Theorem elxp 4469

Description: Membership in a cross product. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.)

Assertion

Ref	Expression
elxp	|- ( A e. ( B X. C ) <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y

Proof of Theorem elxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xp 4458	. . 3 |- ( B X. C ) = { <. x , y >. | ( x e. B /\ y e. C ) }
2	1	eleq2i 2155	. 2 |- ( A e. ( B X. C ) <-> A e. { <. x , y >. | ( x e. B /\ y e. C ) } )
3		elopab 4094	. 2 |- ( A e. { <. x , y >. | ( x e. B /\ y e. C ) } <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
4	2, 3	bitri 183	1 |- ( A e. ( B X. C ) <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1290   E.wex 1427   e. wcel 1439   <.cop 3453   {copab 3904   X. cxp 4450

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-v 2622  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-opab 3906  df-xp 4458

This theorem is referenced by:  elxp2  4470  0nelxp  4479  0nelelxp  4480  rabxp  4488  elxp3  4505  elvv  4513  elvvv  4514  0xp  4531  xpmlem  4865  elxp4  4931  elxp5  4932  dfco2a  4944  opabex3d  5906  opabex3  5907  xp1st  5950  xp2nd  5951  poxp  6011  xpsnen  6591  xpcomco  6596  xpassen  6600  nqnq0pi  7058  fsum2dlemstep  10889