Theorem elsucg 4439

Description: Membership in a successor. Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 17. (Contributed by NM, 15-Sep-1995.)

Assertion

Ref	Expression
elsucg	|- ( A e. V -> ( A e. suc B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )

Proof of Theorem elsucg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-suc 4406	. . . 4 |- suc B = ( B u. { B } )
2	1	eleq2i 2263	. . 3 |- ( A e. suc B <-> A e. ( B u. { B } ) )
3		elun 3304	. . 3 |- ( A e. ( B u. { B } ) <-> ( A e. B \/ A e. { B } ) )
4	2, 3	bitri 184	. 2 |- ( A e. suc B <-> ( A e. B \/ A e. { B } ) )
5		elsng 3637	. . 3 |- ( A e. V -> ( A e. { B } <-> A = B ) )
6	5	orbi2d 791	. 2 |- ( A e. V -> ( ( A e. B \/ A e. { B } ) <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )
7	4, 6	bitrid 192	1 |- ( A e. V -> ( A e. suc B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2167   u. cun 3155   {csn 3622   suc csuc 4400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3628  df-suc 4406

This theorem is referenced by:  elsuc  4441  elelsuc  4444  sucidg  4451  onsucelsucr  4544  onsucsssucexmid  4563  suc11g  4593  nnsssuc  6560  nlt1pig  7408  bj-peano4  15601