Theorem elsucg 4549

Description: Membership in a successor. Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 17. (Contributed by NM, 15-Sep-1995.)

Assertion

Ref	Expression
elsucg	|- ( A e. V -> ( A e. suc B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )

Proof of Theorem elsucg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-suc 4516	. . . 4 |- suc B = ( B u. { B } )
2	1	eleq2i 2305	. . 3 |- ( A e. suc B <-> A e. ( B u. { B } ) )
3		elun 3370	. . 3 |- ( A e. ( B u. { B } ) <-> ( A e. B \/ A e. { B } ) )
4	2, 3	bitri 184	. 2 |- ( A e. suc B <-> ( A e. B \/ A e. { B } ) )
5		elsng 3724	. . 3 |- ( A e. V -> ( A e. { B } <-> A = B ) )
6	5	orbi2d 802	. 2 |- ( A e. V -> ( ( A e. B \/ A e. { B } ) <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )
7	4, 6	bitrid 192	1 |- ( A e. V -> ( A e. suc B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   u. cun 3218   {csn 3709   suc csuc 4510

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-suc 4516

This theorem is used by:  elsuc  4551  elelsuc  4554  sucidg  4561  onsucelsucr  4655  onsucsssucexmid  4674  suc11g  4704  nnsssuc  6775  nlt1pig  7708  bj-peano4  16981