ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ordsoexmid Unicode version

Theorem ordsoexmid 4573
Description: Weak linearity of ordinals implies the law of the excluded middle (that is, decidability of an arbitrary proposition). (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jan-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
ordsoexmid.1  |-  _E  Or  On
Assertion
Ref Expression
ordsoexmid  |-  ( ph  \/  -.  ph )

Proof of Theorem ordsoexmid
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtriexmidlem 4530 . . . . 5  |-  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  On
21elexi 2761 . . . 4  |-  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  _V
32sucid 4429 . . 3  |-  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }
41onsuci 4527 . . . 4  |-  suc  {
w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  On
5 suc0 4423 . . . . 5  |-  suc  (/)  =  { (/)
}
6 0elon 4404 . . . . . 6  |-  (/)  e.  On
76onsuci 4527 . . . . 5  |-  suc  (/)  e.  On
85, 7eqeltrri 2261 . . . 4  |-  { (/) }  e.  On
9 eleq1 2250 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( x  e.  On  <->  { w  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  On ) )
1093anbi1d 1326 . . . . . 6  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( ( x  e.  On  /\  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  On  /\  { (/) }  e.  On )  <->  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  On  /\  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  On  /\  { (/) }  e.  On ) ) )
11 eleq1 2250 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( x  e. 
suc  { w  e.  { (/)
}  |  ph }  <->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  suc  { w  e.  { (/)
}  |  ph }
) )
12 eleq1 2250 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( x  e. 
{ (/) }  <->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  { (/) } ) )
1312orbi1d 792 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( ( x  e.  { (/) }  \/  {
(/) }  e.  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph } )  <-> 
( { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  e.  { (/) }  \/  {
(/) }  e.  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph } ) ) )
1411, 13imbi12d 234 . . . . . 6  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( ( x  e.  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }  ->  ( x  e. 
{ (/) }  \/  { (/)
}  e.  suc  {
w  e.  { (/) }  |  ph } ) )  <->  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }  ->  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  { (/) }  \/  {
(/) }  e.  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph } ) ) ) )
1510, 14imbi12d 234 . . . . 5  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( ( ( x  e.  On  /\  suc  { w  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  On  /\  { (/) }  e.  On )  -> 
( x  e.  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }  ->  ( x  e.  { (/) }  \/  { (/) }  e.  suc  { w  e.  { (/)
}  |  ph }
) ) )  <->  ( ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  On  /\  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  On  /\  { (/)
}  e.  On )  ->  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }  ->  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  { (/) }  \/  {
(/) }  e.  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph } ) ) ) ) )
164elexi 2761 . . . . . 6  |-  suc  {
w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  _V
17 eleq1 2250 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }  ->  ( y  e.  On  <->  suc  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  e.  On )
)
18173anbi2d 1327 . . . . . . 7  |-  ( y  =  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }  ->  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On  /\  { (/) }  e.  On )  <->  ( x  e.  On  /\  suc  {
w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  On  /\  { (/) }  e.  On ) ) )
19 eleq2 2251 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }  ->  ( x  e.  y  <->  x  e.  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph } ) )
20 eleq2 2251 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }  ->  ( { (/) }  e.  y  <->  { (/) }  e.  suc  { w  e.  { (/)
}  |  ph }
) )
2120orbi2d 791 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }  ->  ( ( x  e.  { (/) }  \/  {
(/) }  e.  y
)  <->  ( x  e. 
{ (/) }  \/  { (/)
}  e.  suc  {
w  e.  { (/) }  |  ph } ) ) )
2219, 21imbi12d 234 . . . . . . 7  |-  ( y  =  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }  ->  ( ( x  e.  y  ->  (
x  e.  { (/) }  \/  { (/) }  e.  y ) )  <->  ( x  e.  suc  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( x  e. 
{ (/) }  \/  { (/)
}  e.  suc  {
w  e.  { (/) }  |  ph } ) ) ) )
2318, 22imbi12d 234 . . . . . 6  |-  ( y  =  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }  ->  ( ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On  /\  { (/)
}  e.  On )  ->  ( x  e.  y  ->  ( x  e.  { (/) }  \/  { (/)
}  e.  y ) ) )  <->  ( (
x  e.  On  /\  suc  { w  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  On  /\  { (/) }  e.  On )  -> 
( x  e.  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }  ->  ( x  e.  { (/) }  \/  { (/) }  e.  suc  { w  e.  { (/)
}  |  ph }
) ) ) ) )
24 p0ex 4200 . . . . . . 7  |-  { (/) }  e.  _V
25 eleq1 2250 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  { (/) }  ->  ( z  e.  On  <->  { (/) }  e.  On ) )
26253anbi3d 1328 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { (/) }  ->  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On  /\  z  e.  On )  <->  ( x  e.  On  /\  y  e.  On  /\  { (/)
}  e.  On ) ) )
27 eleq2 2251 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  { (/) }  ->  ( x  e.  z  <->  x  e.  {
(/) } ) )
28 eleq1 2250 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  { (/) }  ->  ( z  e.  y  <->  { (/) }  e.  y ) )
2927, 28orbi12d 794 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  { (/) }  ->  ( ( x  e.  z  \/  z  e.  y )  <->  ( x  e. 
{ (/) }  \/  { (/)
}  e.  y ) ) )
3029imbi2d 230 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { (/) }  ->  ( ( x  e.  y  ->  ( x  e.  z  \/  z  e.  y ) )  <->  ( x  e.  y  ->  ( x  e.  { (/) }  \/  {
(/) }  e.  y
) ) ) )
3126, 30imbi12d 234 . . . . . . 7  |-  ( z  =  { (/) }  ->  ( ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On  /\  z  e.  On )  ->  (
x  e.  y  -> 
( x  e.  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  ( (
x  e.  On  /\  y  e.  On  /\  { (/)
}  e.  On )  ->  ( x  e.  y  ->  ( x  e.  { (/) }  \/  { (/)
}  e.  y ) ) ) ) )
32 ordsoexmid.1 . . . . . . . . . . 11  |-  _E  Or  On
33 df-iso 4309 . . . . . . . . . . 11  |-  (  _E  Or  On  <->  (  _E  Po  On  /\  A. x  e.  On  A. y  e.  On  A. z  e.  On  ( x  _E  y  ->  ( x  _E  z  \/  z  _E  y ) ) ) )
3432, 33mpbi 145 . . . . . . . . . 10  |-  (  _E  Po  On  /\  A. x  e.  On  A. y  e.  On  A. z  e.  On  ( x  _E  y  ->  ( x  _E  z  \/  z  _E  y ) ) )
3534simpri 113 . . . . . . . . 9  |-  A. x  e.  On  A. y  e.  On  A. z  e.  On  ( x  _E  y  ->  ( x  _E  z  \/  z  _E  y ) )
36 epel 4304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  _E  y  <->  x  e.  y )
37 epel 4304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  _E  z  <->  x  e.  z )
38 epel 4304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  _E  y  <->  z  e.  y )
3937, 38orbi12i 765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  _E  z  \/  z  _E  y )  <-> 
( x  e.  z  \/  z  e.  y ) )
4036, 39imbi12i 239 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  _E  y  -> 
( x  _E  z  \/  z  _E  y
) )  <->  ( x  e.  y  ->  ( x  e.  z  \/  z  e.  y ) ) )
41402ralbii 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  On  A. z  e.  On  ( x  _E  y  ->  ( x  _E  z  \/  z  _E  y ) )  <->  A. y  e.  On  A. z  e.  On  ( x  e.  y  ->  ( x  e.  z  \/  z  e.  y ) ) )
4241ralbii 2493 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  On  A. y  e.  On  A. z  e.  On  ( x  _E  y  ->  ( x  _E  z  \/  z  _E  y ) )  <->  A. x  e.  On  A. y  e.  On  A. z  e.  On  ( x  e.  y  ->  ( x  e.  z  \/  z  e.  y ) ) )
4335, 42mpbi 145 . . . . . . . 8  |-  A. x  e.  On  A. y  e.  On  A. z  e.  On  ( x  e.  y  ->  ( x  e.  z  \/  z  e.  y ) )
4443rspec3 2577 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On  /\  z  e.  On )  ->  (
x  e.  y  -> 
( x  e.  z  \/  z  e.  y ) ) )
4524, 31, 44vtocl 2803 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On  /\  { (/)
}  e.  On )  ->  ( x  e.  y  ->  ( x  e.  { (/) }  \/  { (/)
}  e.  y ) ) )
4616, 23, 45vtocl 2803 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  On  /\  suc  { w  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  On  /\  { (/) }  e.  On )  -> 
( x  e.  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }  ->  ( x  e.  { (/) }  \/  { (/) }  e.  suc  { w  e.  { (/)
}  |  ph }
) ) )
472, 15, 46vtocl 2803 . . . 4  |-  ( ( { w  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  On  /\  suc  {
w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  On  /\  { (/) }  e.  On )  ->  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  suc  { w  e.  { (/)
}  |  ph }  ->  ( { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  e.  { (/) }  \/  {
(/) }  e.  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph } ) ) )
481, 4, 8, 47mp3an 1347 . . 3  |-  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  suc  { w  e.  { (/)
}  |  ph }  ->  ( { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  e.  { (/) }  \/  {
(/) }  e.  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph } ) )
492elsn 3620 . . . . 5  |-  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  {
(/) }  <->  { w  e.  { (/)
}  |  ph }  =  (/) )
50 ordtriexmidlem2 4531 . . . . 5  |-  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  =  (/) 
->  -.  ph )
5149, 50sylbi 121 . . . 4  |-  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  {
(/) }  ->  -.  ph )
52 elirr 4552 . . . . . . 7  |-  -.  { (/)
}  e.  { (/) }
53 elrabi 2902 . . . . . . 7  |-  ( {
(/) }  e.  { w  e.  { (/) }  |  ph }  ->  { (/) }  e.  {
(/) } )
5452, 53mto 663 . . . . . 6  |-  -.  { (/)
}  e.  { w  e.  { (/) }  |  ph }
55 elsuci 4415 . . . . . . 7  |-  ( {
(/) }  e.  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }  ->  ( { (/) }  e.  {
w  e.  { (/) }  |  ph }  \/  {
(/) }  =  {
w  e.  { (/) }  |  ph } ) )
5655ord 725 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  e.  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }  ->  ( -.  { (/) }  e.  { w  e.  { (/) }  |  ph }  ->  {
(/) }  =  {
w  e.  { (/) }  |  ph } ) )
5754, 56mpi 15 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  e.  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }  ->  {
(/) }  =  {
w  e.  { (/) }  |  ph } )
58 0ex 4142 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
59 biidd 172 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ph  <->  ph ) )
6058, 59rabsnt 3679 . . . . . 6  |-  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  =  { (/) }  ->  ph )
6160eqcoms 2190 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  =  {
w  e.  { (/) }  |  ph }  ->  ph )
6257, 61syl 14 . . . 4  |-  ( {
(/) }  e.  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }  ->  ph )
6351, 62orim12i 760 . . 3  |-  ( ( { w  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  { (/) }  \/  { (/)
}  e.  suc  {
w  e.  { (/) }  |  ph } )  ->  ( -.  ph  \/  ph ) )
643, 48, 63mp2b 8 . 2  |-  ( -. 
ph  \/  ph )
65 orcom 729 . 2  |-  ( ( -.  ph  \/  ph )  <->  (
ph  \/  -.  ph )
)
6664, 65mpbi 145 1  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    \/ wo 709    /\ w3a 979    = wceq 1363    e. wcel 2158   A.wral 2465   {crab 2469   (/)c0 3434   {csn 3604   class class class wbr 4015    _E cep 4299    Po wpo 4306    Or wor 4307   Oncon0 4375   suc csuc 4377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-tr 4114  df-eprel 4301  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator