Theorem exmidontriimlem4 7573

Description: Lemma for exmidontriim 7574. The induction step for the induction on A. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
exmidontriimlem4.a	|- ( ph -> A e. On )
exmidontriimlem4.b	|- ( ph -> B e. On )
exmidontriimlem4.em	|- ( ph -> EXMID )
exmidontriimlem4.h	|- ( ph -> A. z e. A A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) )

Assertion

Ref	Expression
exmidontriimlem4	|- ( ph -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )

Distinct variable group:   y, A, z

Allowed substitution hints:   ph( y, z)   B( y, z)

Proof of Theorem exmidontriimlem4

Dummy variables b v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2302	. . 3 |- ( b = B -> ( A e. b <-> A e. B ) )
2		eqeq2 2248	. . 3 |- ( b = B -> ( A = b <-> A = B ) )
3		eleq1 2301	. . 3 |- ( b = B -> ( b e. A <-> B e. A ) )
4	1, 2, 3	3orbi123d 1352	. 2 |- ( b = B -> ( ( A e. b \/ A = b \/ b e. A ) <-> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) ) )
5		eleq2w 2300	. . . . . . 7 |- ( b = w -> ( A e. b <-> A e. w ) )
6		eqeq2 2248	. . . . . . 7 |- ( b = w -> ( A = b <-> A = w ) )
7		eleq1w 2299	. . . . . . 7 |- ( b = w -> ( b e. A <-> w e. A ) )
8	5, 6, 7	3orbi123d 1352	. . . . . 6 |- ( b = w -> ( ( A e. b \/ A = b \/ b e. A ) <-> ( A e. w \/ A = w \/ w e. A ) ) )
9	8	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( b = w -> ( ( ph -> ( A e. b \/ A = b \/ b e. A ) ) <-> ( ph -> ( A e. w \/ A = w \/ w e. A ) ) ) )
10		exmidontriimlem4.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. On )
11	10	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( b e. On /\ A. w e. b ( ph -> ( A e. w \/ A = w \/ w e. A ) ) ) /\ ph ) -> A e. On )
12		simpll 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( b e. On /\ A. w e. b ( ph -> ( A e. w \/ A = w \/ w e. A ) ) ) /\ ph ) -> b e. On )
13		exmidontriimlem4.em	. . . . . . . 8 |- ( ph -> EXMID )
14	13	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( b e. On /\ A. w e. b ( ph -> ( A e. w \/ A = w \/ w e. A ) ) ) /\ ph ) -> EXMID )
15		exmidontriimlem4.h	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. z e. A A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) )
16	15	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( b e. On /\ A. w e. b ( ph -> ( A e. w \/ A = w \/ w e. A ) ) ) /\ ph ) -> A. z e. A A. y e. On ( z e. y \/ z = y \/ y e. z ) )
17		simplr 533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( b e. On /\ A. w e. b ( ph -> ( A e. w \/ A = w \/ w e. A ) ) ) /\ ph ) /\ v e. b ) -> ph )
18		eleq2w 2300	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = v -> ( A e. w <-> A e. v ) )
19		eqeq2 2248	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = v -> ( A = w <-> A = v ) )
20		eleq1w 2299	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = v -> ( w e. A <-> v e. A ) )
21	18, 19, 20	3orbi123d 1352	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = v -> ( ( A e. w \/ A = w \/ w e. A ) <-> ( A e. v \/ A = v \/ v e. A ) ) )
22	21	imbi2d 230	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = v -> ( ( ph -> ( A e. w \/ A = w \/ w e. A ) ) <-> ( ph -> ( A e. v \/ A = v \/ v e. A ) ) ) )
23		simpllr 540	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b e. On /\ A. w e. b ( ph -> ( A e. w \/ A = w \/ w e. A ) ) ) /\ ph ) /\ v e. b ) -> A. w e. b ( ph -> ( A e. w \/ A = w \/ w e. A ) ) )
24		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( b e. On /\ A. w e. b ( ph -> ( A e. w \/ A = w \/ w e. A ) ) ) /\ ph ) /\ v e. b ) -> v e. b )
25	22, 23, 24	rspcdva 2934	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( b e. On /\ A. w e. b ( ph -> ( A e. w \/ A = w \/ w e. A ) ) ) /\ ph ) /\ v e. b ) -> ( ph -> ( A e. v \/ A = v \/ v e. A ) ) )
26	17, 25	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( b e. On /\ A. w e. b ( ph -> ( A e. w \/ A = w \/ w e. A ) ) ) /\ ph ) /\ v e. b ) -> ( A e. v \/ A = v \/ v e. A ) )
27	26	ralrimiva 2623	. . . . . . . 8 |- ( ( ( b e. On /\ A. w e. b ( ph -> ( A e. w \/ A = w \/ w e. A ) ) ) /\ ph ) -> A. v e. b ( A e. v \/ A = v \/ v e. A ) )
28		eleq2w 2300	. . . . . . . . . 10 |- ( v = y -> ( A e. v <-> A e. y ) )
29		eqeq2 2248	. . . . . . . . . 10 |- ( v = y -> ( A = v <-> A = y ) )
30		eleq1w 2299	. . . . . . . . . 10 |- ( v = y -> ( v e. A <-> y e. A ) )
31	28, 29, 30	3orbi123d 1352	. . . . . . . . 9 |- ( v = y -> ( ( A e. v \/ A = v \/ v e. A ) <-> ( A e. y \/ A = y \/ y e. A ) ) )
32	31	cbvralv 2786	. . . . . . . 8 |- ( A. v e. b ( A e. v \/ A = v \/ v e. A ) <-> A. y e. b ( A e. y \/ A = y \/ y e. A ) )
33	27, 32	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( ( b e. On /\ A. w e. b ( ph -> ( A e. w \/ A = w \/ w e. A ) ) ) /\ ph ) -> A. y e. b ( A e. y \/ A = y \/ y e. A ) )
34	11, 12, 14, 16, 33	exmidontriimlem3 7572	. . . . . 6 |- ( ( ( b e. On /\ A. w e. b ( ph -> ( A e. w \/ A = w \/ w e. A ) ) ) /\ ph ) -> ( A e. b \/ A = b \/ b e. A ) )
35	34	exp31 364	. . . . 5 |- ( b e. On -> ( A. w e. b ( ph -> ( A e. w \/ A = w \/ w e. A ) ) -> ( ph -> ( A e. b \/ A = b \/ b e. A ) ) ) )
36	9, 35	tfis2 4730	. . . 4 |- ( b e. On -> ( ph -> ( A e. b \/ A = b \/ b e. A ) ) )
37	36	impcom 125	. . 3 |- ( ( ph /\ b e. On ) -> ( A e. b \/ A = b \/ b e. A ) )
38	37	ralrimiva 2623	. 2 |- ( ph -> A. b e. On ( A e. b \/ A = b \/ b e. A ) )
39		exmidontriimlem4.b	. 2 |- ( ph -> B e. On )
40	4, 38, 39	rspcdva 2934	1 |- ( ph -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ w3o 1008   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528  EXMIDwem 4329   Oncon0 4506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-setind 4682

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-uni 3934  df-tr 4228  df-exmid 4330  df-iord 4509  df-on 4511

This theorem is referenced by:  exmidontriim  7574