Theorem sucpw1nel3 7189

Description: The successor of the power set of 1o is not an element of 3o. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sucpw1nel3	|- -. suc ~P 1o e. 3o

Proof of Theorem sucpw1nel3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 6392	. . . . . . 7 |- 1o e. _V
2	1	pwex 4162	. . . . . 6 |- ~P 1o e. _V
3	2	sucid 4395	. . . . 5 |- ~P 1o e. suc ~P 1o
4	3	ne0ii 3418	. . . 4 |- suc ~P 1o =/= (/)
5		pw1ne0 7184	. . . . . . . 8 |- ~P 1o =/= (/)
6	2	elsn 3592	. . . . . . . 8 |- ( ~P 1o e. { (/) } <-> ~P 1o = (/) )
7	5, 6	nemtbir 2425	. . . . . . 7 |- -. ~P 1o e. { (/) }
8		df1o2 6397	. . . . . . . 8 |- 1o = { (/) }
9	8	eleq2i 2233	. . . . . . 7 |- ( ~P 1o e. 1o <-> ~P 1o e. { (/) } )
10	7, 9	mtbir 661	. . . . . 6 |- -. ~P 1o e. 1o
11		eleq2 2230	. . . . . . 7 |- ( suc ~P 1o = 1o -> ( ~P 1o e. suc ~P 1o <-> ~P 1o e. 1o ) )
12	3, 11	mpbii 147	. . . . . 6 |- ( suc ~P 1o = 1o -> ~P 1o e. 1o )
13	10, 12	mto 652	. . . . 5 |- -. suc ~P 1o = 1o
14	13	neir 2339	. . . 4 |- suc ~P 1o =/= 1o
15	4, 14	nelpri 3600	. . 3 |- -. suc ~P 1o e. { (/) , 1o }
16		df2o3 6398	. . . 4 |- 2o = { (/) , 1o }
17	16	eleq2i 2233	. . 3 |- ( suc ~P 1o e. 2o <-> suc ~P 1o e. { (/) , 1o } )
18	15, 17	mtbir 661	. 2 |- -. suc ~P 1o e. 2o
19		pw1ne1 7185	. . . . . 6 |- ~P 1o =/= 1o
20	5, 19	nelpri 3600	. . . . 5 |- -. ~P 1o e. { (/) , 1o }
21	16	eleq2i 2233	. . . . 5 |- ( ~P 1o e. 2o <-> ~P 1o e. { (/) , 1o } )
22	20, 21	mtbir 661	. . . 4 |- -. ~P 1o e. 2o
23		eleq2 2230	. . . . 5 |- ( suc ~P 1o = 2o -> ( ~P 1o e. suc ~P 1o <-> ~P 1o e. 2o ) )
24	3, 23	mpbii 147	. . . 4 |- ( suc ~P 1o = 2o -> ~P 1o e. 2o )
25	22, 24	mto 652	. . 3 |- -. suc ~P 1o = 2o
26	2	sucex 4476	. . . 4 |- suc ~P 1o e. _V
27	26	elsn 3592	. . 3 |- ( suc ~P 1o e. { 2o } <-> suc ~P 1o = 2o )
28	25, 27	mtbir 661	. 2 |- -. suc ~P 1o e. { 2o }
29		ioran 742	. . 3 |- ( -. ( suc ~P 1o e. 2o \/ suc ~P 1o e. { 2o } ) <-> ( -. suc ~P 1o e. 2o /\ -. suc ~P 1o e. { 2o } ) )
30		df-3o 6386	. . . . . 6 |- 3o = suc 2o
31		df-suc 4349	. . . . . 6 |- suc 2o = ( 2o u. { 2o } )
32	30, 31	eqtri 2186	. . . . 5 |- 3o = ( 2o u. { 2o } )
33	32	eleq2i 2233	. . . 4 |- ( suc ~P 1o e. 3o <-> suc ~P 1o e. ( 2o u. { 2o } ) )
34		elun 3263	. . . 4 |- ( suc ~P 1o e. ( 2o u. { 2o } ) <-> ( suc ~P 1o e. 2o \/ suc ~P 1o e. { 2o } ) )
35	33, 34	bitri 183	. . 3 |- ( suc ~P 1o e. 3o <-> ( suc ~P 1o e. 2o \/ suc ~P 1o e. { 2o } ) )
36	29, 35	xchnxbir 671	. 2 |- ( -. suc ~P 1o e. 3o <-> ( -. suc ~P 1o e. 2o /\ -. suc ~P 1o e. { 2o } ) )
37	18, 28, 36	mpbir2an 932	1 |- -. suc ~P 1o e. 3o

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   \/ wo 698   = wceq 1343   e. wcel 2136   u. cun 3114   (/)c0 3409   ~Pcpw 3559   {csn 3576   {cpr 3577   suc csuc 4343   1oc1o 6377   2oc2o 6378   3oc3o 6379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790  df-tr 4081  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-1o 6384  df-2o 6385  df-3o 6386

This theorem is referenced by:  onntri35  7193