Theorem ontriexmidim 4523

Description: Ordinal trichotomy implies excluded middle. Closed form of ordtriexmid 4522. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ontriexmidim	|- ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> DECID ph )

Distinct variable group:   ph, x, y

Proof of Theorem ontriexmidim

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3428	. . . . . 6 |- -. { z e. { (/) } | ph } e. (/)
2	1	a1i 9	. . . . 5 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> -. { z e. { (/) } | ph } e. (/) )
3		ordtriexmidlem 4520	. . . . . . . 8 |- { z e. { (/) } | ph } e. On
4		0elon 4394	. . . . . . . 8 |- (/) e. On
5		eleq1 2240	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { z e. { (/) } | ph } -> ( x e. y <-> { z e. { (/) } | ph } e. y ) )
6		eqeq1 2184	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { z e. { (/) } | ph } -> ( x = y <-> { z e. { (/) } | ph } = y ) )
7		eleq2 2241	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { z e. { (/) } | ph } -> ( y e. x <-> y e. { z e. { (/) } | ph } ) )
8	5, 6, 7	3orbi123d 1311	. . . . . . . . 9 |- ( x = { z e. { (/) } | ph } -> ( ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> ( { z e. { (/) } | ph } e. y \/ { z e. { (/) } | ph } = y \/ y e. { z e. { (/) } | ph } ) ) )
9		eleq2 2241	. . . . . . . . . 10 |- ( y = (/) -> ( { z e. { (/) } | ph } e. y <-> { z e. { (/) } | ph } e. (/) ) )
10		eqeq2 2187	. . . . . . . . . 10 |- ( y = (/) -> ( { z e. { (/) } | ph } = y <-> { z e. { (/) } | ph } = (/) ) )
11		eleq1 2240	. . . . . . . . . 10 |- ( y = (/) -> ( y e. { z e. { (/) } | ph } <-> (/) e. { z e. { (/) } | ph } ) )
12	9, 10, 11	3orbi123d 1311	. . . . . . . . 9 |- ( y = (/) -> ( ( { z e. { (/) } | ph } e. y \/ { z e. { (/) } | ph } = y \/ y e. { z e. { (/) } | ph } ) <-> ( { z e. { (/) } | ph } e. (/) \/ { z e. { (/) } | ph } = (/) \/ (/) e. { z e. { (/) } | ph } ) ) )
13	8, 12	rspc2v 2856	. . . . . . . 8 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } e. On /\ (/) e. On ) -> ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> ( { z e. { (/) } | ph } e. (/) \/ { z e. { (/) } | ph } = (/) \/ (/) e. { z e. { (/) } | ph } ) ) )
14	3, 4, 13	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> ( { z e. { (/) } | ph } e. (/) \/ { z e. { (/) } | ph } = (/) \/ (/) e. { z e. { (/) } | ph } ) )
15		3orass 981	. . . . . . 7 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } e. (/) \/ { z e. { (/) } | ph } = (/) \/ (/) e. { z e. { (/) } | ph } ) <-> ( { z e. { (/) } | ph } e. (/) \/ ( { z e. { (/) } | ph } = (/) \/ (/) e. { z e. { (/) } | ph } ) ) )
16	14, 15	sylib 122	. . . . . 6 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> ( { z e. { (/) } | ph } e. (/) \/ ( { z e. { (/) } | ph } = (/) \/ (/) e. { z e. { (/) } | ph } ) ) )
17	16	orcomd 729	. . . . 5 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> ( ( { z e. { (/) } | ph } = (/) \/ (/) e. { z e. { (/) } | ph } ) \/ { z e. { (/) } | ph } e. (/) ) )
18	2, 17	ecased 1349	. . . 4 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> ( { z e. { (/) } | ph } = (/) \/ (/) e. { z e. { (/) } | ph } ) )
19		ordtriexmidlem2 4521	. . . . 5 |- ( { z e. { (/) } | ph } = (/) -> -. ph )
20		0ex 4132	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
21	20	snid 3625	. . . . . . 7 |- (/) e. { (/) }
22		biidd 172	. . . . . . . 8 |- ( z = (/) -> ( ph <-> ph ) )
23	22	elrab3 2896	. . . . . . 7 |- ( (/) e. { (/) } -> ( (/) e. { z e. { (/) } | ph } <-> ph ) )
24	21, 23	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( (/) e. { z e. { (/) } | ph } <-> ph )
25	24	biimpi 120	. . . . 5 |- ( (/) e. { z e. { (/) } | ph } -> ph )
26	19, 25	orim12i 759	. . . 4 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } = (/) \/ (/) e. { z e. { (/) } | ph } ) -> ( -. ph \/ ph ) )
27	18, 26	syl 14	. . 3 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> ( -. ph \/ ph ) )
28	27	orcomd 729	. 2 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> ( ph \/ -. ph ) )
29		df-dc 835	. 2 |- (DECID ph <-> ( ph \/ -. ph ) )
30	28, 29	sylibr 134	1 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> DECID ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 708  DECID wdc 834   \/ w3o 977   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   {crab 2459   (/)c0 3424   {csn 3594   Oncon0 4365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-uni 3812  df-tr 4104  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373

This theorem is referenced by:  exmidontri  7240