Theorem elsuci 4415

Description: Membership in a successor. This one-way implication does not require that either A or B be sets. (Contributed by NM, 6-Jun-1994.)

Assertion

Ref	Expression
elsuci	|- ( A e. suc B -> ( A e. B \/ A = B ) )

Proof of Theorem elsuci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-suc 4383	. . . 4 |- suc B = ( B u. { B } )
2	1	eleq2i 2254	. . 3 |- ( A e. suc B <-> A e. ( B u. { B } ) )
3		elun 3288	. . 3 |- ( A e. ( B u. { B } ) <-> ( A e. B \/ A e. { B } ) )
4	2, 3	bitri 184	. 2 |- ( A e. suc B <-> ( A e. B \/ A e. { B } ) )
5		elsni 3622	. . 3 |- ( A e. { B } -> A = B )
6	5	orim2i 762	. 2 |- ( ( A e. B \/ A e. { B } ) -> ( A e. B \/ A = B ) )
7	4, 6	sylbi 121	1 |- ( A e. suc B -> ( A e. B \/ A = B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 709   = wceq 1363   e. wcel 2158   u. cun 3139   {csn 3604   suc csuc 4377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-ext 2169

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-v 2751  df-un 3145  df-sn 3610  df-suc 4383

This theorem is referenced by:  trsucss  4435  onsucelsucexmid  4541  ordsoexmid  4573  ordsuc  4574  ordpwsucexmid  4581  nnsucelsuc  6505  nntri3or  6507  nnmordi  6530  nnaordex  6542  phplem3  6867  nnnninf2  7138  3nelsucpw1  7246  3nsssucpw1  7248