Theorem nnsssuc 6452

Description: A natural number is a subset of another natural number if and only if it belongs to its successor. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nnsssuc	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> A e. suc B ) )

Proof of Theorem nnsssuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsseleq 6451	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )
2		elsucg 4367	. . 3 |- ( A e. om -> ( A e. suc B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )
3	2	adantr 274	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. suc B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )
4	1, 3	bitr4d 190	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> A e. suc B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1335   e. wcel 2128   C_ wss 3102   suc csuc 4328   omcom 4552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4085  ax-nul 4093  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396  ax-setind 4499  ax-iinf 4550

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-uni 3775  df-int 3810  df-tr 4066  df-iord 4329  df-on 4331  df-suc 4334  df-iom 4553

This theorem is referenced by:  ctinfomlemom  12252