Theorem elsucg 4389

Description: Membership in a successor. Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 17. (Contributed by NM, 15-Sep-1995.)

Assertion

Ref	Expression
elsucg	|- ( A e. V -> ( A e. suc B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )

Proof of Theorem elsucg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-suc 4356	. . . 4 |- suc B = ( B u. { B } )
2	1	eleq2i 2237	. . 3 |- ( A e. suc B <-> A e. ( B u. { B } ) )
3		elun 3268	. . 3 |- ( A e. ( B u. { B } ) <-> ( A e. B \/ A e. { B } ) )
4	2, 3	bitri 183	. 2 |- ( A e. suc B <-> ( A e. B \/ A e. { B } ) )
5		elsng 3598	. . 3 |- ( A e. V -> ( A e. { B } <-> A = B ) )
6	5	orbi2d 785	. 2 |- ( A e. V -> ( ( A e. B \/ A e. { B } ) <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )
7	4, 6	syl5bb 191	1 |- ( A e. V -> ( A e. suc B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   \/ wo 703   = wceq 1348   e. wcel 2141   u. cun 3119   {csn 3583   suc csuc 4350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-un 3125  df-sn 3589  df-suc 4356

This theorem is referenced by:  elsuc  4391  elelsuc  4394  sucidg  4401  onsucelsucr  4492  onsucsssucexmid  4511  suc11g  4541  nnsssuc  6481  nlt1pig  7303  bj-peano4  13990