Theorem elxp3 4665

Description: Membership in a cross product. (Contributed by NM, 5-Mar-1995.)

Assertion

Ref	Expression
elxp3	|- ( A e. ( B X. C ) <-> E. x E. y ( <. x , y >. = A /\ <. x , y >. e. ( B X. C ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y

Proof of Theorem elxp3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 4628	. 2 |- ( A e. ( B X. C ) <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
2		eqcom 2172	. . . 4 |- ( <. x , y >. = A <-> A = <. x , y >. )
3		opelxp 4641	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( B X. C ) <-> ( x e. B /\ y e. C ) )
4	2, 3	anbi12i 457	. . 3 |- ( ( <. x , y >. = A /\ <. x , y >. e. ( B X. C ) ) <-> ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
5	4	2exbii 1599	. 2 |- ( E. x E. y ( <. x , y >. = A /\ <. x , y >. e. ( B X. C ) ) <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
6	1, 5	bitr4i 186	1 |- ( A e. ( B X. C ) <-> E. x E. y ( <. x , y >. = A /\ <. x , y >. e. ( B X. C ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   <.cop 3586   X. cxp 4609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-opab 4051  df-xp 4617

This theorem is referenced by:  optocl  4687