Theorem nnsssuc 6500

Description: A natural number is a subset of another natural number if and only if it belongs to its successor. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nnsssuc	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> A e. suc B ) )

Proof of Theorem nnsssuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsseleq 6499	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )
2		elsucg 4403	. . 3 |- ( A e. om -> ( A e. suc B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )
3	2	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. suc B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )
4	1, 3	bitr4d 191	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> A e. suc B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   C_ wss 3129   suc csuc 4364   omcom 4588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-uni 3810  df-int 3845  df-tr 4101  df-iord 4365  df-on 4367  df-suc 4370  df-iom 4589

This theorem is referenced by:  ctinfomlemom  12420