Theorem elxp 4791

Description: Membership in a cross product. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.)

Assertion

Ref	Expression
elxp	|- ( A e. ( B X. C ) <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y

Proof of Theorem elxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xp 4780	. . 3 |- ( B X. C ) = { <. x , y >. | ( x e. B /\ y e. C ) }
2	1	eleq2i 2305	. 2 |- ( A e. ( B X. C ) <-> A e. { <. x , y >. | ( x e. B /\ y e. C ) } )
3		elopab 4400	. 2 |- ( A e. { <. x , y >. | ( x e. B /\ y e. C ) } <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
4	2, 3	bitri 184	1 |- ( A e. ( B X. C ) <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   <.cop 3712   {copab 4191   X. cxp 4772

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-opab 4193  df-xp 4780

This theorem is used by:  elxp2  4792  0nelxp  4802  0nelelxp  4803  rabxp  4812  elxp3  4829  elvv  4837  elvvv  4838  0xp  4855  xpmlem  5208  elxp4  5275  elxp5  5276  dfco2a  5288  opabex3d  6350  opabex3  6351  xp1st  6399  xp2nd  6400  poxp  6468  xpsnen  7119  xpcomco  7124  xpassen  7128  nqnq0pi  7805  fsum2dlemstep  12201  fprod2dlemstep  12389