Theorem sucpw1nel3 7210

Description: The successor of the power set of 1o is not an element of 3o. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sucpw1nel3	|- -. suc ~P 1o e. 3o

Proof of Theorem sucpw1nel3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 6403	. . . . . . 7 |- 1o e. _V
2	1	pwex 4169	. . . . . 6 |- ~P 1o e. _V
3	2	sucid 4402	. . . . 5 |- ~P 1o e. suc ~P 1o
4	3	ne0ii 3424	. . . 4 |- suc ~P 1o =/= (/)
5		pw1ne0 7205	. . . . . . . 8 |- ~P 1o =/= (/)
6	2	elsn 3599	. . . . . . . 8 |- ( ~P 1o e. { (/) } <-> ~P 1o = (/) )
7	5, 6	nemtbir 2429	. . . . . . 7 |- -. ~P 1o e. { (/) }
8		df1o2 6408	. . . . . . . 8 |- 1o = { (/) }
9	8	eleq2i 2237	. . . . . . 7 |- ( ~P 1o e. 1o <-> ~P 1o e. { (/) } )
10	7, 9	mtbir 666	. . . . . 6 |- -. ~P 1o e. 1o
11		eleq2 2234	. . . . . . 7 |- ( suc ~P 1o = 1o -> ( ~P 1o e. suc ~P 1o <-> ~P 1o e. 1o ) )
12	3, 11	mpbii 147	. . . . . 6 |- ( suc ~P 1o = 1o -> ~P 1o e. 1o )
13	10, 12	mto 657	. . . . 5 |- -. suc ~P 1o = 1o
14	13	neir 2343	. . . 4 |- suc ~P 1o =/= 1o
15	4, 14	nelpri 3607	. . 3 |- -. suc ~P 1o e. { (/) , 1o }
16		df2o3 6409	. . . 4 |- 2o = { (/) , 1o }
17	16	eleq2i 2237	. . 3 |- ( suc ~P 1o e. 2o <-> suc ~P 1o e. { (/) , 1o } )
18	15, 17	mtbir 666	. 2 |- -. suc ~P 1o e. 2o
19		pw1ne1 7206	. . . . . 6 |- ~P 1o =/= 1o
20	5, 19	nelpri 3607	. . . . 5 |- -. ~P 1o e. { (/) , 1o }
21	16	eleq2i 2237	. . . . 5 |- ( ~P 1o e. 2o <-> ~P 1o e. { (/) , 1o } )
22	20, 21	mtbir 666	. . . 4 |- -. ~P 1o e. 2o
23		eleq2 2234	. . . . 5 |- ( suc ~P 1o = 2o -> ( ~P 1o e. suc ~P 1o <-> ~P 1o e. 2o ) )
24	3, 23	mpbii 147	. . . 4 |- ( suc ~P 1o = 2o -> ~P 1o e. 2o )
25	22, 24	mto 657	. . 3 |- -. suc ~P 1o = 2o
26	2	sucex 4483	. . . 4 |- suc ~P 1o e. _V
27	26	elsn 3599	. . 3 |- ( suc ~P 1o e. { 2o } <-> suc ~P 1o = 2o )
28	25, 27	mtbir 666	. 2 |- -. suc ~P 1o e. { 2o }
29		ioran 747	. . 3 |- ( -. ( suc ~P 1o e. 2o \/ suc ~P 1o e. { 2o } ) <-> ( -. suc ~P 1o e. 2o /\ -. suc ~P 1o e. { 2o } ) )
30		df-3o 6397	. . . . . 6 |- 3o = suc 2o
31		df-suc 4356	. . . . . 6 |- suc 2o = ( 2o u. { 2o } )
32	30, 31	eqtri 2191	. . . . 5 |- 3o = ( 2o u. { 2o } )
33	32	eleq2i 2237	. . . 4 |- ( suc ~P 1o e. 3o <-> suc ~P 1o e. ( 2o u. { 2o } ) )
34		elun 3268	. . . 4 |- ( suc ~P 1o e. ( 2o u. { 2o } ) <-> ( suc ~P 1o e. 2o \/ suc ~P 1o e. { 2o } ) )
35	33, 34	bitri 183	. . 3 |- ( suc ~P 1o e. 3o <-> ( suc ~P 1o e. 2o \/ suc ~P 1o e. { 2o } ) )
36	29, 35	xchnxbir 676	. 2 |- ( -. suc ~P 1o e. 3o <-> ( -. suc ~P 1o e. 2o /\ -. suc ~P 1o e. { 2o } ) )
37	18, 28, 36	mpbir2an 937	1 |- -. suc ~P 1o e. 3o

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   \/ wo 703   = wceq 1348   e. wcel 2141   u. cun 3119   (/)c0 3414   ~Pcpw 3566   {csn 3583   {cpr 3584   suc csuc 4350   1oc1o 6388   2oc2o 6389   3oc3o 6390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797  df-tr 4088  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-1o 6395  df-2o 6396  df-3o 6397

This theorem is referenced by:  onntri35  7214