ { (/) } e. On ) -> ( x e. suc { w e. { (/) } | ph } -> ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) ) ) <-> ( ( { w e. { (/) } | ph } e. On /\ suc { w e. { (/) } | ph } e. On /\ { (/) } e. On ) -> ( { w e. { (/) } | ph } e. suc { w e. { (/) } | ph } -> ( { w e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) ) ) ) )
16	4	elexi 2772	. . . . . 6 |- suc { w e. { (/) } | ph } e. _V
17		eleq1 2256	. . . . . . . 8 |- ( y = suc { w e. { (/) } | ph } -> ( y e. On <-> suc { w e. { (/) } | ph } e. On ) )
18	17	3anbi2d 1328	. . . . . . 7 |- ( y = suc { w e. { (/) } | ph } -> ( ( x e. On /\ y e. On /\ { (/) } e. On ) <-> ( x e. On /\ suc { w e. { (/) } | ph } e. On /\ { (/) } e. On ) ) )
19		eleq2 2257	. . . . . . . 8 |- ( y = suc { w e. { (/) } | ph } -> ( x e. y <-> x e. suc { w e. { (/) } | ph } ) )
20		eleq2 2257	. . . . . . . . 9 |- ( y = suc { w e. { (/) } | ph } -> ( { (/) } e. y <-> { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) )
21	20	orbi2d 791	. . . . . . . 8 |- ( y = suc { w e. { (/) } | ph } -> ( ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. y ) <-> ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) ) )
22	19, 21	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( y = suc { w e. { (/) } | ph } -> ( ( x e. y -> ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. y ) ) <-> ( x e. suc { w e. { (/) } | ph } -> ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) ) ) )
23	18, 22	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( y = suc { w e. { (/) } | ph } -> ( ( ( x e. On /\ y e. On /\ { (/) } e. On ) -> ( x e. y -> ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. y ) ) ) <-> ( ( x e. On /\ suc { w e. { (/) } | ph } e. On /\ { (/) } e. On ) -> ( x e. suc { w e. { (/) } | ph } -> ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) ) ) ) )
24		p0ex 4217	. . . . . . 7 |- { (/) } e. _V
25		eleq1 2256	. . . . . . . . 9 |- ( z = { (/) } -> ( z e. On <-> { (/) } e. On ) )
26	25	3anbi3d 1329	. . . . . . . 8 |- ( z = { (/) } -> ( ( x e. On /\ y e. On /\ z e. On ) <-> ( x e. On /\ y e. On /\ { (/) } e. On ) ) )
27		eleq2 2257	. . . . . . . . . 10 |- ( z = { (/) } -> ( x e. z <-> x e. { (/) } ) )
28		eleq1 2256	. . . . . . . . . 10 |- ( z = { (/) } -> ( z e. y <-> { (/) } e. y ) )
29	27, 28	orbi12d 794	. . . . . . . . 9 |- ( z = { (/) } -> ( ( x e. z \/ z e. y ) <-> ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. y ) ) )
30	29	imbi2d 230	. . . . . . . 8 |- ( z = { (/) } -> ( ( x e. y -> ( x e. z \/ z e. y ) ) <-> ( x e. y -> ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. y ) ) ) )
31	26, 30	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( z = { (/) } -> ( ( ( x e. On /\ y e. On /\ z e. On ) -> ( x e. y -> ( x e. z \/ z e. y ) ) ) <-> ( ( x e. On /\ y e. On /\ { (/) } e. On ) -> ( x e. y -> ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. y ) ) ) ) )
32		ordsoexmid.1	. . . . . . . . . . 11 |- _E Or On
33		df-iso 4328	. . . . . . . . . . 11 |- ( _E Or On <-> ( _E Po On /\ A. x e. On A. y e. On A. z e. On ( x _E y -> ( x _E z \/ z _E y ) ) ) )
34	32, 33	mpbi 145	. . . . . . . . . 10 |- ( _E Po On /\ A. x e. On A. y e. On A. z e. On ( x _E y -> ( x _E z \/ z _E y ) ) )
35	34	simpri 113	. . . . . . . . 9 |- A. x e. On A. y e. On A. z e. On ( x _E y -> ( x _E z \/ z _E y ) )
36		epel 4323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x _E y <-> x e. y )
37		epel 4323	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x _E z <-> x e. z )
38		epel 4323	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z _E y <-> z e. y )
39	37, 38	orbi12i 765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x _E z \/ z _E y ) <-> ( x e. z \/ z e. y ) )
40	36, 39	imbi12i 239	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x _E y -> ( x _E z \/ z _E y ) ) <-> ( x e. y -> ( x e. z \/ z e. y ) ) )
41	40	2ralbii 2502	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. On A. z e. On ( x _E y -> ( x _E z \/ z _E y ) ) <-> A. y e. On A. z e. On ( x e. y -> ( x e. z \/ z e. y ) ) )
42	41	ralbii 2500	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. On A. y e. On A. z e. On ( x _E y -> ( x _E z \/ z _E y ) ) <-> A. x e. On A. y e. On A. z e. On ( x e. y -> ( x e. z \/ z e. y ) ) )
43	35, 42	mpbi 145	. . . . . . . 8 |- A. x e. On A. y e. On A. z e. On ( x e. y -> ( x e. z \/ z e. y ) )
44	43	rspec3 2584	. . . . . . 7 |- ( ( x e. On /\ y e. On /\ z e. On ) -> ( x e. y -> ( x e. z \/ z e. y ) ) )
45	24, 31, 44	vtocl 2814	. . . . . 6 |- ( ( x e. On /\ y e. On /\ { (/) } e. On ) -> ( x e. y -> ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. y ) ) )
46	16, 23, 45	vtocl 2814	. . . . 5 |- ( ( x e. On /\ suc { w e. { (/) } | ph } e. On /\ { (/) } e. On ) -> ( x e. suc { w e. { (/) } | ph } -> ( x e. { (/) } \/ { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) ) )
47	2, 15, 46	vtocl 2814	. . . 4 |- ( ( { w e. { (/) } | ph } e. On /\ suc { w e. { (/) } | ph } e. On /\ { (/) } e. On ) -> ( { w e. { (/) } | ph } e. suc { w e. { (/) } | ph } -> ( { w e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) ) )
48	1, 4, 8, 47	mp3an 1348	. . 3 |- ( { w e. { (/) } | ph } e. suc { w e. { (/) } | ph } -> ( { w e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) )
49	2	elsn 3634	. . . . 5 |- ( { w e. { (/) } | ph } e. { (/) } <-> { w e. { (/) } | ph } = (/) )
50		ordtriexmidlem2 4552	. . . . 5 |- ( { w e. { (/) } | ph } = (/) -> -. ph )
51	49, 50	sylbi 121	. . . 4 |- ( { w e. { (/) } | ph } e. { (/) } -> -. ph )
52		elirr 4573	. . . . . . 7 |- -. { (/) } e. { (/) }
53		elrabi 2913	. . . . . . 7 |- ( { (/) } e. { w e. { (/) } | ph } -> { (/) } e. { (/) } )
54	52, 53	mto 663	. . . . . 6 |- -. { (/) } e. { w e. { (/) } | ph }
55		elsuci 4434	. . . . . . 7 |- ( { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } -> ( { (/) } e. { w e. { (/) } | ph } \/ { (/) } = { w e. { (/) } | ph } ) )
56	55	ord 725	. . . . . 6 |- ( { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } -> ( -. { (/) } e. { w e. { (/) } | ph } -> { (/) } = { w e. { (/) } | ph } ) )
57	54, 56	mpi 15	. . . . 5 |- ( { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } -> { (/) } = { w e. { (/) } | ph } )
58		0ex 4156	. . . . . . 7 |- (/) e. _V
59		biidd 172	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( ph <-> ph ) )
60	58, 59	rabsnt 3693	. . . . . 6 |- ( { w e. { (/) } | ph } = { (/) } -> ph )
61	60	eqcoms 2196	. . . . 5 |- ( { (/) } = { w e. { (/) } | ph } -> ph )
62	57, 61	syl 14	. . . 4 |- ( { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } -> ph )
63	51, 62	orim12i 760	. . 3 |- ( ( { w e. { (/) } | ph } e. { (/) } \/ { (/) } e. suc { w e. { (/) } | ph } ) -> ( -. ph \/ ph ) )
64	3, 48, 63	mp2b 8	. 2 |- ( -. ph \/ ph )
65		orcom 729	. 2 |- ( ( -. ph \/ ph ) <-> ( ph \/ -. ph ) )
66	64, 65	mpbi 145	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   {crab 2476   (/)c0 3446   {csn 3618   class class class wbr 4029   _E cep 4318   Po wpo 4325   Or wor 4326   Oncon0 4394   suc csuc 4396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-tr 4128  df-eprel 4320  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402

This theorem is referenced by: (None)