Theorem elsucg 4451

Description: Membership in a successor. Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 17. (Contributed by NM, 15-Sep-1995.)

Assertion

Ref	Expression
elsucg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

Proof of Theorem elsucg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-suc 4418	. . . 4 ⊢ suc 𝐵 = (𝐵 ∪ {𝐵})
2	1	eleq2i 2272	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ (𝐵 ∪ {𝐵}))
3		elun 3314	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∪ {𝐵}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 ∈ {𝐵}))
4	2, 3	bitri 184	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 ∈ {𝐵}))
5		elsng 3648	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ {𝐵} ↔ 𝐴 = 𝐵))
6	5	orbi2d 792	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 ∈ {𝐵}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
7	4, 6	bitrid 192	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 710   = wceq 1373   ∈ wcel 2176   ∪ cun 3164  {csn 3633  suc csuc 4412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-v 2774  df-un 3170  df-sn 3639  df-suc 4418

This theorem is referenced by:  elsuc  4453  elelsuc  4456  sucidg  4463  onsucelsucr  4556  onsucsssucexmid  4575  suc11g  4605  nnsssuc  6588  nlt1pig  7454  bj-peano4  15891