Theorem elsucg 4494

Description: Membership in a successor. Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 17. (Contributed by NM, 15-Sep-1995.)

Assertion

Ref	Expression
elsucg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

Proof of Theorem elsucg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-suc 4461	. . . 4 ⊢ suc 𝐵 = (𝐵 ∪ {𝐵})
2	1	eleq2i 2296	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ (𝐵 ∪ {𝐵}))
3		elun 3345	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∪ {𝐵}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 ∈ {𝐵}))
4	2, 3	bitri 184	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 ∈ {𝐵}))
5		elsng 3681	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ {𝐵} ↔ 𝐴 = 𝐵))
6	5	orbi2d 795	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 ∈ {𝐵}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
7	4, 6	bitrid 192	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 713   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ∪ cun 3195  {csn 3666  suc csuc 4455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-un 3201  df-sn 3672  df-suc 4461

This theorem is referenced by:  elsuc  4496  elelsuc  4499  sucidg  4506  onsucelsucr  4599  onsucsssucexmid  4618  suc11g  4648  nnsssuc  6646  nlt1pig  7524  bj-peano4  16276