Theorem elsuci 4405

Description: Membership in a successor. This one-way implication does not require that either A or B be sets. (Contributed by NM, 6-Jun-1994.)

Assertion

Ref	Expression
elsuci	|- ( A e. suc B -> ( A e. B \/ A = B ) )

Proof of Theorem elsuci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-suc 4373	. . . 4 |- suc B = ( B u. { B } )
2	1	eleq2i 2244	. . 3 |- ( A e. suc B <-> A e. ( B u. { B } ) )
3		elun 3278	. . 3 |- ( A e. ( B u. { B } ) <-> ( A e. B \/ A e. { B } ) )
4	2, 3	bitri 184	. 2 |- ( A e. suc B <-> ( A e. B \/ A e. { B } ) )
5		elsni 3612	. . 3 |- ( A e. { B } -> A = B )
6	5	orim2i 761	. 2 |- ( ( A e. B \/ A e. { B } ) -> ( A e. B \/ A = B ) )
7	4, 6	sylbi 121	1 |- ( A e. suc B -> ( A e. B \/ A = B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   u. cun 3129   {csn 3594   suc csuc 4367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2741  df-un 3135  df-sn 3600  df-suc 4373

This theorem is referenced by:  trsucss  4425  onsucelsucexmid  4531  ordsoexmid  4563  ordsuc  4564  ordpwsucexmid  4571  nnsucelsuc  6494  nntri3or  6496  nnmordi  6519  nnaordex  6531  phplem3  6856  nnnninf2  7127  3nelsucpw1  7235  3nsssucpw1  7237