Theorem ontriexmidim 4499

Description: Ordinal trichotomy implies excluded middle. Closed form of ordtriexmid 4498. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ontriexmidim	|- ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> DECID ph )

Distinct variable group:   ph, x, y

Proof of Theorem ontriexmidim

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3413	. . . . . 6 |- -. { z e. { (/) } | ph } e. (/)
2	1	a1i 9	. . . . 5 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> -. { z e. { (/) } | ph } e. (/) )
3		ordtriexmidlem 4496	. . . . . . . 8 |- { z e. { (/) } | ph } e. On
4		0elon 4370	. . . . . . . 8 |- (/) e. On
5		eleq1 2229	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { z e. { (/) } | ph } -> ( x e. y <-> { z e. { (/) } | ph } e. y ) )
6		eqeq1 2172	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { z e. { (/) } | ph } -> ( x = y <-> { z e. { (/) } | ph } = y ) )
7		eleq2 2230	. . . . . . . . . 10 |- ( x = { z e. { (/) } | ph } -> ( y e. x <-> y e. { z e. { (/) } | ph } ) )
8	5, 6, 7	3orbi123d 1301	. . . . . . . . 9 |- ( x = { z e. { (/) } | ph } -> ( ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> ( { z e. { (/) } | ph } e. y \/ { z e. { (/) } | ph } = y \/ y e. { z e. { (/) } | ph } ) ) )
9		eleq2 2230	. . . . . . . . . 10 |- ( y = (/) -> ( { z e. { (/) } | ph } e. y <-> { z e. { (/) } | ph } e. (/) ) )
10		eqeq2 2175	. . . . . . . . . 10 |- ( y = (/) -> ( { z e. { (/) } | ph } = y <-> { z e. { (/) } | ph } = (/) ) )
11		eleq1 2229	. . . . . . . . . 10 |- ( y = (/) -> ( y e. { z e. { (/) } | ph } <-> (/) e. { z e. { (/) } | ph } ) )
12	9, 10, 11	3orbi123d 1301	. . . . . . . . 9 |- ( y = (/) -> ( ( { z e. { (/) } | ph } e. y \/ { z e. { (/) } | ph } = y \/ y e. { z e. { (/) } | ph } ) <-> ( { z e. { (/) } | ph } e. (/) \/ { z e. { (/) } | ph } = (/) \/ (/) e. { z e. { (/) } | ph } ) ) )
13	8, 12	rspc2v 2843	. . . . . . . 8 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } e. On /\ (/) e. On ) -> ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> ( { z e. { (/) } | ph } e. (/) \/ { z e. { (/) } | ph } = (/) \/ (/) e. { z e. { (/) } | ph } ) ) )
14	3, 4, 13	mp2an 423	. . . . . . 7 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> ( { z e. { (/) } | ph } e. (/) \/ { z e. { (/) } | ph } = (/) \/ (/) e. { z e. { (/) } | ph } ) )
15		3orass 971	. . . . . . 7 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } e. (/) \/ { z e. { (/) } | ph } = (/) \/ (/) e. { z e. { (/) } | ph } ) <-> ( { z e. { (/) } | ph } e. (/) \/ ( { z e. { (/) } | ph } = (/) \/ (/) e. { z e. { (/) } | ph } ) ) )
16	14, 15	sylib 121	. . . . . 6 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> ( { z e. { (/) } | ph } e. (/) \/ ( { z e. { (/) } | ph } = (/) \/ (/) e. { z e. { (/) } | ph } ) ) )
17	16	orcomd 719	. . . . 5 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> ( ( { z e. { (/) } | ph } = (/) \/ (/) e. { z e. { (/) } | ph } ) \/ { z e. { (/) } | ph } e. (/) ) )
18	2, 17	ecased 1339	. . . 4 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> ( { z e. { (/) } | ph } = (/) \/ (/) e. { z e. { (/) } | ph } ) )
19		ordtriexmidlem2 4497	. . . . 5 |- ( { z e. { (/) } | ph } = (/) -> -. ph )
20		0ex 4109	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
21	20	snid 3607	. . . . . . 7 |- (/) e. { (/) }
22		biidd 171	. . . . . . . 8 |- ( z = (/) -> ( ph <-> ph ) )
23	22	elrab3 2883	. . . . . . 7 |- ( (/) e. { (/) } -> ( (/) e. { z e. { (/) } | ph } <-> ph ) )
24	21, 23	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( (/) e. { z e. { (/) } | ph } <-> ph )
25	24	biimpi 119	. . . . 5 |- ( (/) e. { z e. { (/) } | ph } -> ph )
26	19, 25	orim12i 749	. . . 4 |- ( ( { z e. { (/) } | ph } = (/) \/ (/) e. { z e. { (/) } | ph } ) -> ( -. ph \/ ph ) )
27	18, 26	syl 14	. . 3 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> ( -. ph \/ ph ) )
28	27	orcomd 719	. 2 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> ( ph \/ -. ph ) )
29		df-dc 825	. 2 |- (DECID ph <-> ( ph \/ -. ph ) )
30	28, 29	sylibr 133	1 |- ( A. x e. On A. y e. On ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> DECID ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 824   \/ w3o 967   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   {crab 2448   (/)c0 3409   {csn 3576   Oncon0 4341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-uni 3790  df-tr 4081  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349

This theorem is referenced by:  exmidontri  7195