Theorem ontriexmidim 4539

Description: Ordinal trichotomy implies excluded middle. Closed form of ordtriexmid 4538. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ontriexmidim	|- ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> DECID ph )

Distinct variable group:   ph, x, y

Proof of Theorem ontriexmidim

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3441	. . . . . 6 |- -. { z e. { (/) } | ph } e. (/)
2	1	a1i 9	. . . . 5 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> -. { z e. { (/) } | ph } e. (/) )
3		ordtriexmidlem 4536	. . . . . . . 8 |- { z e. { (/) } | ph } e. On
4		0elon 4410	. . . . . . . 8 |- (/) e. On
5		eleq1 2252	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { z e. { (/) } | ph } -> ( x e. y <-> { z e. { (/) } | ph } e. y ) )
6		eqeq1 2196	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { z e. { (/) } | ph } -> ( x = y <-> { z e. { (/) } | ph } = y ) )
7		eleq2 2253	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { z e. { (/) } | ph } -> ( y e. x <-> y e. { z e. { (/) } | ph } ) )
8	5, 6, 7	3orbi123d 1322	. . . . . . . . 9 |- ( x = { z e. { (/) } | ph } -> ( ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> ( { z e. { (/) } | ph } e. y \/ { z e. { (/) } | ph } = y \/ y e. { z e. { (/) } | ph } ) ) )
9		eleq2 2253	. . . . . . . . . 10 |- ( y = (/) -> ( { z e. { (/) } | ph } e. y <-> { z e. { (/) } | ph } e. (/) ) )
10		eqeq2 2199	. . . . . . . . . 10 |- ( y = (/) -> ( { z e. { (/) } | ph } = y <-> { z e. { (/) } | ph } = (/) ) )
11		eleq1 2252	. . . . . . . . . 10 |- ( y = (/) -> ( y e. { z e. { (/) } | ph } <-> (/) e. { z e. { (/) } | ph } ) )
12	9, 10, 11	3orbi123d 1322	. . . . . . . . 9 |- ( y = (/) -> ( ( { z e. { (/) } | ph } e. y \/ { z e. { (/) } | ph } = y \/ y e. { z e. { (/) } | ph } ) <-> ( { z e. { (/) } | ph } e. (/) \/ { z e. { (/) } | ph } = (/) \/ (/) e. { z e. { (/) } | ph } ) ) )
13	8, 12	rspc2v 2869	. . . . . . . 8 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } e. On /\ (/) e. On ) -> ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> ( { z e. { (/) } | ph } e. (/) \/ { z e. { (/) } | ph } = (/) \/ (/) e. { z e. { (/) } | ph } ) ) )
14	3, 4, 13	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> ( { z e. { (/) } | ph } e. (/) \/ { z e. { (/) } | ph } = (/) \/ (/) e. { z e. { (/) } | ph } ) )
15		3orass 983	. . . . . . 7 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } e. (/) \/ { z e. { (/) } | ph } = (/) \/ (/) e. { z e. { (/) } | ph } ) <-> ( { z e. { (/) } | ph } e. (/) \/ ( { z e. { (/) } | ph } = (/) \/ (/) e. { z e. { (/) } | ph } ) ) )
16	14, 15	sylib 122	. . . . . 6 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> ( { z e. { (/) } | ph } e. (/) \/ ( { z e. { (/) } | ph } = (/) \/ (/) e. { z e. { (/) } | ph } ) ) )
17	16	orcomd 730	. . . . 5 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> ( ( { z e. { (/) } | ph } = (/) \/ (/) e. { z e. { (/) } | ph } ) \/ { z e. { (/) } | ph } e. (/) ) )
18	2, 17	ecased 1360	. . . 4 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> ( { z e. { (/) } | ph } = (/) \/ (/) e. { z e. { (/) } | ph } ) )
19		ordtriexmidlem2 4537	. . . . 5 |- ( { z e. { (/) } | ph } = (/) -> -. ph )
20		0ex 4145	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
21	20	snid 3638	. . . . . . 7 |- (/) e. { (/) }
22		biidd 172	. . . . . . . 8 |- ( z = (/) -> ( ph <-> ph ) )
23	22	elrab3 2909	. . . . . . 7 |- ( (/) e. { (/) } -> ( (/) e. { z e. { (/) } | ph } <-> ph ) )
24	21, 23	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( (/) e. { z e. { (/) } | ph } <-> ph )
25	24	biimpi 120	. . . . 5 |- ( (/) e. { z e. { (/) } | ph } -> ph )
26	19, 25	orim12i 760	. . . 4 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } = (/) \/ (/) e. { z e. { (/) } | ph } ) -> ( -. ph \/ ph ) )
27	18, 26	syl 14	. . 3 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> ( -. ph \/ ph ) )
28	27	orcomd 730	. 2 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> ( ph \/ -. ph ) )
29		df-dc 836	. 2 |- (DECID ph <-> ( ph \/ -. ph ) )
30	28, 29	sylibr 134	1 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> DECID ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   \/ w3o 979   = wceq 1364   e. wcel 2160   A.wral 2468   {crab 2472   (/)c0 3437   {csn 3607   Oncon0 4381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-uni 3825  df-tr 4117  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389

This theorem is referenced by:  exmidontri  7268