Theorem elsucg 4376

Description: Membership in a successor. Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 17. (Contributed by NM, 15-Sep-1995.)

Assertion

Ref	Expression
elsucg	|- ( A e. V -> ( A e. suc B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )

Proof of Theorem elsucg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-suc 4343	. . . 4 |- suc B = ( B u. { B } )
2	1	eleq2i 2231	. . 3 |- ( A e. suc B <-> A e. ( B u. { B } ) )
3		elun 3258	. . 3 |- ( A e. ( B u. { B } ) <-> ( A e. B \/ A e. { B } ) )
4	2, 3	bitri 183	. 2 |- ( A e. suc B <-> ( A e. B \/ A e. { B } ) )
5		elsng 3585	. . 3 |- ( A e. V -> ( A e. { B } <-> A = B ) )
6	5	orbi2d 780	. 2 |- ( A e. V -> ( ( A e. B \/ A e. { B } ) <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )
7	4, 6	syl5bb 191	1 |- ( A e. V -> ( A e. suc B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1342   e. wcel 2135   u. cun 3109   {csn 3570   suc csuc 4337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-ext 2146

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-v 2723  df-un 3115  df-sn 3576  df-suc 4343

This theorem is referenced by:  elsuc  4378  elelsuc  4381  sucidg  4388  onsucelsucr  4479  onsucsssucexmid  4498  suc11g  4528  nnsssuc  6461  nlt1pig  7273  bj-peano4  13672