Theorem elxp 4738

Description: Membership in a cross product. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.)

Assertion

Ref	Expression
elxp	|- ( A e. ( B X. C ) <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y

Proof of Theorem elxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xp 4727	. . 3 |- ( B X. C ) = { <. x , y >. | ( x e. B /\ y e. C ) }
2	1	eleq2i 2296	. 2 |- ( A e. ( B X. C ) <-> A e. { <. x , y >. | ( x e. B /\ y e. C ) } )
3		elopab 4348	. 2 |- ( A e. { <. x , y >. | ( x e. B /\ y e. C ) } <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
4	2, 3	bitri 184	1 |- ( A e. ( B X. C ) <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   <.cop 3670   {copab 4145   X. cxp 4719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4203  ax-pow 4260  ax-pr 4295

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-opab 4147  df-xp 4727

This theorem is referenced by:  elxp2  4739  0nelxp  4749  0nelelxp  4750  rabxp  4759  elxp3  4776  elvv  4784  elvvv  4785  0xp  4802  xpmlem  5153  elxp4  5220  elxp5  5221  dfco2a  5233  opabex3d  6276  opabex3  6277  xp1st  6321  xp2nd  6322  poxp  6390  xpsnen  6998  xpcomco  7003  xpassen  7007  nqnq0pi  7646  fsum2dlemstep  11982  fprod2dlemstep  12170