Theorem opelreal 7748

Description: Ordered pair membership in class of real subset of complex numbers. (Contributed by NM, 22-Feb-1996.)

Assertion

Ref	Expression
opelreal	|- ( <. A , 0R >. e. RR <-> A e. R. )

Proof of Theorem opelreal

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2157	. 2 |- 0R = 0R
2		df-r 7743	. . . 4 |- RR = ( R. X. { 0R } )
3	2	eleq2i 2224	. . 3 |- ( <. A , 0R >. e. RR <-> <. A , 0R >. e. ( R. X. { 0R } ) )
4		opelxp 4617	. . 3 |- ( <. A , 0R >. e. ( R. X. { 0R } ) <-> ( A e. R. /\ 0R e. { 0R } ) )
5		0r 7671	. . . . . 6 |- 0R e. R.
6	5	elexi 2724	. . . . 5 |- 0R e. _V
7	6	elsn 3576	. . . 4 |- ( 0R e. { 0R } <-> 0R = 0R )
8	7	anbi2i 453	. . 3 |- ( ( A e. R. /\ 0R e. { 0R } ) <-> ( A e. R. /\ 0R = 0R ) )
9	3, 4, 8	3bitri 205	. 2 |- ( <. A , 0R >. e. RR <-> ( A e. R. /\ 0R = 0R ) )
10	1, 9	mpbiran2 926	1 |- ( <. A , 0R >. e. RR <-> A e. R. )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128   {csn 3560   <.cop 3563   X. cxp 4585   R.cnr 7218   0Rc0r 7219   RRcr 7732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-eprel 4250  df-id 4254  df-po 4257  df-iso 4258  df-iord 4327  df-on 4329  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-recs 6253  df-irdg 6318  df-1o 6364  df-oadd 6368  df-omul 6369  df-er 6481  df-ec 6483  df-qs 6487  df-ni 7225  df-pli 7226  df-mi 7227  df-lti 7228  df-plpq 7265  df-mpq 7266  df-enq 7268  df-nqqs 7269  df-plqqs 7270  df-mqqs 7271  df-1nqqs 7272  df-rq 7273  df-ltnqqs 7274  df-inp 7387  df-i1p 7388  df-enr 7647  df-nr 7648  df-0r 7652  df-r 7743

This theorem is referenced by:  ltresr  7760  pitore  7771  recnnre  7772  peano1nnnn  7773  ax1cn  7782  ax1re  7783  axaddrcl  7786  axmulrcl  7788  axrnegex  7800  axprecex  7801  axcnre  7802  axcaucvglemres  7820  axpre-suploclemres  7822