Theorem elsucg 4326

Description: Membership in a successor. Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 17. (Contributed by NM, 15-Sep-1995.)

Assertion

Ref	Expression
elsucg	|- ( A e. V -> ( A e. suc B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )

Proof of Theorem elsucg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-suc 4293	. . . 4 |- suc B = ( B u. { B } )
2	1	eleq2i 2206	. . 3 |- ( A e. suc B <-> A e. ( B u. { B } ) )
3		elun 3217	. . 3 |- ( A e. ( B u. { B } ) <-> ( A e. B \/ A e. { B } ) )
4	2, 3	bitri 183	. 2 |- ( A e. suc B <-> ( A e. B \/ A e. { B } ) )
5		elsng 3542	. . 3 |- ( A e. V -> ( A e. { B } <-> A = B ) )
6	5	orbi2d 779	. 2 |- ( A e. V -> ( ( A e. B \/ A e. { B } ) <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )
7	4, 6	syl5bb 191	1 |- ( A e. V -> ( A e. suc B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   \/ wo 697   = wceq 1331   e. wcel 1480   u. cun 3069   {csn 3527   suc csuc 4287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-un 3075  df-sn 3533  df-suc 4293

This theorem is referenced by:  elsuc  4328  elelsuc  4331  sucidg  4338  onsucelsucr  4424  onsucsssucexmid  4442  suc11g  4472  nnsssuc  6398  nlt1pig  7149  bj-peano4  13153