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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > ordsoexmid | Unicode version |
Description: Weak linearity of ordinals implies the law of the excluded middle (that is, decidability of an arbitrary proposition). (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jan-2019.) |
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ordsoexmid.1 |
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ordsoexmid |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | ordtriexmidlem 4364 |
. . . . 5
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2 | 1 | elexi 2645 |
. . . 4
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3 | 2 | sucid 4268 |
. . 3
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4 | 1 | onsuci 4361 |
. . . 4
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5 | suc0 4262 |
. . . . 5
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6 | 0elon 4243 |
. . . . . 6
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7 | 6 | onsuci 4361 |
. . . . 5
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8 | 5, 7 | eqeltrri 2168 |
. . . 4
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9 | eleq1 2157 |
. . . . . . 7
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10 | 9 | 3anbi1d 1259 |
. . . . . 6
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11 | eleq1 2157 |
. . . . . . 7
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12 | eleq1 2157 |
. . . . . . . 8
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13 | 12 | orbi1d 743 |
. . . . . . 7
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14 | 11, 13 | imbi12d 233 |
. . . . . 6
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15 | 10, 14 | imbi12d 233 |
. . . . 5
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16 | 4 | elexi 2645 |
. . . . . 6
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17 | eleq1 2157 |
. . . . . . . 8
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18 | 17 | 3anbi2d 1260 |
. . . . . . 7
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19 | eleq2 2158 |
. . . . . . . 8
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20 | eleq2 2158 |
. . . . . . . . 9
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21 | 20 | orbi2d 742 |
. . . . . . . 8
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22 | 19, 21 | imbi12d 233 |
. . . . . . 7
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23 | 18, 22 | imbi12d 233 |
. . . . . 6
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24 | p0ex 4044 |
. . . . . . 7
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25 | eleq1 2157 |
. . . . . . . . 9
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26 | 25 | 3anbi3d 1261 |
. . . . . . . 8
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27 | eleq2 2158 |
. . . . . . . . . 10
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28 | eleq1 2157 |
. . . . . . . . . 10
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29 | 27, 28 | orbi12d 745 |
. . . . . . . . 9
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30 | 29 | imbi2d 229 |
. . . . . . . 8
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31 | 26, 30 | imbi12d 233 |
. . . . . . 7
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32 | ordsoexmid.1 |
. . . . . . . . . . 11
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33 | df-iso 4148 |
. . . . . . . . . . 11
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34 | 32, 33 | mpbi 144 |
. . . . . . . . . 10
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35 | 34 | simpri 112 |
. . . . . . . . 9
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36 | epel 4143 |
. . . . . . . . . . . 12
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37 | epel 4143 |
. . . . . . . . . . . . 13
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38 | epel 4143 |
. . . . . . . . . . . . 13
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39 | 37, 38 | orbi12i 719 |
. . . . . . . . . . . 12
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40 | 36, 39 | imbi12i 238 |
. . . . . . . . . . 11
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41 | 40 | 2ralbii 2397 |
. . . . . . . . . 10
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42 | 41 | ralbii 2395 |
. . . . . . . . 9
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43 | 35, 42 | mpbi 144 |
. . . . . . . 8
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44 | 43 | rspec3 2475 |
. . . . . . 7
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45 | 24, 31, 44 | vtocl 2687 |
. . . . . 6
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46 | 16, 23, 45 | vtocl 2687 |
. . . . 5
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47 | 2, 15, 46 | vtocl 2687 |
. . . 4
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48 | 1, 4, 8, 47 | mp3an 1280 |
. . 3
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49 | 2 | elsn 3482 |
. . . . 5
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50 | ordtriexmidlem2 4365 |
. . . . 5
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51 | 49, 50 | sylbi 120 |
. . . 4
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52 | elirr 4385 |
. . . . . . 7
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53 | elrabi 2782 |
. . . . . . 7
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54 | 52, 53 | mto 626 |
. . . . . 6
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55 | elsuci 4254 |
. . . . . . 7
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56 | 55 | ord 681 |
. . . . . 6
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57 | 54, 56 | mpi 15 |
. . . . 5
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58 | 0ex 3987 |
. . . . . . 7
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59 | biidd 171 |
. . . . . . 7
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60 | 58, 59 | rabsnt 3537 |
. . . . . 6
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61 | 60 | eqcoms 2098 |
. . . . 5
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62 | 57, 61 | syl 14 |
. . . 4
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63 | 51, 62 | orim12i 714 |
. . 3
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64 | 3, 48, 63 | mp2b 8 |
. 2
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65 | orcom 685 |
. 2
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66 | 64, 65 | mpbi 144 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 582 ax-in2 583 ax-io 668 ax-5 1388 ax-7 1389 ax-gen 1390 ax-ie1 1434 ax-ie2 1435 ax-8 1447 ax-10 1448 ax-11 1449 ax-i12 1450 ax-bndl 1451 ax-4 1452 ax-13 1456 ax-14 1457 ax-17 1471 ax-i9 1475 ax-ial 1479 ax-i5r 1480 ax-ext 2077 ax-sep 3978 ax-nul 3986 ax-pow 4030 ax-pr 4060 ax-un 4284 ax-setind 4381 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3an 929 df-tru 1299 df-nf 1402 df-sb 1700 df-eu 1958 df-mo 1959 df-clab 2082 df-cleq 2088 df-clel 2091 df-nfc 2224 df-ne 2263 df-ral 2375 df-rex 2376 df-rab 2379 df-v 2635 df-dif 3015 df-un 3017 df-in 3019 df-ss 3026 df-nul 3303 df-pw 3451 df-sn 3472 df-pr 3473 df-op 3475 df-uni 3676 df-br 3868 df-opab 3922 df-tr 3959 df-eprel 4140 df-iso 4148 df-iord 4217 df-on 4219 df-suc 4222 |
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