Theorem nnsssuc 6648

Description: A natural number is a subset of another natural number if and only if it belongs to its successor. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nnsssuc	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> A e. suc B ) )

Proof of Theorem nnsssuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsseleq 6647	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )
2		elsucg 4495	. . 3 |- ( A e. om -> ( A e. suc B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )
3	2	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. suc B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )
4	1, 3	bitr4d 191	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> A e. suc B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   C_ wss 3197   suc csuc 4456   omcom 4682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-uni 3889  df-int 3924  df-tr 4183  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683

This theorem is referenced by:  nninfninc  7290  ctinfomlemom  12998