ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnsssuc Unicode version

Theorem nnsssuc 6391
Description: A natural number is a subset of another natural number if and only if it belongs to its successor. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
nnsssuc  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  A  e.  suc  B ) )

Proof of Theorem nnsssuc
StepHypRef Expression
1 nnsseleq 6390 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  ( A  e.  B  \/  A  =  B )
) )
2 elsucg 4321 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  e.  suc  B  <->  ( A  e.  B  \/  A  =  B ) ) )
32adantr 274 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  suc  B  <-> 
( A  e.  B  \/  A  =  B
) ) )
41, 3bitr4d 190 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  A  e.  suc  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 697    = wceq 1331    e. wcel 1480    C_ wss 3066   suc csuc 4282   omcom 4499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-uni 3732  df-int 3767  df-tr 4022  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500
This theorem is referenced by:  ctinfomlemom  11929
  Copyright terms: Public domain W3C validator