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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > ordsoexmid | Unicode version |
Description: Weak linearity of ordinals implies the law of the excluded middle (that is, decidability of an arbitrary proposition). (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jan-2019.) |
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ordsoexmid.1 |
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ordsoexmid |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | ordtriexmidlem 4530 |
. . . . 5
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2 | 1 | elexi 2761 |
. . . 4
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3 | 2 | sucid 4429 |
. . 3
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4 | 1 | onsuci 4527 |
. . . 4
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5 | suc0 4423 |
. . . . 5
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6 | 0elon 4404 |
. . . . . 6
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7 | 6 | onsuci 4527 |
. . . . 5
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8 | 5, 7 | eqeltrri 2261 |
. . . 4
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9 | eleq1 2250 |
. . . . . . 7
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10 | 9 | 3anbi1d 1326 |
. . . . . 6
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11 | eleq1 2250 |
. . . . . . 7
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12 | eleq1 2250 |
. . . . . . . 8
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13 | 12 | orbi1d 792 |
. . . . . . 7
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14 | 11, 13 | imbi12d 234 |
. . . . . 6
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15 | 10, 14 | imbi12d 234 |
. . . . 5
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16 | 4 | elexi 2761 |
. . . . . 6
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17 | eleq1 2250 |
. . . . . . . 8
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18 | 17 | 3anbi2d 1327 |
. . . . . . 7
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19 | eleq2 2251 |
. . . . . . . 8
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20 | eleq2 2251 |
. . . . . . . . 9
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21 | 20 | orbi2d 791 |
. . . . . . . 8
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22 | 19, 21 | imbi12d 234 |
. . . . . . 7
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23 | 18, 22 | imbi12d 234 |
. . . . . 6
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24 | p0ex 4200 |
. . . . . . 7
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25 | eleq1 2250 |
. . . . . . . . 9
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26 | 25 | 3anbi3d 1328 |
. . . . . . . 8
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27 | eleq2 2251 |
. . . . . . . . . 10
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28 | eleq1 2250 |
. . . . . . . . . 10
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29 | 27, 28 | orbi12d 794 |
. . . . . . . . 9
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30 | 29 | imbi2d 230 |
. . . . . . . 8
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31 | 26, 30 | imbi12d 234 |
. . . . . . 7
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32 | ordsoexmid.1 |
. . . . . . . . . . 11
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33 | df-iso 4309 |
. . . . . . . . . . 11
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34 | 32, 33 | mpbi 145 |
. . . . . . . . . 10
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35 | 34 | simpri 113 |
. . . . . . . . 9
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36 | epel 4304 |
. . . . . . . . . . . 12
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37 | epel 4304 |
. . . . . . . . . . . . 13
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38 | epel 4304 |
. . . . . . . . . . . . 13
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39 | 37, 38 | orbi12i 765 |
. . . . . . . . . . . 12
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40 | 36, 39 | imbi12i 239 |
. . . . . . . . . . 11
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41 | 40 | 2ralbii 2495 |
. . . . . . . . . 10
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42 | 41 | ralbii 2493 |
. . . . . . . . 9
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43 | 35, 42 | mpbi 145 |
. . . . . . . 8
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44 | 43 | rspec3 2577 |
. . . . . . 7
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45 | 24, 31, 44 | vtocl 2803 |
. . . . . 6
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46 | 16, 23, 45 | vtocl 2803 |
. . . . 5
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47 | 2, 15, 46 | vtocl 2803 |
. . . 4
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48 | 1, 4, 8, 47 | mp3an 1347 |
. . 3
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49 | 2 | elsn 3620 |
. . . . 5
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50 | ordtriexmidlem2 4531 |
. . . . 5
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51 | 49, 50 | sylbi 121 |
. . . 4
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52 | elirr 4552 |
. . . . . . 7
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53 | elrabi 2902 |
. . . . . . 7
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54 | 52, 53 | mto 663 |
. . . . . 6
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55 | elsuci 4415 |
. . . . . . 7
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56 | 55 | ord 725 |
. . . . . 6
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57 | 54, 56 | mpi 15 |
. . . . 5
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58 | 0ex 4142 |
. . . . . . 7
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59 | biidd 172 |
. . . . . . 7
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60 | 58, 59 | rabsnt 3679 |
. . . . . 6
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61 | 60 | eqcoms 2190 |
. . . . 5
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62 | 57, 61 | syl 14 |
. . . 4
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63 | 51, 62 | orim12i 760 |
. . 3
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64 | 3, 48, 63 | mp2b 8 |
. 2
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65 | orcom 729 |
. 2
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66 | 64, 65 | mpbi 145 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1457 ax-7 1458 ax-gen 1459 ax-ie1 1503 ax-ie2 1504 ax-8 1514 ax-10 1515 ax-11 1516 ax-i12 1517 ax-bndl 1519 ax-4 1520 ax-17 1536 ax-i9 1540 ax-ial 1544 ax-i5r 1545 ax-13 2160 ax-14 2161 ax-ext 2169 ax-sep 4133 ax-nul 4141 ax-pow 4186 ax-pr 4221 ax-un 4445 ax-setind 4548 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 981 df-tru 1366 df-nf 1471 df-sb 1773 df-eu 2039 df-mo 2040 df-clab 2174 df-cleq 2180 df-clel 2183 df-nfc 2318 df-ne 2358 df-ral 2470 df-rex 2471 df-rab 2474 df-v 2751 df-dif 3143 df-un 3145 df-in 3147 df-ss 3154 df-nul 3435 df-pw 3589 df-sn 3610 df-pr 3611 df-op 3613 df-uni 3822 df-br 4016 df-opab 4077 df-tr 4114 df-eprel 4301 df-iso 4309 df-iord 4378 df-on 4380 df-suc 4383 |
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