ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elxp3 Unicode version

Theorem elxp3 4488
Description: Membership in a cross product. (Contributed by NM, 5-Mar-1995.)
Assertion
Ref Expression
elxp3  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  <->  E. x E. y ( <. x ,  y >.  =  A  /\  <. x ,  y
>.  e.  ( B  X.  C ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B, y    x, C, y

Proof of Theorem elxp3
StepHypRef Expression
1 elxp 4453 . 2  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  <->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C
) ) )
2 eqcom 2090 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  =  A  <->  A  =  <. x ,  y >. )
3 opelxp 4465 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( B  X.  C
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  e.  C ) )
42, 3anbi12i 448 . . 3  |-  ( (
<. x ,  y >.  =  A  /\  <. x ,  y >.  e.  ( B  X.  C ) )  <->  ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C
) ) )
542exbii 1542 . 2  |-  ( E. x E. y (
<. x ,  y >.  =  A  /\  <. x ,  y >.  e.  ( B  X.  C ) )  <->  E. x E. y
( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  C )
) )
61, 5bitr4i 185 1  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  <->  E. x E. y ( <. x ,  y >.  =  A  /\  <. x ,  y
>.  e.  ( B  X.  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   <.cop 3447    X. cxp 4434
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3955  ax-pow 4007  ax-pr 4034
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-opab 3898  df-xp 4442
This theorem is referenced by:  optocl  4510
  Copyright terms: Public domain W3C validator