Theorem elxp 4691

Description: Membership in a cross product. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.)

Assertion

Ref	Expression
elxp	|- ( A e. ( B X. C ) <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y

Proof of Theorem elxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xp 4680	. . 3 |- ( B X. C ) = { <. x , y >. | ( x e. B /\ y e. C ) }
2	1	eleq2i 2271	. 2 |- ( A e. ( B X. C ) <-> A e. { <. x , y >. | ( x e. B /\ y e. C ) } )
3		elopab 4303	. 2 |- ( A e. { <. x , y >. | ( x e. B /\ y e. C ) } <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
4	2, 3	bitri 184	1 |- ( A e. ( B X. C ) <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1372   E.wex 1514   e. wcel 2175   <.cop 3635   {copab 4103   X. cxp 4672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-opab 4105  df-xp 4680

This theorem is referenced by:  elxp2  4692  0nelxp  4702  0nelelxp  4703  rabxp  4711  elxp3  4728  elvv  4736  elvvv  4737  0xp  4754  xpmlem  5102  elxp4  5169  elxp5  5170  dfco2a  5182  opabex3d  6205  opabex3  6206  xp1st  6250  xp2nd  6251  poxp  6317  xpsnen  6915  xpcomco  6920  xpassen  6924  nqnq0pi  7550  fsum2dlemstep  11716  fprod2dlemstep  11904