ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ontriexmidim Unicode version

Theorem ontriexmidim 4506
Description: Ordinal trichotomy implies excluded middle. Closed form of ordtriexmid 4505. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
ontriexmidim  |-  ( A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  -> DECID  ph )
Distinct variable group:    ph, x, y

Proof of Theorem ontriexmidim
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 noel 3418 . . . . . 6  |-  -.  {
z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  (/)
21a1i 9 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  ->  -.  { z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  (/) )
3 ordtriexmidlem 4503 . . . . . . . 8  |-  { z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  On
4 0elon 4377 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  On
5 eleq1 2233 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( x  e.  y  <->  { z  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  y ) )
6 eqeq1 2177 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( x  =  y  <->  { z  e.  { (/)
}  |  ph }  =  y ) )
7 eleq2 2234 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( y  e.  x  <->  y  e.  {
z  e.  { (/) }  |  ph } ) )
85, 6, 73orbi123d 1306 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  ( {
z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  y  \/  { z  e.  { (/) }  |  ph }  =  y  \/  y  e.  { z  e.  { (/) }  |  ph } ) ) )
9 eleq2 2234 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  (/)  ->  ( { z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  y 
<->  { z  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  (/) ) )
10 eqeq2 2180 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  (/)  ->  ( { z  e.  { (/) }  |  ph }  =  y 
<->  { z  e.  { (/)
}  |  ph }  =  (/) ) )
11 eleq1 2233 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  e.  { z  e. 
{ (/) }  |  ph } 
<->  (/)  e.  { z  e. 
{ (/) }  |  ph } ) )
129, 10, 113orbi123d 1306 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  y  \/  { z  e.  { (/) }  |  ph }  =  y  \/  y  e.  { z  e.  { (/) }  |  ph } )  <->  ( {
z  e.  { (/) }  |  ph }  e.  (/) 
\/  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  =  (/)  \/  (/)  e.  {
z  e.  { (/) }  |  ph } ) ) )
138, 12rspc2v 2847 . . . . . . . 8  |-  ( ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  On  /\  (/)  e.  On )  ->  ( A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  ->  ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  (/)  \/  { z  e.  { (/) }  |  ph }  =  (/)  \/  (/)  e.  {
z  e.  { (/) }  |  ph } ) ) )
143, 4, 13mp2an 424 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  ->  ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  (/)  \/  { z  e.  { (/) }  |  ph }  =  (/)  \/  (/)  e.  {
z  e.  { (/) }  |  ph } ) )
15 3orass 976 . . . . . . 7  |-  ( ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  (/)  \/  { z  e.  { (/) }  |  ph }  =  (/)  \/  (/)  e.  {
z  e.  { (/) }  |  ph } )  <-> 
( { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  e.  (/)  \/  ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  =  (/)  \/  (/)  e.  {
z  e.  { (/) }  |  ph } ) ) )
1614, 15sylib 121 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  ->  ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  (/)  \/  ( { z  e.  { (/) }  |  ph }  =  (/) 
\/  (/)  e.  { z  e.  { (/) }  |  ph } ) ) )
1716orcomd 724 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  ->  (
( { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  =  (/)  \/  (/)  e.  {
z  e.  { (/) }  |  ph } )  \/  { z  e. 
{ (/) }  |  ph }  e.  (/) ) )
182, 17ecased 1344 . . . 4  |-  ( A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  ->  ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  =  (/)  \/  (/)  e.  {
z  e.  { (/) }  |  ph } ) )
19 ordtriexmidlem2 4504 . . . . 5  |-  ( { z  e.  { (/) }  |  ph }  =  (/) 
->  -.  ph )
20 0ex 4116 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
2120snid 3614 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  { (/)
}
22 biidd 171 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ph  <->  ph ) )
2322elrab3 2887 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  { (/) }  ->  ( (/) 
e.  { z  e. 
{ (/) }  |  ph } 
<-> 
ph ) )
2421, 23ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  { z  e.  { (/)
}  |  ph }  <->  ph )
2524biimpi 119 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  { z  e.  { (/)
}  |  ph }  ->  ph )
2619, 25orim12i 754 . . . 4  |-  ( ( { z  e.  { (/)
}  |  ph }  =  (/)  \/  (/)  e.  {
z  e.  { (/) }  |  ph } )  ->  ( -.  ph  \/  ph ) )
2718, 26syl 14 . . 3  |-  ( A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  ->  ( -.  ph  \/  ph )
)
2827orcomd 724 . 2  |-  ( A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  ->  ( ph  \/  -.  ph )
)
29 df-dc 830 . 2  |-  (DECID  ph  <->  ( ph  \/  -.  ph ) )
3028, 29sylibr 133 1  |-  ( A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  -> DECID  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 104    \/ wo 703  DECID wdc 829    \/ w3o 972    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448   {crab 2452   (/)c0 3414   {csn 3583   Oncon0 4348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-uni 3797  df-tr 4088  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356
This theorem is referenced by:  exmidontri  7216
  Copyright terms: Public domain W3C validator