Theorem elsuci 4381

Description: Membership in a successor. This one-way implication does not require that either A or B be sets. (Contributed by NM, 6-Jun-1994.)

Assertion

Ref	Expression
elsuci	|- ( A e. suc B -> ( A e. B \/ A = B ) )

Proof of Theorem elsuci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-suc 4349	. . . 4 |- suc B = ( B u. { B } )
2	1	eleq2i 2233	. . 3 |- ( A e. suc B <-> A e. ( B u. { B } ) )
3		elun 3263	. . 3 |- ( A e. ( B u. { B } ) <-> ( A e. B \/ A e. { B } ) )
4	2, 3	bitri 183	. 2 |- ( A e. suc B <-> ( A e. B \/ A e. { B } ) )
5		elsni 3594	. . 3 |- ( A e. { B } -> A = B )
6	5	orim2i 751	. 2 |- ( ( A e. B \/ A e. { B } ) -> ( A e. B \/ A = B ) )
7	4, 6	sylbi 120	1 |- ( A e. suc B -> ( A e. B \/ A = B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 698   = wceq 1343   e. wcel 2136   u. cun 3114   {csn 3576   suc csuc 4343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-un 3120  df-sn 3582  df-suc 4349

This theorem is referenced by:  trsucss  4401  onsucelsucexmid  4507  ordsoexmid  4539  ordsuc  4540  ordpwsucexmid  4547  nnsucelsuc  6459  nntri3or  6461  nnmordi  6484  nnaordex  6495  phplem3  6820  nnnninf2  7091  3nelsucpw1  7190  3nsssucpw1  7192