Theorem sucpw1nel3 7234

Description: The successor of the power set of 1o is not an element of 3o. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sucpw1nel3	|- -. suc ~P 1o e. 3o

Proof of Theorem sucpw1nel3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 6427	. . . . . . 7 |- 1o e. _V
2	1	pwex 4185	. . . . . 6 |- ~P 1o e. _V
3	2	sucid 4419	. . . . 5 |- ~P 1o e. suc ~P 1o
4	3	ne0ii 3434	. . . 4 |- suc ~P 1o =/= (/)
5		pw1ne0 7229	. . . . . . . 8 |- ~P 1o =/= (/)
6	2	elsn 3610	. . . . . . . 8 |- ( ~P 1o e. { (/) } <-> ~P 1o = (/) )
7	5, 6	nemtbir 2436	. . . . . . 7 |- -. ~P 1o e. { (/) }
8		df1o2 6432	. . . . . . . 8 |- 1o = { (/) }
9	8	eleq2i 2244	. . . . . . 7 |- ( ~P 1o e. 1o <-> ~P 1o e. { (/) } )
10	7, 9	mtbir 671	. . . . . 6 |- -. ~P 1o e. 1o
11		eleq2 2241	. . . . . . 7 |- ( suc ~P 1o = 1o -> ( ~P 1o e. suc ~P 1o <-> ~P 1o e. 1o ) )
12	3, 11	mpbii 148	. . . . . 6 |- ( suc ~P 1o = 1o -> ~P 1o e. 1o )
13	10, 12	mto 662	. . . . 5 |- -. suc ~P 1o = 1o
14	13	neir 2350	. . . 4 |- suc ~P 1o =/= 1o
15	4, 14	nelpri 3618	. . 3 |- -. suc ~P 1o e. { (/) , 1o }
16		df2o3 6433	. . . 4 |- 2o = { (/) , 1o }
17	16	eleq2i 2244	. . 3 |- ( suc ~P 1o e. 2o <-> suc ~P 1o e. { (/) , 1o } )
18	15, 17	mtbir 671	. 2 |- -. suc ~P 1o e. 2o
19		pw1ne1 7230	. . . . . 6 |- ~P 1o =/= 1o
20	5, 19	nelpri 3618	. . . . 5 |- -. ~P 1o e. { (/) , 1o }
21	16	eleq2i 2244	. . . . 5 |- ( ~P 1o e. 2o <-> ~P 1o e. { (/) , 1o } )
22	20, 21	mtbir 671	. . . 4 |- -. ~P 1o e. 2o
23		eleq2 2241	. . . . 5 |- ( suc ~P 1o = 2o -> ( ~P 1o e. suc ~P 1o <-> ~P 1o e. 2o ) )
24	3, 23	mpbii 148	. . . 4 |- ( suc ~P 1o = 2o -> ~P 1o e. 2o )
25	22, 24	mto 662	. . 3 |- -. suc ~P 1o = 2o
26	2	sucex 4500	. . . 4 |- suc ~P 1o e. _V
27	26	elsn 3610	. . 3 |- ( suc ~P 1o e. { 2o } <-> suc ~P 1o = 2o )
28	25, 27	mtbir 671	. 2 |- -. suc ~P 1o e. { 2o }
29		ioran 752	. . 3 |- ( -. ( suc ~P 1o e. 2o \/ suc ~P 1o e. { 2o } ) <-> ( -. suc ~P 1o e. 2o /\ -. suc ~P 1o e. { 2o } ) )
30		df-3o 6421	. . . . . 6 |- 3o = suc 2o
31		df-suc 4373	. . . . . 6 |- suc 2o = ( 2o u. { 2o } )
32	30, 31	eqtri 2198	. . . . 5 |- 3o = ( 2o u. { 2o } )
33	32	eleq2i 2244	. . . 4 |- ( suc ~P 1o e. 3o <-> suc ~P 1o e. ( 2o u. { 2o } ) )
34		elun 3278	. . . 4 |- ( suc ~P 1o e. ( 2o u. { 2o } ) <-> ( suc ~P 1o e. 2o \/ suc ~P 1o e. { 2o } ) )
35	33, 34	bitri 184	. . 3 |- ( suc ~P 1o e. 3o <-> ( suc ~P 1o e. 2o \/ suc ~P 1o e. { 2o } ) )
36	29, 35	xchnxbir 681	. 2 |- ( -. suc ~P 1o e. 3o <-> ( -. suc ~P 1o e. 2o /\ -. suc ~P 1o e. { 2o } ) )
37	18, 28, 36	mpbir2an 942	1 |- -. suc ~P 1o e. 3o

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   u. cun 3129   (/)c0 3424   ~Pcpw 3577   {csn 3594   {cpr 3595   suc csuc 4367   1oc1o 6412   2oc2o 6413   3oc3o 6414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-uni 3812  df-tr 4104  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-1o 6419  df-2o 6420  df-3o 6421

This theorem is referenced by:  onntri35  7238