Theorem elsucg 4435

Description: Membership in a successor. Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 17. (Contributed by NM, 15-Sep-1995.)

Assertion

Ref	Expression
elsucg	|- ( A e. V -> ( A e. suc B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )

Proof of Theorem elsucg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-suc 4402	. . . 4 |- suc B = ( B u. { B } )
2	1	eleq2i 2260	. . 3 |- ( A e. suc B <-> A e. ( B u. { B } ) )
3		elun 3300	. . 3 |- ( A e. ( B u. { B } ) <-> ( A e. B \/ A e. { B } ) )
4	2, 3	bitri 184	. 2 |- ( A e. suc B <-> ( A e. B \/ A e. { B } ) )
5		elsng 3633	. . 3 |- ( A e. V -> ( A e. { B } <-> A = B ) )
6	5	orbi2d 791	. 2 |- ( A e. V -> ( ( A e. B \/ A e. { B } ) <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )
7	4, 6	bitrid 192	1 |- ( A e. V -> ( A e. suc B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2164   u. cun 3151   {csn 3618   suc csuc 4396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-un 3157  df-sn 3624  df-suc 4402

This theorem is referenced by:  elsuc  4437  elelsuc  4440  sucidg  4447  onsucelsucr  4540  onsucsssucexmid  4559  suc11g  4589  nnsssuc  6555  nlt1pig  7401  bj-peano4  15447