Theorem elxp3 4588

Description: Membership in a cross product. (Contributed by NM, 5-Mar-1995.)

Assertion

Ref	Expression
elxp3	|- ( A e. ( B X. C ) <-> E. x E. y ( <. x , y >. = A /\ <. x , y >. e. ( B X. C ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y

Proof of Theorem elxp3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 4551	. 2 |- ( A e. ( B X. C ) <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
2		eqcom 2139	. . . 4 |- ( <. x , y >. = A <-> A = <. x , y >. )
3		opelxp 4564	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( B X. C ) <-> ( x e. B /\ y e. C ) )
4	2, 3	anbi12i 455	. . 3 |- ( ( <. x , y >. = A /\ <. x , y >. e. ( B X. C ) ) <-> ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
5	4	2exbii 1585	. 2 |- ( E. x E. y ( <. x , y >. = A /\ <. x , y >. e. ( B X. C ) ) <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
6	1, 5	bitr4i 186	1 |- ( A e. ( B X. C ) <-> E. x E. y ( <. x , y >. = A /\ <. x , y >. e. ( B X. C ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   <.cop 3525   X. cxp 4532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-opab 3985  df-xp 4540

This theorem is referenced by:  optocl  4610